【2022高考必備】2012-2021十年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編數(shù)列大題(原卷版及解析版)

2012?2021十年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編數(shù)列大題(原卷版)2 1(2021年高考全國乙卷理科)記5〃為數(shù)列｛q｝的前n項(xiàng)和，?為數(shù)列｛Sn｝的前n項(xiàng)積，已知三+廠=2.nn(1)證明：數(shù)列也｝是等差數(shù)列；(2)求｛可｝的通項(xiàng)公式.(2021年高考全國甲卷理科)己知數(shù)列｛q｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記S〃為｛q｝的前〃項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.①數(shù)列｛q｝是等差數(shù)列：②數(shù)列｛底｝是等差數(shù)列；③叼=3q.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)I卷理科)設(shè)｛可｝是公比不為1的等比數(shù)列，%為生，%的等差中項(xiàng).(1)求的公比；(2)若《=1,求數(shù)列｛〃勺｝的前〃項(xiàng)和.(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)HI卷理科)設(shè)數(shù)列｛為｝滿足6=3,%+1=3許-4〃.(1)計(jì)算S,S，猜想｛為｝的通項(xiàng)公式并加以證明；(2)求數(shù)列｛2"g｝的前八項(xiàng)和Sn.(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國II卷理科)已知數(shù)列｛aιι｝和也｝滿足al=I,bl=0,4MH=3an-bιt+4,4?+ι=3?-^-4.(I)證明：｛q+々｝是等比數(shù)列，｛q,-“｝是等差數(shù)列；(2)求同｝和也｝的通項(xiàng)公式.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)In卷(理))(12分)等比數(shù)列｛q｝中，al=l,a5=4a.(1)求｛禺｝的通項(xiàng)公式；(2)記S”為｛q｝的前〃項(xiàng)和，若S”=63,求〃?.Cili=2"τ或all=(-2)'τ；(2)Hi=6(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)I【卷(理))(12分)記S“為等差數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和，己知力=-7,S3=-15.(1)求｛4,J的通項(xiàng)公式：(2)求S”,并求S“的最小值.（2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)H【卷理科）已知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和=1+4%,其中4≠0.（I）證明｛6,｝是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；31（H）若Ss=袁，求4.（2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1【卷理科）（本題滿分12分），為等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和，且q=l,S7=28.記b=[lgaιι],其中國表示不超過X的最大整數(shù)，[0.9]=0,[lg99]=1.⑴求%%fc101;（H）求數(shù)列也,｝的前IoOo項(xiàng)和.（2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科）（本小題滿分12分）S”為數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和.已知%>0q-2q=4S"+3?（I）求｛〃”｝的通項(xiàng)公式：（∏）設(shè)blι=一i一，求數(shù)列｛bll｝的前〃項(xiàng)和2。（2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科）（本小題滿分12分）已知數(shù)列｛〃“｝滿足的=1,aιl+l=3atl+1.（I）證明｛q+是等比數(shù)列，并求｛q｝的通項(xiàng)公式：（ID證明：±+-L÷???+J-<1q%為2（2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科）已知數(shù)列an的前〃項(xiàng)和為S“，4=1,q≠0,c，MHd=義斗一1,其中％為常數(shù).（1）證明：q”一q=A；（2）是否存在4,使得可為等差數(shù)列？并說明理由.2012-2021十年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編數(shù)列大題（精解精析）2 11.（2021年高考全國乙卷理科）記為數(shù)列｛q｝的前n項(xiàng)和，?為數(shù)列｛Sn｝的前n項(xiàng)積，已知葭+廠=2.（I）證明：數(shù)列也｝是等差數(shù)列；（2）求｛q｝的通項(xiàng)公式.-Ji=I2【答案】（1）證明見解析：（2）—1—F?”"2n（n+l）解析：⑴由己知：+；=2得S”=著7,且“≠0,?≠iS“bι Ibn-I 2取〃=1,由A=&得A=?∣,由于或?yàn)閿?shù)列｛s“｝的前〃項(xiàng)積，2b1所以西匕2b22人一12b1所以西匕2b2

2^-12%=b2?+1-l所以2%_鼠2?÷1-l卜由于"÷ι≠02 1所以/—T=廠,

2?÷I-1 ?即，其中"∈N"乙所以數(shù)列色｝是以4=2為首項(xiàng)，以d=g為公差等差數(shù)列；（2）由（1）可得，數(shù)列也｝是以4=,為首項(xiàng)，以d=；為公差的等差數(shù)列,

