初中數(shù)學競賽輔導(dǎo)講義和習題解答第22講園冪定理

./第二十二講園冪定理相交弦定理、切割線定理、割線定理統(tǒng)稱為圓冪定理．圓冪定理實質(zhì)上是反映兩條相交直線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)定理,其本質(zhì)是與比例線段有關(guān)．相交弦定理、切割線定理、割線定理有著密切的聯(lián)系,主要體現(xiàn)在：1．用運動的觀點看,切割線定理、割線定理是相交弦定理另一種情形,即移動圓內(nèi)兩條相交弦使其交點在圓外的情況；2．從定理的證明方法看,都是由一對相似三角形得到的等積式．熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論：[例題求解][例1]如圖,PT切⊙O于點T,PA交⊙O于A、B兩點,且與直徑CT交于點D,CD=2,AD=3,BD=6,則PB=．思路點撥綜合運用圓冪定理、勾股定理求PB長．注：比例線段是幾何之中一個重要問題,比例線段的學習是一個由一般到特殊、不斷深化的過程,大致經(jīng)歷了四個階段：<1>平行線分線段對應(yīng)成比例；<2>相似三角形對應(yīng)邊成比例；<3>直角三角形中的比例線段可以用積的形式簡捷地表示出來；<4>圓中的比例線段通過圓冪定理明快地反映出來．[例2]如圖,在平行四邊形ABCD中,過A、B、C三點的圓交AD于點E,且與CD相切,若AB=4,BE=5,則DE的長為<>A．3B．4C．D．思路點撥連AC,CE,由條件可得許多等線段,為切割線定理的運用創(chuàng)設(shè)條件．注：圓中線段的算,常常需要綜合相似三角形、直角三角形、圓冪定理等知識,通過代數(shù)化獲解,加強對圖形的分解,注重信息的重組與整合是解圓中線段計算問題的關(guān)鍵．[例3]如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB是∠O的直徑,PA是過A點的直線,∠PAC=∠B．<1>求證：PA是⊙O的切線；<2>如果弦CD交AB于E,CD的延長線交PA于F,AC=8,CE：ED=6：5,,AE：BE=2：3,求AB的長和∠ECB的正切值．思路點撥直徑、切線對應(yīng)著與圓相關(guān)的豐富知識．<1>問的證明為切割線定理的運用創(chuàng)造了條件；引入?yún)?shù)x、k處理<2>問中的比例式,把相應(yīng)線段用是的代數(shù)式表示,并尋找x與k的關(guān)系,建立x或k的方程．[例4]如圖,P是平行四邊形AB的邊AB的延長線上一點,DP與AC、BC分別交于點E、E,EG是過B、F、P三點圓的切線,G為切點,求證：EG=DE思路點撥由切割線定理得EG2=EF·EP,要證明EG=DE,只需證明DE2=EF·EP,這樣通過圓冪定理把線段相等問題的證明轉(zhuǎn)化為線段等積式的證明．注：圓中的許多問題,若圖形中有適用圓冪定理的條件,則能化解問題的難度,而圓中線段等積式是轉(zhuǎn)化問題的橋梁．需要注意的是,圓冪定理的運用不僅局限于計算及比例線段的證明,可拓展到平面幾何各種類型的問題中．[例5]如圖,以正方形ABCD的AB邊為直徑,在正方形內(nèi)部作半圓,圓心為O,DF切半圓于點E,交AB的延長線于點F,BF＝4．求：<1>cos∠F的值；<2>BE的長．思路點撥解決本例的基礎(chǔ)是：熟悉圓中常用輔助線的添法<連OE,AE>；熟悉圓中重要性質(zhì)定理及角與線段的轉(zhuǎn)化方法．對于<1>,先求出EF,FO值；對于<2>,從△BEF∽△EAF,Rt△AEB入手．注：當直線形與圓結(jié)合時就產(chǎn)生錯綜復(fù)雜的圖形,善于分析圖形是解與圓相關(guān)綜合題的關(guān)鍵,分析圖形可從以下方面入手：<1>多視點觀察圖形．