山西省臨汾市襄汾縣陶寺鄉(xiāng)聯(lián)合學(xué)校2021年高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

山西省臨汾市襄汾縣陶寺鄉(xiāng)聯(lián)合學(xué)校2021年高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，，則A．36 B．42 C．45 D．63參考答案：C2.若i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為（

）A. B. C. D.參考答案：D故的虛部為故選D3.設(shè)，那么（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A4.直線為參數(shù)），被圓截得的弦長(zhǎng)為A、

B、

C、

D、參考答案：B略5.如圖所示程序框圖的輸出的所有都在函數(shù)（）A、y＝x＋1的圖象上B、y＝2x的圖象上C、y＝的圖象上D、y＝的圖象上參考答案：D依程序框圖可知輸出的點(diǎn)為（1,1）、（2,2）、（3,4）、（4,8），結(jié)合選項(xiàng)可知選D.6.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：C7.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F且斜率為的直線交拋物線于點(diǎn)M（M在第一象限），于點(diǎn)N，直線NF交y軸于點(diǎn)D，則（

）A.4 B. C.2 D.參考答案：B【分析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求得的方程，容易得點(diǎn)的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)之間的距離公式即可求得的長(zhǎng)度.【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：由題可知，點(diǎn)，故直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程可得，解得或因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，故可得.又因?yàn)闇?zhǔn)線方程為，故可得.則直線的方程為，令，解得，即可得.故.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線中線段長(zhǎng)度的求解，關(guān)鍵是要逐步求解出點(diǎn)的坐標(biāo)即可.8.等差數(shù)列{an}中，a1=2，a5=a4+2，則a3=（）A．4 B．10 C．8 D．6參考答案：D【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)和公差，由此能求出a3．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}中，a1=2，a5=a4+2，∴，解得a1=2，d=d=2，∴a3=2+2×2=6．故選：D．9.設(shè)，則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A略10.如圖，在△ABC中，設(shè)，，AP的中點(diǎn)為Q，BQ的中點(diǎn)為R，CR的中點(diǎn)為P，若，則m、n對(duì)應(yīng)的值為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義．【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；綜合法；平面向量及應(yīng)用．【分析】根據(jù)向量減法及數(shù)乘的幾何意義可以得出，，這樣便可以求出，這樣根據(jù)，并進(jìn)行向量的數(shù)乘運(yùn)算便得到，由平面向量基本定理即可建立關(guān)于m，n的二元一次方程組，從而可以解出m，n．【解答】解：根據(jù)條件，=；==；∴，，；∵；∴；∴；解得．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】考查向量的加法、減法，及數(shù)乘的幾何意義，以及向量的數(shù)乘運(yùn)算，平面向量基本定理．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知復(fù)數(shù)z滿足z+i=1﹣iz（i是虛數(shù)單位），則z=

．參考答案：﹣i考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．專題：計(jì)算題．分析：根據(jù)復(fù)數(shù)z滿足z+i=1﹣iz，移項(xiàng)得到z+zi=1﹣i，提出公因式z（1+i）=1﹣i，兩邊同除以1+i，進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，分子和分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，得到結(jié)果．解答： 解：復(fù)數(shù)z滿足z+i=1﹣iz，∴z+zi=1﹣iz（1+i）=1﹣i∴z===﹣i故答案為：﹣i點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算，本題解題的關(guān)鍵是整理出復(fù)數(shù)的表示式，再進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，或者設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件來解題．15.在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM=3，BC=10，則=________.參考答案：113.在直三棱柱ABC—A1B1C1中，,則三棱柱ABC—A1B1C1外接球的表面積是

；參考答案：14.定義在上的函數(shù)，滿足，（1）若，則

.（2）若，則

（用含的式子表示）.參考答案：（1）；（2）略15.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)（在第一象限內(nèi)），若以直徑的圓的圓心在直線上，則此圓的半徑為▲．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】拋物線及其幾何性質(zhì)H7如圖，

