全等證明解題方法歸納

-.z.【第1局部全等根底知識歸納、小結(jié)】1、全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形。兩個全等三角形中，互相重合的頂點叫做對應(yīng)頂點，互相重合的邊叫對應(yīng)邊，互相重合的角叫對應(yīng)角。概念深入理解：〔1〕形狀一樣，大小也一樣的兩個三角形稱為全等三角形?！餐庥^長的像〕〔2〕經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、翻折之后能夠完全重合的兩個三角形稱為全等三角形。〔位置變化〕圖3圖3圖1圖22、全等三角形的表示方法：假設(shè)△ABC和△A′B′C′是全等的，記作"△ABC≌△A′B′C′〞其中，"≌〞讀作"全等于〞。記兩個三角形全等時，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上。3、全等三角形的性質(zhì)：全等是工具、手段，最終是為了得到邊等或角等，從而解決某些問題?！?〕全等三角形的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等?！?〕全等三角形的對應(yīng)邊上的高，中線，角平分線對應(yīng)相等。〔3〕全等三角形周長，面積相等。4、尋找對應(yīng)元素的方法〔1〕根據(jù)對應(yīng)頂點找如果兩個三角形全等，那么，以對應(yīng)頂點為頂點的角是對應(yīng)角；以對應(yīng)頂點為端點的邊是對應(yīng)邊。通常情況下，兩個三角形全等時，對應(yīng)頂點的字母都寫在對應(yīng)的位置上，因此，由全等三角形的記法便可寫出對應(yīng)的元素?！?〕根據(jù)的對應(yīng)元素尋找全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊；〔3〕通過觀察，想象圖形的運動變化狀況，確定對應(yīng)關(guān)系。通過對兩個全等三角形各種不同位置關(guān)系的觀察和分析，可以看出其中一個是由另一個經(jīng)過以下各種運動而形成的；運動一般有3種：平移、對稱、旋轉(zhuǎn)；5、全等三角形的判定：〔深入理解〕①邊邊邊〔SSS〕②邊角邊〔SAS〕③角邊角〔ASA〕④角角邊〔AAS〕⑤斜邊，直角邊〔HL〕注意：〔容易出錯〕〔1〕在判定兩個三角形全等時，至少有一邊對應(yīng)相等〔邊定全等〕；〔2〕不能證明兩個三角形全等的是，㈠三個角對應(yīng)相等，即AAA；㈡有兩邊和其中一角對應(yīng)相等，即SSA。全等三角形是研究兩個封閉圖形之間的根本工具，同時也是移動圖形位置的工具。在平面幾何知識應(yīng)用中，假設(shè)證明線段相等或角相等，或需要移動圖形或移動圖形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知識。6、常見輔助線寫法：〔照著輔助線說明要能做出圖、養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)、嚴(yán)密的習(xí)慣〕如：⑴過點A作BC的平行線AF交DE于F⑵過點A作BC的垂線，垂足為D⑶延長AB至C，使BC＝AC⑷在AB上截取AC，使AC＝DE⑸作∠ABC的平分線，交AC于D⑹取AB中點C，連接CD交EF于G點同一條輔助線，可以說法不一樣，那么得到的條件、證明的方法也不同?！镜?局部中點條件的運用】1、復(fù)原中心對稱圖形〔倍長中線法〕中心對稱與中心對稱圖形知識：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心。這兩個圖形中的對應(yīng)點叫做關(guān)于中心的對稱點。中心對稱的兩條根本性質(zhì)：〔1〕關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心所平分?！?〕關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等圖形。中心對稱圖形把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心?！惨粋€圖形〕如：平行四邊形線段本身就是中心對稱圖形，中點就是它的對稱中心，所以遇到中點問題，依托中點借助輔助線復(fù)原中點對稱圖形，可以把分散的條件集中起來〔集散思想〕。例1、AD是△ABC中BC邊上的中線，假設(shè)AB2，AC4，那么AD的取值圍是_________。例2、在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，延長BE交AC于F，AFEF，求證：ACBE。