相似三角形經(jīng)典大題

相似三角形1.如圖，已知一個三角形紙片，邊的長為8，邊上的高為，和都為銳角，為一動點（點與點不重合），過點作，交于點，在中，設(shè)的長為，上的高為．（1）請你用含的代數(shù)式表示．（2）將沿折疊，使落在四邊形所在平面，設(shè)點落在平面的點為，與四邊形重疊部分的面積為，當為何值時，最大，最大值為多少？【答案】解：（1）（2）的邊上的高為，當點落在四邊形內(nèi)或邊上時，=（0）當落在四邊形外時，如下圖，設(shè)的邊上的高為，則所以綜上所述：當時，，取，當時，，取，當時，最大，MMNCBEFAA1由解得∴點的坐標為∴（2）解：∵點在上且∴點坐標為又∵點在上且∴點坐標為∴（3）解法一：當時，如圖1，矩形與重疊部分為五邊形（時，為四邊形）．過作于，則AADBEORFxyyM（圖3）GCADBEOCFxyyG（圖1）RMADBEOCFxyyG（圖2）RM∴即∴∴即 當時，如圖2，為梯形面積，∵G（8－t,0）∴GR=,∴當時，如圖3,為三角形面積，4．如圖，矩形中，厘米，厘米（）．動點同時從點出發(fā)，分別沿，運動，速度是厘米／秒．過作直線垂直于，分別交，于．當點到達終點時，點也隨之停止運動．設(shè)運動時間為秒．（1）若厘米，秒，則______厘米；（2）若厘米，求時間，使，并求出它們的相似比；（3）若在運動過程中，存在某時刻使梯形與梯形的面積相等，求的取值范圍；（4）是否存在這樣的矩形：在運動過程中，存在某時刻使梯形，梯形，梯形的面積都相等？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．DDQCPNBMADQCPNBMA【答案】解：（1），（2），使，相似比為（3），，即，當梯形與梯形的面積相等，即化簡得，，，則，（4）時梯形與梯形的面積相等梯形的面積與梯形的面積相等即可，則，把代入，解之得，所以．所以，存在，當時梯形與梯形的面積、梯形的面積相等．5．如圖，已知△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運動，其中點P運動的速度是1cm/s，點Q運動的速度是2cm/s，當點Q到達點C時，P、Q兩點都停止運動，設(shè)運動時間為t（s），解答下列問題：（1）當t＝2時，判斷△BPQ的形狀，并說明理由；（2）設(shè)△BPQ的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）作QR//BA交AC于點R，連結(jié)PR，當t為何值時，△APR∽△PRQ？【答案】解：(1)△BPQ是等邊三角形,當t=2時,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因為∠B=600,所以△BPQ是等邊三角形.(2)過Q作QE⊥AB,垂足為E,由QB=2y,得QE=2t·sin600=t,由AP=t,得PB=6-t,所以S△BPQ=×BP×QE=(6-t)×t=－t2+3t；(3)因為QR∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因為∠C=600,所以△QRC是等邊三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因為BE=BQ·cos600=×2t=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP∥QR,EP=QR,所以四邊形EPRQ是平行四邊形,所以PR=EQ=t,又因為∠PEQ=900,所以∠APR=∠PRQ=900.因為△APR～△PRQ,所以∠QPR=∠A=600,所以tan600=,即,所以t=,所以當t=時,△APR～△PRQ6．在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA＝90o，CB＝3，OA＝6，BA＝3eq\r(5)．分別以O(shè)A、OC邊所在直線為x軸、y軸建立如圖1所示的平面直角坐標系．（1）求點B的坐標；（2）已知D、E分別為線段OC、OB上的點，OD＝5，OE＝2EB，直線DE交x軸于點F．求直線DE的解析式；（3）點M是（2）中直線DE上的一個動點，在x軸上方的平面內(nèi)是否存在另一個點N．使以O(shè)、D、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．AABDE（第26題圖1）FCOMNxy.7．在圖15-1至圖15-3中，直線MN與線段AB相交圖7圖7-2ADOBC21MN圖7-1ADBMN12圖7-3ADOBC21MNO于點O，∠1

=

∠2

=

45°．（1）如圖15-1，若AO

=

OB，請寫出AO與BD數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）將圖15-1中的MN繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到圖15-2，其中AO

=

OB．求證：AC

=

BD，AC

⊥

BD；（3）將圖15-2中的OB拉長為AO的k倍得到圖15-3，求的值．【答案】解：（1）AO

=

BD，AO⊥BD；圖4ADOBC21MNEF（2）證明：如圖4，過點B作BE∥CA交圖4ADOBC21MNEF

又∵AO

=

OB，∠AOC

=∠BOE，∴△AOC

≌

△BOE．∴AC

=

BE．又∵∠1

=

45°，∴∠ACO

=

∠BEO

=

135°．∴∠DEB

=

45°．∵∠2

=

45°，∴BE

=

BD，∠EBD

=

90°．∴AC

=

BD．延長AC交DB的延長線于F，如圖4．∵BE∥AC，∴∠AFD

=

90°．∴AC⊥BD．（3）如圖5，過點B作BE∥CA交DO于E，∴∠BEO=

∠ACO．又∵∠BOE=

∠AOC，AOBC1DAOBC1D2圖5MNE∴．又∵OB

=

kAO，由（2）的方法易得BE

=

BD．∴．10．如圖，已知過A（2，4）分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為M、N，若點P從O點出發(fā)，沿OM作勻速運動，1分鐘可到達M點，點Q從M點出發(fā)，沿MA作勻速運動，1分鐘可到達A點。（1）經(jīng)過多少時間，線段PQ的長度為2？（2）寫出線段PQ長度的平方y(tǒng)與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式和t的取值范圍；（3）在P、Q運動過程中，是否可能出現(xiàn)PQ⊥MN？若有可能，求出此時間t；若不可能，請說明理由；（4）是否存在時間t，使P、Q、M構(gòu)成的三角形與△MON相似