電磁波與電磁場第一章

第1頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月第一章矢量分析主要內(nèi)容梯度、散度、旋度、亥姆霍茲定理1.標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度2.矢量場的通量與散度3.矢量場的環(huán)量與旋度4.無散場和無旋場5.格林定理6.矢量場的惟一性定理7.亥姆霍茲定理8.正交曲面坐標(biāo)系第2頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月標(biāo)量：僅具有大小特征的量稱為標(biāo)量矢量：不僅具有大小而且有方向特征的量稱為矢量，常用黑體字母或帶箭頭的字母表示。矢量的的幾何表示：一條有向線段1-1標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度第3頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月矢量的大小或模：矢量的代數(shù)表示：矢量的單位矢量：模為1的矢量標(biāo)量的空間分布構(gòu)成標(biāo)量場，矢量的空間分布構(gòu)成矢量場常矢量（常矢）：矢量的大小及方向均與空間坐標(biāo)無關(guān)注意：單位矢量不一定是常矢量。第4頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月1-2矢量的代數(shù)運算矢量A=B：矢量A、B的大小及方向均相同時矢量加法：平行四邊形法則矢量減法：三角形法則在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：矢量的加法運算，結(jié)合律和交換率結(jié)合律：（A+B）+C=A+（B+C）交換律：A+B=B+A第5頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月1-3矢量的標(biāo)積和矢積標(biāo)積（點積或內(nèi)積），以點號“?”表示第6頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月cosα、cosβ、cosγ稱為矢量A的方向余弦第7頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月在直角坐標(biāo)系中，若矢量A和矢量B分別為矢量A和矢量B標(biāo)積：則矢量A與矢量B的矢積的代數(shù)定義方向遵守右手螺旋法則第8頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月用坐標(biāo)分量表示為第9頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月1-4標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度標(biāo)量場和矢量場

確定空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個場。如果物理量是標(biāo)量，稱該場為標(biāo)量場。例如：溫度場、電位場、高度場等。如果物理量是矢量，稱該場為矢量場。例如：流速場、重力場、電場、磁場等。第10頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月如果場與時間無關(guān)，稱為靜態(tài)場，反之為時變場。從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：靜態(tài)標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：時變標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：第11頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月標(biāo)量場的等值面

等值面:標(biāo)量場取得同一數(shù)值的點在空間形成的曲面。意義:形象直觀地描述了物理量在空間的分布狀態(tài)。等值面方程：標(biāo)量場的等值線（面）第12頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月等值面的特點：常數(shù)C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場的等值面充滿場所在的整個空間；標(biāo)量場的等值面互不相交。第13頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月方向?qū)?shù):標(biāo)量場在某點的方向?qū)?shù)表示標(biāo)量場自該點沿某一方向上的變化率例如標(biāo)量場

在

P點沿

l方向上的方向?qū)?shù)定義為第14頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月意義：方向?qū)?shù)表示場沿某方向的空間變化率。

>0，沿l方向增加

<0，沿l方向減小

=0，沿l方向無變化第15頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月特點：方向?qū)?shù)既與點P有關(guān)，也與方向有關(guān)。是標(biāo)量。問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？第16頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月在直角坐標(biāo)系中，方向?qū)?shù)可寫為若矢量l的方向余弦為cosα、cosβ、cosγ，則上式變?yōu)榈?7頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月令為矢量G的三個坐標(biāo)分量，即矢量l的單位矢量標(biāo)量場

