湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體高一下學期期末聯(lián)考數(shù)學試題

2022-2023學年度下學期期末考試高一數(shù)學試卷考試時間：2023年6月27日上午8:00-10:00試卷滿分：150分注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)，則的虛部為（）A.1 B.2 C.i D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)共軛復數(shù)及復數(shù)的乘法法則進行化簡運算，再得出結果.【詳解】，虛部為2.故選：B.2.某中學高一年級有20個班，每班50人；高二年級有24個班，每班45人.甲就讀于高一，乙就讀于高二.學校計劃從這兩個年級中共抽取208人進行視力調(diào)查，若采用分層抽樣的方式進行抽樣，則下列說法：①甲乙兩人可能同時被抽??；②高一、高二年級分別抽取100人和108人；③乙被抽到的可能性比甲的大.其中正確的有（）A.① B.①③ C.①② D.①②③【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的特征以及每層的人數(shù)比值逐一求解判斷各選項.【詳解】對于①，因為總體是由差異明顯的兩部分組成的，所以應該采取分層隨機抽樣，故①正確；對于②，高一共有人，高二共有人，從這兩個年級2080人中共抽取208人進行視力調(diào)查，高一應抽取人，高二應抽取人，故②正確；對于③，甲被抽到的可能性為，乙被抽到的可能性為，甲和乙被抽到的可能性相等，故③錯誤；所以正確的說法是：①②.故選：C.3.已知，是兩個不同的平面，為平面內(nèi)的一條直線，下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】由線面、面面平行的判定定理及線面、面面垂直的判定定理逐一判斷各選項.【詳解】對于A，由面面平行判定定理可知，在平面內(nèi)需要兩條相交直線與平面平行才能得出兩平面平行，故A錯誤；對于B，選項缺少不在平面內(nèi)，故B錯誤；對于C，由面面垂直的性質(zhì)定理可知，平面內(nèi)的直線與，兩個平面的交線垂直，才能得出，故C錯誤；對于D，已知，為平面內(nèi)的一條直線，由面面垂直判定定理可知D正確，故D正確.故選：D.4.已知向量，滿足，，則在方向上的投影向量為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知可得，根據(jù)投影向量的定義及數(shù)量積的運算律求投影向量即可.【詳解】由，得.根據(jù)定義可知：在方向上的投影向量為.故選：C.5.已知，，是三個平面，，，，則下列結論正確的是（）A.直線與直線可能是異面直線B.若，則直線與直線可能平行C.若，則直線與直線不可能相交于點D.若，則【答案】D【解析】【分析】對于A，直線與直線都在平面內(nèi)；對于B、D，由，，，得出，得出結果；對于D，由線面平行的判定定理以及性質(zhì)定理推理得出.【詳解】對于A，，，所以，，故A錯誤；對于B、D，因為，，，所以，，，因為，所以，所以直線，，必然交于一點（即三線共點），故B，C錯誤，對于D，若，，，所以，又，，則，故D正確；故選：D.6.已知平面向量，，滿足，且對，有恒成立，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】展開，根據(jù)，有恒成立，可求得兩向量夾角，再結合夾角余弦公式即可求得.【詳解】由展開得，，對，有恒成立，即,即所以可得，所以解得，即，，所以，則與的夾角余弦值，所以與的夾角為.故選：A.7.在邊長為2的正方形中，是的中點，點是的中點，將，，分別沿，，折起，使，，三點重合于點，則到平面的距離為（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】由折疊不變可知，三棱錐中，，兩兩相互垂直，然后由等體積法可求出答案.【詳解】由折疊不變可知，三棱錐中，，兩兩相互垂直，所以，的三邊長分別為，，，所以，因為，設到平面的距離為，所以，解得，故選：B8.已知一組樣本數(shù)據(jù)共有8個數(shù)，其平均數(shù)為8，方差為12，將這組樣本數(shù)據(jù)增加兩個未知的數(shù)據(jù)構成一組新的樣本數(shù)據(jù)，已知新的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為9，則新的樣本數(shù)據(jù)的方差最小值為（）A.10 B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平均數(shù)公式及其方差公式求解.