由拋物線y2=4x，得其焦點(diǎn)F（1，0），

設(shè)P（，y0）（y0＞0），則PF的中點(diǎn)為（,）=（,），

由題意可知，點(diǎn)（,）在直線x+y=2上，+

∴+=2，解得：y0=2．∴P（1，2），則圓的半徑為|PF|==1.故答案為：1．【思路點(diǎn)撥】由拋物線的方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出P的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求PF的中點(diǎn)，把中點(diǎn)坐標(biāo)代入直線x+y=2求得P的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間的距離公式求圓的半徑．16.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a=2，C=45°，1+=，則邊c的值為

．參考答案：2考點(diǎn)：兩角和與差的正切函數(shù)；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用．專題：解三角形．分析：利用條件、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、正弦定理求得=，求得cosA的值，可得A的值，再利用正弦定理求得c的值．解答： 解：在△ABC中，∵1+=1+====，故有正弦定理可得=，∴cosA=，A=60°．再由a=2，C=45°，利用正弦定理可得=，即=，∴c=2，故答案為：2．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．17.已知正四棱錐O-ABCD的體積為,底面邊長(zhǎng)為,則以O(shè)為球心,OA為半徑的球的表面積為__________參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖所示，四邊形ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，△ABE為等邊三角形，且平面ABCD⊥平面ABE，AB=2CD=2BC=2，P為CE中點(diǎn)．（1）求證：AB⊥DE；（2）求三棱錐D﹣ABP的體積．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面垂直的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；空間位置關(guān)系與距離．【分析】（1）取AB中點(diǎn)O，連結(jié)OD，OE，通過證明AB⊥平面ODE，然后推出AB⊥DE．（2）利用等體積轉(zhuǎn)化法，求解即可．【解答】解：（1）證明：取AB中點(diǎn)O，連結(jié)OD，OE，因?yàn)椤鰽BE是正三角形，所以AB⊥OE．因?yàn)樗倪呅蜛BCD是直角梯形，，AB∥CD，所以四邊形OBCD是平行四邊形，OD∥BC，又AB⊥BC，所以AB⊥OD．所以AB⊥平面ODE，所以AB⊥DE．（2）解：=1，P為CE中點(diǎn)，則P到平面ABCD的距離為：．=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面垂直的判斷與性質(zhì)定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．19.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知a=2，b=3，C=60°，（Ⅰ）求邊長(zhǎng)c和△ABC的面積；（Ⅱ）求sin2A的值．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理．【分析】（1）利用余弦定理即可得出c，進(jìn)而得出面積；（2）利用正弦定理可得：sinA．利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出cosA，再利用倍角公式即可得出．【解答】解：（1）由余弦定理，c2=a2+b2﹣2abcos60°=22+32﹣2×2×3×=7，解得c=，∴．（2）由正弦定理，，則sinA===，∵a＜b，∴A為銳角，則cosA==，sin2A=2sinAcosA=×=．20.小明在石家莊市某物流派送公司找到了一份派送員的工作，該公司給出了兩種日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一單獎(jiǎng)勵(lì)1元；乙方案：底薪140元，每日前55單沒有獎(jiǎng)勵(lì)，超過55單的部分每單獎(jiǎng)勵(lì)12元.（Ⅰ）請(qǐng)分別求出甲、乙兩種薪酬方案中日薪y(tǒng)（單位：元）與送貨單數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式；（Ⅱ）根據(jù)該公司所有派送員100天的派送記錄，發(fā)現(xiàn)派送員的日平均派送單數(shù)滿足以下條件：在這100天中的派送量指標(biāo)滿足如圖所示的直方圖，其中當(dāng)某天的派送量指標(biāo)在時(shí)，日平均派送量為50+2n單.若將頻率視為概率，回答下列問題：①根據(jù)以上數(shù)據(jù)，設(shè)每名派送員的日薪為X（單位：元），試分別求出甲、乙兩種方案的日薪X的分布列，數(shù)學(xué)期望及方差；②結(jié)合①中的數(shù)據(jù)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的思想，幫助小明分析，他選擇哪種薪酬方案比較合適，并說明你的理由.（參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，）參考答案：解：（Ⅰ）甲方案中派送員日薪（單位：元）與送單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為：，乙方案中派送員日薪（單位：元）與送單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為：，(Ⅱ)①由已知，在這100天中，該公司派送員日平均派送單數(shù)滿足如下表格：?jiǎn)螖?shù)5254565860頻率0.20.30.20.20.1所以的分布列為：1521541561581600.20.30.20.20.1所以，，所以的分布列為：1401521762000.50.20.20.1所以，，②答案一：由以上的計(jì)算可知，雖然，但兩者相差不大，且遠(yuǎn)小于，即甲方案日工資收入波動(dòng)相對(duì)較小，所以小明應(yīng)選擇甲方案.答案二：由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，，即甲方案日工資期望小于乙方案日工資期望，所以小明應(yīng)選擇乙方案.21.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，，,平面底面，為中點(diǎn)，M是棱PC上的點(diǎn)，．（1）若點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，求證：平面；（2）求證：平面底面；（3）若二面角為，設(shè)，試確定的值．參考答案：證明：（1）連接AC，交BQ于N，連接MN．