例3、如圖，D是△ABC的邊BC上的點，且CD=AB，∠ADB=∠BAD，AE是△ABD的中線。求證：AC=2AE例4△ABC中，AD、BE、CF是三邊對應(yīng)中線?！材敲碠為重心〕求證：①AD、BE、CF交于點O?！差惐堕L中線〕；②練習(xí)1、在△ABC中，D為BC邊上的點，∠BAD∠CAD，BDCD，求證：ABAC2、如圖，四邊形ABCD中，ABCD，M、N分別為BC、AD中點，延長MN與AB、CD延長線交于E、F，求證∠BEM∠CFM3、如圖，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，點M為BC的中點，求證：DE=2AM〔根本型：同角或等角的補角相等、K型〕2、兩條平行線間線段的中點〔"八字型〞全等〕如圖，∥，C是線段AB的中點，那么過點C的任何直線都可以和二條平行線以及AB構(gòu)造"8字型〞全等例1梯形ABCD，AD∥BC，點E是AB的中點，連接DE、CE。求證：例2如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2AB，M是AD的中點，CE⊥AB于點E，∠CEM=40°，求∠DME的大小?！蔡崾荆褐苯侨切涡边呏芯€等于斜邊的一半〕例3△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD∠ACE=90°，連接DE，設(shè)M為DE的中點。⑴求證：MBMC；⑵設(shè)∠BAD∠CAE，固定Rt△ABD，讓Rt△ACE移至圖示位置，此時MBMC是否成立？請證明你的結(jié)論。練習(xí)1、：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．假設(shè)BD=BC，F(xiàn)是CD的中點，試問：∠BAF與∠BCD的大小關(guān)系如何？請寫出你的結(jié)論并加以證明；2、Rt△ABC中，∠BAC=90°，M為BC的中點，過A點作某直線，過B作于點D，過C作于點E。〔1〕求證：MD=ME〔2〕當(dāng)直線與CB的延長線相交時，其它條件不變，〔1〕中的結(jié)論是否任然成立？3、如圖〔1〕，在正方形ABCD和正方形CGEF〔CG＞BC〕中，點B、C、G在同一直線上，M是AE的中點，〔1〕探究線段MD、MF的位置及數(shù)量關(guān)系，并證明；〔2〕將圖〔1〕中的正方形CGEF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，使正方形CGEF的對角線CE恰好與正方形ABCD的邊BC在同一條直線上，原問題中的其他條件不變?！?〕中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜測并加以證明?！步Y(jié)合前面"8字型〞全等，仔細(xì)思考〕3、構(gòu)造中位線三角形中位線定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線三角形中位線性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半．重點區(qū)分：要把三角形的中位線與三角形的中線區(qū)分開，三角形中線是連結(jié)一頂點和它對邊的中點；而三角形中位線是連結(jié)三角形兩邊中點的線段?！踩确ā吃凇鰽BC中，D、E分別是AB、AC邊的中點，證明：DE∥BC，DE=BC證明：延長DE至F點，使DE=EF，連接CF〔倍長中線〕三角形的中位線在位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系二方面把三角形有關(guān)線段聯(lián)系起來，將題目給出的分散條件集中起來〔集散思想〕。注：題目中給出多個中點時，往往中點還是不夠用的。例1在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點。求證：四邊形EFGH是平行四邊形。例2四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，且AC=BD，M、N分別是AB、CD的中點，MN分別交BD、AC于點E、F.你能說出OE與OF的大小關(guān)系并加以證明嗎？練習(xí)1、三角形ABC中，AD是∠BAC的角平分線，BD⊥AD，點D是垂足，點E是邊BC的中點，如果AB=6，AC=14，求DE的長。2、AB∥CD，BC∥AD，DE⊥BE，DF=EF，甲從B出發(fā)，沿著BA->AD->DF的方向運動，乙B出發(fā)，沿著BC->CE->EF的方向運動，如果兩人的速度是一樣的，且同時從B出發(fā)，那么誰先到達(dá)F點？3、等腰Rt△ABC與等腰Rt△CDE中，∠ACB=∠EDC=90°，連AE、BE，點M為BE的中點，連DM?！?