在

P點沿

l方向上的方向?qū)?shù)定義為第18頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月矢量G稱為標(biāo)量場Φ的梯度標(biāo)量場Φ的梯度是一個矢量場由可知，當(dāng)?shù)姆较蚺c梯度方向一致時，方向?qū)?shù)取最大值。標(biāo)量場在某點梯度的大小等于該點的最大方向?qū)?shù)，梯度的方向為該點具有最大方向?qū)?shù)的方向。第19頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月若引入算符（哈密頓算子-重要的微分算子），它在直角坐標(biāo)系中可表示為梯度可表示為第20頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月梯度的性質(zhì)標(biāo)量場的梯度是矢量場，它在空間某點的方向表示該點場變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場的空間變化率。標(biāo)量場在某個方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。標(biāo)量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面）第21頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月梯度運算的基本公式第22頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.2.1設(shè)一標(biāo)量函數(shù)(x,y,z)=x2＋y2－z描述了空間標(biāo)量場。試求：(1)該函數(shù)在點P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。(2)求該函數(shù)沿單位矢量方向的方向?qū)?shù)，并以點P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。第23頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月解(1)由梯度計算公式，可求得P點的梯度為第24頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿el方向的方向?qū)?shù)為對于給定的P點，上述方向?qū)?shù)在該點取值為第25頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月顯然，梯度描述了P點處標(biāo)量函數(shù)的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故恒成立。第26頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月1-5矢量場的通量、散度與散度定律1、矢量場概念：設(shè)空間某一區(qū)域存在一矢量函數(shù)，它的大小及方向隨空間位置變化（可能還是時間函數(shù)）。則稱為該區(qū)域存在一矢量場：例：速度場，電場，磁場

2、矢量線概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一點的切線方向代表了該點矢量場的方向。該點附近曲線的疏密和該點矢量的大小成正比。第27頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月意義：形象直觀地描述了矢量場的空間分布狀態(tài)。問題：如何定量描述矢量場的大??？引入通量的概念。第28頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月在討論矢量場通量之前，先介紹有向面積元。規(guī)定該面積元的正法線方向為有向面積元：對于封閉曲面，約定其外法線為正法線方向第29頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月通量：矢量

A

沿某一有向曲面

S的面積分稱為矢量

A通過該有向曲面

S的通量，以標(biāo)量

表示，即

通量可為正、或為負(fù)、或為零。第30頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果通過閉合曲面有凈的矢量線穿出有凈的矢量線進(jìn)入進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等有源稱為正源有洞稱為負(fù)源無源第31頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月由物理得知，真空中的電場強度

E

通過任一閉合曲面的通量等于該閉合面包圍的自由電荷的電量

q與真空介電常數(shù)

0

之比，即，當(dāng)閉合面中存在正電荷時，通量為正。當(dāng)閉合面中存在負(fù)電荷時，通量為負(fù)。在電荷不存在的無源區(qū)中，穿過任一閉合面的通量為零。第32頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月這一電學(xué)實例充分地顯示出閉合面中正源、負(fù)源及無源的通量特性。但是，通量僅能表示閉合面中源的總量，它不能顯示源的分布特性。為此需要研究矢量場的散度。第33頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月散度：當(dāng)閉合面

S

向某點無限收縮時，矢量

A通過該閉合面S的通量與該閉合面包圍的體積之比的極限稱為矢量場

A

在該點的散度，以

divA表示，即式中，V為閉合面

S包圍的體積。上式表明，散度是一個標(biāo)量。第34頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月意義：矢量場穿過包圍單位體積的閉合曲面的通量，又稱通量密度。直角坐標(biāo)系中散度可表示為因此散度可用算符

表示為第35頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月高斯定理或者寫為從數(shù)學(xué)角度可以認(rèn)為高斯定理建立了面積分和體積分的關(guān)系。第36頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月從物理角度可以理解為高斯定理建立了區(qū)域

V中的場和包圍區(qū)域

V

的閉合面

S上的場之間的關(guān)系。因此，如果已知區(qū)域

V中的場，根據(jù)高斯定理即可求出邊界

S上的場，反之亦然。第37頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo)不失一般性，令包圍P點的微體積V為一直平行六面體，如圖所示。則由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為第38頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點P穿出該六面體的凈通量為根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度表式為第39頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月散度運算規(guī)則第40頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月例：已知點電荷q所產(chǎn)生的電場強度求其在任何一點M處的散度。第41頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月可見，除點電荷q所在位置(r=0)外，電場的散度處處為0。第42頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月1-6矢量場的環(huán)量、旋度與旋度定理1、矢量場的環(huán)流與渦旋源不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。第43頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月如磁場沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即：上式建立了磁場的環(huán)流與電流的關(guān)系。第44頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月環(huán)量的概念