∵BC∥AD且BC=AD，即BCAQ．∴四邊形BCQA為平行四邊形，且N為AC中點(diǎn)，又∵點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn)，∴MN//PA

∵M(jìn)N平面MQB，PA平面MQB，

ks5u

∴PA//平面MBQ．

（2）∵AD//BC，BC=AD，Q為AD的中點(diǎn)，∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD//BQ．

∵∠ADC=90°

∴∠AQB=90°

即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴BQ⊥平面PAD．

∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．

另證：AD//BC，BC=AD，Q為AD的中點(diǎn)∴BC//DQ且BC=DQ，

∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD//BQ．∵∠ADC=90°

∴∠AQB=90°

即QB⊥AD．

∵PA=PD，

∴PQ⊥AD．

∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．

∵AD平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．

（Ⅲ）∵PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)，

∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．

（不證明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分）如圖，以Q為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．則平面BQC的法向量為；，，，．

設(shè)，則，，∵，∴，

∴

，

ks5u在平面MBQ中，，，ks5u∴平面MBQ法向量為．

∵二面角M-BQ-C為30°，

，∴．22.已知函數(shù)．（1）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）是否存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)0＜x≤2時(shí)，函數(shù)f（x）圖象上的點(diǎn)都在所表示的平面區(qū)域（含邊界）？若存在，求出a的值組成的集合；否則說明理由；（3）若f（x）有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)m，n（m＞n），求過兩點(diǎn)M（m，f（m）），N（n，f（n））的直線的斜率的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1）的值，求出切線方程即可；（2）法一：根據(jù)﹣2lnx≤0，設(shè)φ（x）=﹣2lnx，則問題等價(jià)于x∈（0，2]時(shí)，φ（x）max≤0，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的最大值，從而求出a的范圍即可；法二：由﹣2lnx≤0得，a≤2xlnx，令φ（x）=2xlnx，（0＜x≤2），則a≤[φ（x）]min，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值，從而求出a的范圍即可；（3）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出a的范圍，表示出直線MN的斜率，結(jié)合換元思想以及函數(shù)的單調(diào)性求出斜率k的范圍即可．【解答】解：（1）a=0時(shí)，f（x）=x﹣2lnx，f′（x）=1﹣，∴f（1）=1，f′（1）=﹣1，∴求出直線方程是y﹣1=﹣（x﹣1），即y=﹣x+2；（2）由題意得：0＜x≤2時(shí)，f（x）≤x，即﹣2lnx≤0，設(shè)φ（x）=﹣2lnx，則問題等價(jià)于x∈（0，2]時(shí)，φ（x）max≤0，φ′（x）=﹣，（i）當(dāng)a≥0時(shí)，φ′（x）＜0，不合題意，（ii）當(dāng)a＜0時(shí)，①﹣∈（0，2）時(shí)，φ（x）在（0，﹣）上遞增，在（﹣，2）上遞減，φ（x）max=φ（﹣）=﹣2﹣