【詳解】設增加的數(shù)為，，原來的8個數(shù)分別為，則，，所以，又因為，即，新的樣本數(shù)據(jù)的方差為，因為，，所以方差的最小值為（當時取到最小值）.故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.學?！拔磥肀弊闱虮荣愔校装嗝繄霰荣惼骄驍?shù)是，失球個數(shù)的標準差為；乙班每場比賽平均失球數(shù)是，失球個數(shù)的標準差為，你認為下列說法中正確的是（）A.平均來說乙班比甲班防守技術好B.乙班比甲班防守技術更穩(wěn)定C.乙班在防守中有時表現(xiàn)非常好，有時表現(xiàn)比較差D.甲班很少不失球【答案】ACD【解析】【分析】由平均數(shù)及方差的大小關系逐一判斷各選項.【詳解】對于A，從平均數(shù)角度考慮是對的，甲班每場比賽平均失球數(shù)大于乙班每場比賽平均失球數(shù)，故A正確；對于B，從標準差角度考慮是錯的，甲失球個數(shù)的標準差小，防守技術更穩(wěn)定；故B錯誤；對于C，乙失球個數(shù)的標準差大，防守中的表現(xiàn)不穩(wěn)定，故C正確；對于D，從平均數(shù)和標準差角度考慮是對的，故D正確.故選：ACD.10.已知（全體復數(shù)集），關于的方程的兩根分別為，，若，則的可能取值為（）A. B. C.0 D.4【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)已知及韋達定理得出，分情況討論得出結果.【詳解】因為，，所以，當時，∴；當時，，，∴.故選：ACD.11.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，加入以下哪個選項作為已知條件，可以唯一確定的值（）A.， B.，C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)逐一判斷即可，其中判斷C、D的時候需由，得到.【詳解】當，時得，，∴，A選項正確；當，時，函數(shù)的最小正周期，∴，以及，∴，B正確；由圖像可得，，∴又因為，∴，所以C錯，D對.故選：ABD12.已知棱長為1的正方體中，為正方體內(nèi)及表面上一點，且，其中，，則下列說法正確的是（）A.當時，對任意，平面恒成立B.當，時，與平面所成的線面角的余弦值為C.當時，恒成立D.當時，的最小值為【答案】ABC【解析】【分析】對于A，由面面平行的性質(zhì)定理得出線面平行；對于B，由線面垂直的判定定理得出，是垂足，所以為所求；對于C，由線面垂直的性質(zhì)定理證得結果；對于D，將平面和平面展開成平面圖后，線段為所求.【詳解】對于A，如圖1，當時，點在線段上，包含于平面，又因為平面平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，如圖2，當，時，是的中點，因為平面，平面，所以，又，，AB、BC1在面ABC1D1內(nèi)，所以，是垂足，所以為所求，在中，，所以與平面所成的線面角的余弦值為，故B正確；對于C，如圖3，當時，點在線段上，由選項C同理可證面，面，，故C正確；對于D，如圖4，當時，點在線段上，將平面和平面展開成平面圖后，線段為所求，此時，，的最小值為，故D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)運算的除法法則和模的計算公式，即可化簡得到答案.【詳解】因為，所以.故答案為：.14.如圖是水平放置的的直觀圖，其中，，，則的周長為______.【答案】24【解析】【分析】根據(jù)直觀圖復原原圖，根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，確定相關線段的長，可求得答案.【詳解】如圖，根據(jù)直觀圖復原原圖，則，故的周長為，故答案為：24.15.半徑為的球的球面上有四點，，，，已知為等邊三角形且其面積為，三棱錐體積的最大值為，則球的半徑等于______.【答案】4【解析】【分析】設的中心為，三棱錐外接球的球心為，則當體積最大時，點，，在同一直線上，且垂直于底面，然后利用圖形中的幾何關系和條件可求得答案.【詳解】設的中心為，三棱錐外接球的球心為，則當體積最大時，點，，在同一直線上，且垂直于底面，如圖，因為為等邊三角形且其面積為，所以的邊長滿足，故，所以，，故，故三棱錐的高，所以，所以.故答案為：16.已知直角三角形的三個頂點分別在等邊三角形的邊，，上，且，，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】設，，由正弦定理求解，再結合三角形面積公式及三角函數(shù)輔助角公式求三角函數(shù)最值得出結果.