環(huán)量：矢量場

A沿一條有向曲線

l的線積分稱為矢量場

A

沿該曲線的環(huán)量，以

表示，即可見，若在閉合有向曲線

l上，矢量場

A的方向與線元

dl

的方向保持一致，則環(huán)量

>0；若相反，則

<0

?？梢姡h(huán)量可以用來描述矢量場的旋渦特性。第45頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為無旋場，又稱為保守場。如果矢量場對于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為有旋矢量場，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為旋渦源。電流是磁場的旋渦源。第46頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月由物理學(xué)得知，真空中磁感應(yīng)強度B沿任一閉合有向曲線l的環(huán)量等于該閉合曲線包圍的傳導(dǎo)電流強度I與真空磁導(dǎo)率0

的乘積。即右手螺旋環(huán)量表示能產(chǎn)生旋渦場的源的強度，但代表的是閉合曲線內(nèi)總的源強度，它不能顯示源的分布特性。為此，需要研究矢量場的旋度。

第47頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月2.矢量場的旋度（1）環(huán)流面密度過點M作一微小曲面S，它的邊界曲線記為C，曲面的法線方向n與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)S0時，極限稱為矢量場在點M處沿方向n的環(huán)流面密度。特點：其值與點M處的方向n有關(guān)。第48頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月在直角坐標(biāo)系中表達(dá)式推導(dǎo)

的示意圖如圖所示第49頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月所以，故同理第50頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）矢量場的旋度旋度：旋度是一個矢量。若以符號

rotA

表示矢量

A

的旋度，則其方向是使矢量

A

具有最大環(huán)量強度的方向，其大小等于對該矢量方向的最大環(huán)量強度，即物理意義：旋渦源密度矢量。第51頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月在直角坐標(biāo)系中：用算符

表示為第52頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月旋度運算規(guī)則

矢量場的旋度的散度恒為零標(biāo)量場的梯度的旋度恒為零第53頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即Stokes定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個變換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用大小相等方向相反，結(jié)果抵消第54頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月散度和旋度的區(qū)別第55頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月1-7無旋場與無散場1、矢量場的源散度源：是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，源在一給定點的（體）密度等于（或正比于）矢量場在該點的散度；第56頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回路的環(huán)量，在給定點上，這種源的（面）密度等于（或正比于）矢量場在該點的旋度。第57頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月2、矢量場按源的分類僅有散度源而無旋度源的矢量場性質(zhì)線積分與路徑無關(guān)，是保守場無旋場可以用標(biāo)量場的梯度表示為任一標(biāo)量場的梯度的旋度一定等于零例如：靜電場第58頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月僅有旋度源而無散度源的矢量場，即性質(zhì)無散場可以表示為另一個矢量場的旋度例如：恒定磁場第59頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）無旋、無散場（源在所討論的區(qū)域之外）（4）有散、有旋場這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分無旋場部分無散場部分第60頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月1-8拉普拉斯算符與格林定理1、拉普拉斯運算標(biāo)量拉普拉斯運算概念：——拉普拉斯算符直角坐標(biāo)系中：拉普拉斯既可以對標(biāo)量進(jìn)行計算也可以對矢量進(jìn)行計算第61頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)任意兩個標(biāo)量場

及，若在區(qū)域V中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該兩個標(biāo)量場

及

滿足下列等式（1-8-1）式中S為包圍V的閉合曲面，為標(biāo)量場在S表面的外法線en

方向上的偏導(dǎo)數(shù)根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式右端又可寫成第62頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月（1-8-1）可寫為（1-8-3）（1-8-1）或（1-8-3）稱為標(biāo)量第一格林定理若將Ψ與Φ對調(diào)，顯然等式仍然成立將（1-8-1）與上式相減，得第63頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月此式又可寫成這就是第二標(biāo)量格林定理第64頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)任意兩個矢量場P

與Q

，若在區(qū)域V中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該矢量場P及Q滿足下列等式式中S

為包圍V

的閉合曲面，面元dS

的方向為S

的外法線方向，上式稱為矢量第一格林定理。

第65頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月將上式的P

與

Q

對調(diào)，再與上式相減，得到下列等式此式稱為第二矢量格林公式無論何種格林定理，都是說明區(qū)域V中的場與邊界S上的場之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫?/p>