乙 乙1 3/ 、1 〃--bll=→（n-l）×-=l+-fS“=且=X112bn-11+〃3當(dāng)"二1時(shí)，ai=S1=-CC2+/7 1+/7當(dāng)心2時(shí)，4=*fτ=πrτ1而還，顯然對(duì)于〃口不成立,Α=1【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前〃項(xiàng)和與項(xiàng)的關(guān)系，數(shù)列的前八項(xiàng)枳與項(xiàng)的關(guān)系,Zb12b,2b.Zb12b,

其中由Lrhr…歹七="，得到Lvhr

2b[-12A—12bn-1 2〃-12A—1▲ ?0 /1 XJ?=%,進(jìn)而得到2"+IT?ι,?÷ι2?+1-lbιι是關(guān)鍵一步；要熟練掌握前〃項(xiàng)和，枳與數(shù)列的項(xiàng)的關(guān)系，消和（枳）得到項(xiàng)（或項(xiàng)的遞推關(guān)系），或者消項(xiàng)得到和（積）的遞推關(guān)系是常用的重要的思想方法.2.（2021年高考全國甲卷理科）己知數(shù)列｛q｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記S〃為｛q｝的前〃項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.①數(shù)列｛q｝是等差數(shù)列：②數(shù)列｛#1｝是等差數(shù)列；③％=3q.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】答案見解析解析：選①②作條件證明③：設(shè)6?=卬?+”（。＞°），則S“=（〃〃+〃『，當(dāng)〃=1時(shí)，a1=S]=（4+by；當(dāng)〃≥2時(shí)，%=Sn-SnT=（an+b?-（an-a+by=a（2an-a+2b）↑因?yàn)椋?｝也是等差數(shù)列，所以（。+〃『=。（2“-4+2與，解得6=0：所以?！?/（2〃-1）,所以%=3q.選①③作條件證明②：因?yàn)?=3%,｛4｝是等差數(shù)列，所以公差4=生一q=2q,所以Sn=nal+77(∕7-l)d=n2al2即&=向L因?yàn)?7一四二向(〃+1)—向〃=瘋，所以｛√Γ｝是等差數(shù)列.選②③作條件證明①：設(shè) =an+b(a>0),則Sιι=(?an+by,當(dāng)〃=1時(shí)，6r1=S1=(a+b)~：當(dāng)〃≥2時(shí)，aιι=S“一S,1=(an+b)2-(^an-a+b)2=a(lan-a-?-2b)?因?yàn)閏4=3q,所以o(3q+2Z?)=3(。+〃)-,解得b=0或〃=一?。划?dāng)/?=0時(shí)，al=cr,an=cr(l.n-l),當(dāng)〃≥2時(shí)，qq4=2/滿足等差數(shù)列的定義，此時(shí)｛4｝為等差數(shù)列：當(dāng)b=——?,y∣Sll=cm+b=cιn--cιy —§<0不合題意，舍去.綜上可知｛4｝為等差數(shù)列.【點(diǎn)睛】這類題型在解答題中較為罕見，求解的關(guān)鍵是牢牢抓住已知條件，結(jié)合相關(guān)公式，逐步推演，等差數(shù)列的證明通常采用定義法或者等差中項(xiàng)法.(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)I卷理科)設(shè)｛q｝是公比不為1的等比數(shù)列，%為生，%的等差中項(xiàng).(1)求｛/｝的公比:⑵若《=1,求數(shù)歹IJ｛〃〃”｝的前〃項(xiàng)和.【答案】(1)-2：(2)S ]-(l+3〃卜2)”.9【解析】(1)設(shè)缶”｝的公比為q,%為生,4的等差中項(xiàng)，?/2r∕1=a2+%Ml≠0,,q1+<7—2=0.q≠l..?q=-2；(2)設(shè)｛〃為｝前〃項(xiàng)和為S“，4=lq=(-2)i,Sn=IXl,+2X(-2)+3X(-2)~+,,,+ 2)n^ι,(T)-2Sll=1×(-2)+2×(-2)z+3×(-2了+…(〃—1)(-2)m-1+n(-2)n,②①一②得，3S”=1+(―2)+(―2f+…+(—2)'i— 2)”=-(一2)〃_〃(_2)〃=1一(1+3〃)(-2)〃，1-(-2) 3.SJ一(1+3〃)(—2)〃n9【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算、等差中項(xiàng)的性質(zhì)，以及錯(cuò)位相減法求和，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)HI卷理科)設(shè)數(shù)列｛說滿足6=3,%+1=3許-4〃.(1)計(jì)算S,S，猜想｛為｝的通項(xiàng)公式并加以證明；(2)求數(shù)列｛2~n｝的前八項(xiàng)和Sn.【答案】(1)%=5,%=7,α,r=2n+l,證明見解析；(2)Sπ=(2n-l)?2n+1+2.解析：(1)由題意可得H=3q—4=9—4=59cl= —8=15—8=7,由數(shù)列r｝的前三項(xiàng)可猜想數(shù)列也｝是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即4=2〃+L證明如下：當(dāng)〃=1時(shí)，q=3成立；假設(shè)〃=&時(shí)，％=2A+1成立.那么〃=攵+1時(shí)，ak+l=3ak—4k=3(2?+l)-4?=2k+3=2伙+1)+1也成立.則對(duì)任意的n∈N*，都有%=2〃+1成立；(2)由(1)可知，%?2"=(2"+l)?2"S“=3x2+5x2—7x23+…+Q-1)?2"T+(2"+l)?2”,①2Sπ=3×22+5×23+7×24+???+(2m-1)?2π+(2/?+1)?2n+1，②由①一②得：一S“=6+2x(2?+23+—+2")—(2〃+1)-2"+】=6+2×2'I)-(2∕?+l)?2π+1=(l-2〃)?2z,+1-2，1-2即S'=(2"-l)?26+2?【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，屬于中檔題.(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國II卷理科)已知數(shù)列｛aιι｝和也,｝滿足q=1,bl=0,4all+l=3alt-bll+4,4?+ι=3?-^-4.(I)證明：｛q+4｝是等比數(shù)列，｛q,-“｝是等差數(shù)列；(2)求應(yīng)｝和也｝的通項(xiàng)公式.【答案】(1)見解析；(2)an≈^+n-^bιι=~n+^.【官方解析】⑴由題設(shè)得4(。田+?+1)=2(%÷?),即%÷?+1=?(all+blt).又因?yàn)閝+4=l,所以｛q+￡｝是首項(xiàng)為1,公比為;的等比數(shù)列.由題設(shè)得4(4,用-bn+l)=4(a〃F)+8,即an+l-bn+l=an-bn+2.又因?yàn)椤兑?=1,所以｛為一"｝是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.(2)由(1)知，4+"=∕r,an-bn=2n-l.乙所以%=；K/+%)+(%-"月=Jr