〕當(dāng)D點在BC上時，求的值〔2〕當(dāng)△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角時，上結(jié)論是否任然成立，試證明4、△ABC、△CEF都為等腰直角三角形，當(dāng)E、F在AC、BC上，∠ACB=90°，連BE、AF，點M、N分別為AF、BE的中點〔1〕MN與AE的數(shù)量關(guān)系〔2〕將△CEF繞C點順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角，MN與AE的數(shù)量關(guān)系4、與等面積相關(guān)的圖形轉(zhuǎn)換在涉及三角形的面積問題時，中點提供了底邊相等的條件，這里有個根本幾何圖形如圖，△ABC中，E為BC邊的中點，那么顯然△ABE和△AEC有一樣的高AD，底邊也相等，故面積相等。例E、F是矩形ABCD的邊AB、BC的中點，連AF、CE交于點G，那么=擴(kuò)展如圖，等腰Rt△ACD與Rt△ABC組成一個四邊形ABCD，AC=4，對角線BD把四邊形ABCD分成了二局部，求的值?！?、等腰三角形中的"三線合一〞】"三線合一〞是相當(dāng)重要的結(jié)論和解題工具，它告訴我們等腰三角形與直角三角形有著極為親密的關(guān)系。例△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，問∠CBD和∠BAC的關(guān)系？分析：∠CBD和∠BAC分別位于不同類型的三角形中，可以考慮轉(zhuǎn)為同類三角形。例在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點M為BC中點，MN⊥AC于點N，那么MN=_____【6、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半】這可以作為一個定理直接運用，關(guān)于這個定理的證明有多種方法，包括利用前面所講中點的一些知識。例如圖Rt△ABC中，∠ACD=90°，CD為斜邊AB上的中線求證：CD=AB〔1〕利用垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線上任一點到線段的二個端點的距離相等。取AC的中點E，連接DE。那么DE∥BC〔中位線性質(zhì)〕∠ACB=90°BC⊥AC，DE⊥AC那么DE是線段AC的垂直平分線AD=CD〔2〕全等法，證法略。例在三角形ABC中，AD是三角形的高，點D是垂足，點E、F、G分別是BC、AB、AC的中點，求證：四邊形EFGD是等腰梯形。練習(xí)1、在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB，M、N分別在AC、AB上，且AN=BM。O為斜邊BC的中點。試判斷△OMN的形狀，并說明理由。2、ΔABC中，∠A=90°，D是BC的中點，DE⊥DF。求證:〔集散思想〕3、ΔABC中，AB=AC，點D在BC上，E在AB上，且BD=DE，點P、M、N分別為AD、BE、BC的中點〔1〕假設(shè)∠BAC=90°，那么∠PMN=_______，并證明〔2〕假設(shè)∠BAC=60°，那么∠PMN=_______〔3〕假設(shè)∠BAC=，那么∠PMN=_______【中點問題練習(xí)題】1、假設(shè)給出如下定義：有一組相鄰角相等的四邊形叫做等鄰角四邊形．請解答以下問題：〔1〕寫出一個你所學(xué)過的特殊四邊形中是等鄰角四邊形的圖形的名稱；〔2〕如圖1，在△ABC中，AB=AC，點D在BC上，且CD=CA，點E、F分別為BC、AD的中點，連接EF并延長交AB于點G．求證：四邊形AGEC是等鄰角四邊形；〔3〕如圖2，假設(shè)點D在△ABC的部，〔2〕中的其他條件不變，EF與CD交于點H，是否存在等鄰角四邊形，假設(shè)存在，是哪個四邊形，不必證明；假設(shè)不存在，請說明理由．2、：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，點M是CE的中點，連接BM〔1〕如圖①，點D在AB上，連接DM，并延長DM交BC于點N，可探究得出BD與BM的數(shù)量關(guān)系為_________________，寫出證明過程?！?〕如圖②，點D不在AB上，〔1〕中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，說明理由。3、在△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=∠DCO．連接AD、BC，點M、N、P分別為OA、OD、BC的中點．假設(shè)A、O、C三點在同一直線上，∠ABO=60°，那么△PMN的形狀是_______