【詳解】設，，則中，，由正弦定理得：，∴，在中，，，同理可得，因此可得，，因為，其中，，由于，，所以當時，，所以，則的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知為三角形一個內(nèi)角，i為虛數(shù)單位，復數(shù)，且在復平面上對應的點在虛軸上.（1）求；（2）設，，在復平面上對應的點分別為，，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先得到，再根據(jù)在復平面上對應的點在虛軸上，由求解；（2）先得到各復數(shù)在復平面上對應的點分別為，，，然后利用余弦定理求得一個角，再利用三角形面積公式求解.【小問1詳解】解：∵，∴，，∴；【小問2詳解】由（1）知：，，∴，，∴.在復平面上對應的點分別為，，，∴，，，由余弦定理可得，且，∴，∴.18.記的內(nèi)角的對邊分別為，滿足.（1）求角；（2）若，，是中線，求的長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)邊角轉化，將題干條件均化成角，結合誘導公式，三角恒等變換進行化簡求值；（2）利用，平方后求，結合余弦定理來處理.【小問1詳解】因為，由正弦定理可知：，由，故，∴∴，∴，又，所以；【小問2詳解】根據(jù)數(shù)量積的定義，由，得，又，在中由余弦定理得：∵，∴，所以19.如圖，在邊長為2的正方體中，，分別是棱，的中點,（1）求證：點在平面內(nèi)；（2）用平面截正方體，將正方體分成兩個幾何體，兩個幾何體的體積分別為，，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)兩條平行線確定一個平面得出、、、四點共面；（2）連接，由于平面截正方體的截面是四邊形，得出是幾何體三棱臺的體積，進一步求體積得出比值.【小問1詳解】如圖，連接，在正方體中，且，所以四邊形平行四邊形，所以，又，分別是棱，的中點,則，所以，所以、、、四點共面，即點在平面內(nèi)；【小問2詳解】連接，所以平面截正方體的截面是四邊形，所以是幾何體三棱臺的體積，則，，所以，且.因此：.20.2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙在東風著陸場預定區(qū)域成功著陸，航天員翟志剛，王亞平，葉光富順利出艙，神舟十三號載人飛行任務圓滿完成，為紀念中國航天事業(yè)所取得的成就，發(fā)掘并傳承中國航天精神，某市隨機抽取1000名學生進行了航天知識競賽并記錄得分（滿分：100分），將學生的成績整理后分成五組，從左到右依次記為，，，，，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）請補全頻率分布直方圖并估計這1000名學生成績的平均數(shù)和計算80%分位數(shù)（求平均值時同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）現(xiàn)從以上各組中采用分層抽樣的方法抽取200人，若第三組中被抽取的學生成績的平均數(shù)與方差分別為72分和1，第四組中被抽取的學生成績的平均數(shù)與方差分別為87分和2，求這200人中分數(shù)在區(qū)間的學生成績的方差.【答案】（1）圖見解析，平均數(shù)67分，80%分位數(shù)分（2）【解析】【分析】（1）由頻率和為1，求出成績落在的頻率；由樣本的平均數(shù)公式及百分位數(shù)的計算公式得出結果；（2）根據(jù)分層抽樣的樣本平均數(shù)及方差公式求得結果.【小問1詳解】成績落在的頻率為，補全的頻率分布直方圖，如圖樣本的平均數(shù)（分）設80%分位數(shù)為，則，解得：（分）；【小問2詳解】由分層抽樣可知，第三組和第四組分別抽取30人和20人分層抽樣的平均值：（分）分層抽樣的方差：所以這200人中分數(shù)在區(qū)間所有人的成績的方差為21.在三棱柱中，，，，.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）由面面垂直的判定定理證得結果；（2）取的中點，為二面角的平面角，由余弦定理求得結果.【小問1詳解】如圖，設的中點為，連接，，因為，所以，又因為，且，所以，因為，平面，且，所以平面，因為平面，所以，在中，，，由余弦定理求得，則，，因為，所以，解得，在，，，可知，又，在中，，因此.由（1）知，，且，平面，且，所以平面，平面，因此平面平面.【小問2詳解】由第一問證明易得，，且.取的中點，為二面角的平面角，且，，所以二面角的平面角的余弦值為.22.記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且邊上的高.（1）若，求；（2）已知中角和是銳角，求的最小值.【