乙 乙1+n——211?=∣[(^n+?)-(^-?)]= n+-.2〃 2【分析】⑴可通過題意中的=3"一4+4以及4?+]=3%-仇—4對(duì)兩式進(jìn)行相加和相減即可推導(dǎo)出數(shù)列｛q+4｝是等比數(shù)列以及數(shù)列｛q―〃｝是等差數(shù)列：⑵可通過(1)中的結(jié)果推導(dǎo)出數(shù)列｛all+bll｝以及數(shù)列｛an-b,｝的通項(xiàng)公式，然后利用數(shù)列｛all+4｝以及數(shù)列｛《,一”｝的通項(xiàng)公式即可得出結(jié)果.【解析】(1)由題意可知4qr+]=3%-4+4,4?h=3?-^-4,λ1+∕j1=1,al-bl=l9所以 +4%=3an一"+4+34-氏一4=2an+2?,即〃田+"+】=；(%+”)，

乙所以數(shù)列｛q+4｝是首項(xiàng)為1、公比為;的等比數(shù)列，alt+blt=?因?yàn)??i%=M「々+4-3blt-an-4=4q,-4?+8,所以q+「以”=%一〃+2,數(shù)列｛?！ㄒ弧保鞘醉?xiàng)1、公差為2等差數(shù)列，a-1—1.(2)由(1)可知,4+"=*,q-"=2〃—1,乙所以為=[[&+%)+(%—“)]=3+〃一；，?=∣+")一(為一a)]=3一〃+；.乙 乙 乙 乙 乙 乙【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了等差數(shù)列以及等比數(shù)列的相關(guān)證明，證明數(shù)列是等差數(shù)列或者等比數(shù)列一定要結(jié)合等差數(shù)列或者等比數(shù)列的定義，考查推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)HI卷(理))(12分)等比數(shù)列｛q｝中，4=1,%=4%(1)求｛可｝的通項(xiàng)公式；⑵記S”為｛q,｝的前〃項(xiàng)和，若S”=63,求〃7.⑴aιt=2"τ或?yàn)?(―2)'i；(2)m=6【答案】【官方解析】(1)設(shè)｛《,｝的公比為夕，由題設(shè)得-由已知得了=4如，解得q=0(舍去)，夕=-2或q=2故凡=(-2)1或4=23i-(_2Vn(2)若4=(-2)"T,則S,,,= : ，由S,”=63,得(一2/=一188,此方和沒有正整數(shù)解若4=2^,則鼠=2"'-1,由Spi=63,得2πι=64,解得〃?=6綜上，ιn=6.【民間解析】(1)設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為1，由4=1，。5=4%可得支44=4、1、心所以q?=4所以q=±2當(dāng)q=2時(shí)，aιl=alq,,-l=2"-?當(dāng)夕=一2時(shí)，aιl=alqlt-l=(-2)n-l(2)由(I)可知q=±2a(l-√π) ↑-2nt當(dāng)q=2時(shí)，由S=63=>- =63BP =63,即2'”=64=2,所以加=6；'" l-q 1-2a.（l-q",｝ 1-（-2Yn當(dāng)q=—2時(shí)，由S,"=63n-? ^=63即一-一-=63,即（-2）=-188,無解l-q 1÷2綜上可知〃?=6.（2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)I【卷（理））（12分）記S“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，己知％=-7,S3=-15.（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式：（2）求SJ并求S”的最小值.【答案】解析：（1）設(shè)｛凡｝的公差為d,由題意得3q+3d=T5?由.=7得d=2,所以｛an｝的通項(xiàng)公式為=2//-9.（2）由（I）^Sn=n2-Sn=（n-4）2-16.所以當(dāng)〃=4時(shí)，S”取得最小值，最小值為-16.（2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)HI卷理科）已知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和S”=1+%凡，其中4≠0.（I）證明｛q｝是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；31（H）若§5=/，求4.【答案】（I）%=T?-（-?v）"T；（∏）%=-1.I-AA-I【解析】（I）由題意得q=E=l+%q,故2≠Lq≠0?L-A由Szr=1+λan,Sn+l=1+皿+］得an+l=λan^-λan,即an+i（2-l）=λan.由q≠0,4≠0得為≠0,所以巴包=』-ɑ,λ-?1 ; 1J因此｛凡｝是首項(xiàng)為一一,公比為——的等比數(shù)列,于是?！?」一(——)『1—4Λ—1 \—λZ-I1 ?1 j a1 / 1(11)由(1)得5〃=1—(二)"，由55=二得1—('-)5=上，即(_，一)5=上，解得/1=—1.〃X-V532A-I32 2-1 32（2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1【卷理科）（本題滿分12分），為等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和，且q=LS7=28.記b=[lgan]9其中[可表示不超過X的最大整數(shù)，如[0?9]=0,[lg99]=l.(I)求%%dn;(II)求數(shù)列｛4｝的前Iooo項(xiàng)和.【答案】(I)?=[lgl]=O,?=[lgli]=l,?ol=[lglθl]=2;(2)1893.【解析】(1)設(shè)｛q｝的公差為d,據(jù)己知有7+21d=28,解得d=l.所以數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為％=〃.4=[igi]=°?∕=[igiι]=i,?∏=[igioι]=2?o,no.(2)因?yàn)椤?,L2,1O≤∕∕<1OO,IOO≤"<1000,3,〃=1000,所以數(shù)歹∣J｛〃｝的前IOOO項(xiàng)和為1x90+2x900+3χl=1893.（2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科）（本小題滿分12分）S”為數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和.已知Q.>0,qJ+2q=4S"+3.（I）求｛q｝的通項(xiàng)公式：12牝%+],求數(shù)列也r｝的前〃項(xiàng)和【答案】(I)2/7+1(II)?-614〃+6(ID設(shè)4=分析：（【）先用數(shù)列第〃項(xiàng)與前〃項(xiàng)和的關(guān)系求出數(shù)列｛qj的遞推公式，可以判斷數(shù)列｛qj是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可寫出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；（1【）根據(jù)（I）數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，再用拆項(xiàng)消去法求其前〃項(xiàng)和.解析：（I）當(dāng)〃=1時(shí)，4；+2q=4S]+3=4q+3,因?yàn)??！?gt;0,所以％=3,當(dāng)〃≥2時(shí)，4十（一q?-%=4S〃+3-4S.T-3=4/，即&+%）（%-%）=2&+%），因?yàn)?gt;0，所以一41二2，所以數(shù)列｛q｝是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列，所以凡二2〃+1：（H）由（I）知, =一( )，(2〃+1)(2〃+3)22w+l2〃+31所以數(shù)列WJ前n項(xiàng)和為4+4+H 1-(2/7+1 )]二 2〃+3 64/?+6考點(diǎn)：數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系：等差數(shù)列定義與通項(xiàng)公式；拆項(xiàng)消去法（2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科）（本小題滿分12分）已知數(shù)列｛qj滿足％=1,4+ι=3%+L(I)證明]4+外是等比數(shù)列，并求｛q｝的通項(xiàng)公式；(H)證明：±+J-+???+J-<∣“a?an21 1 13【答案】解析：(I)由q*=3%+l,得〃用+=3(%+5),且4+5=5乙 乙 乙乙所以｛q