如本例從D點看可用切線長定理,從F點看可用切割線定理．<2>多元素分析圖形．圖中有沒有特殊點、特殊線、特殊三角形、特殊四邊形、全等三角形、相似三角形．<3>將以上分析組合,尋找聯(lián)系．學力訓練1．如圖,PT是⊙O的切線,T為切點,PB是⊙O的割線,交⊙O于A、B兩點,交弦CD于點M,已知CM=10,MD=2,PA=MB=4,則PT的長為．2．如圖,PAB、PCD為⊙O的兩條割線,若PA=5,AB=7,CD=11,則AC：BD=．3．如圖,AB是⊙O的直徑,C是AB延長線上的一點,CD是⊙O的切線,D為切點,過點B作⊙O的切線交CD于點F,若AB=CD=2,則CE=．4．如圖,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,以AC為直徑作圓與斜邊交于點P,則BP的長為<>A．6．4B．3．2C．3．6D．85．如圖,⊙O的弦AB平分半徑OC,交OC于P點,已知PA、PB的長分別為方程的兩根,則此圓的直徑為<>A．B．C．D．⌒⌒⌒6．如圖,⊙O的直徑Ab垂直于弦CD,垂足為H,點P是AC上一點<點P不與A、C兩點重合>,連結(jié)PC、PD、PA、AD,點E在AP的延長線上,PD與AB交于點F,給出下列四個結(jié)論：①CH2=AH·BH；②AD＝AC：③AD2=DF⌒⌒⌒A．1B．2C．3D．47．如圖,BC是半圓的直徑,O為圓心,P是BC延長線上一點,PA切半圓于點A,AD⊥BC于點D．<1>若∠B=30°,問AB與AP是否相等?請說明理由；<2>求證：PD·PO=PC·PB；<3>若BD：DC=4：l,且BC＝10,求PC的長．8．如圖,已知PA切⊙O于點A,割線PBC交⊙O于點B、C,PD⊥AB于點D,PD、AO的延長線相交于點E,連CE并延長交⊙O于點F,連AF．<1>求證：△PBD∽△PEC；<2>若AB=12,tan∠EAF=,求⊙O的半徑的長．9．如圖,已知AB是⊙O的直徑,PB切⊙O于點B,PA交⊙O于點C,PF分別交AB、BC于E、D,交⊙O于F、G,且BE、BD恰哈好是關(guān)于x的方程<其中為實數(shù)>的兩根．<1>求證：BE=BD；<2>若GE·EF=,求∠A的度數(shù)．10．如圖,△ABC中,∠C=90°,O為AB上一點,以O(shè)為圓心,OB為半徑的圓與AB相交于點E,與AC相切于點D,已知AD=2,AE=1,那么BC=．11．如圖,已知A、B、C、D在同一個圓上,BC=CD,AC與BD交于E,若AC=8,CD=4,且線段BE、ED為正整數(shù),則BD=．12．如圖,P是半圓O的直徑BC延長線上一點,PA切半圓于點A,AH⊥BC于H,若PA=1,PB+PC=<>2>,則PH=<>A．B．C．D．13．如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形,弦EF經(jīng)過BC的中點D,且EF∥AB,若AB=2,則DE的長為<>A．B．C．D．114．如圖,已知AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點,延長BC至D,使CD=BC,CE⊥AD于E,BE交⊙O于F,AF交CE于P,求證：PE=PC．15．已知：如圖,ABCD為正方形,以D點為圓心,AD為半徑的圓弧與以BC為直徑的⊙O相交于P、C兩點,連結(jié)AC、AP、CP,并延長CP、AP分別交AB、BC、⊙O于E、H、F三點,連結(jié)OF．<1>求證：△AEP∽△CEA；<2>判斷線段AB與OF的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論；<3>求BH:HC16．如圖,PA、PB是⊙O的兩條切線,PEC是一條割線,D是AB與PC的交點,若PE=2,CD=1,求DE的長．17．如圖,⊙O的直徑的長是關(guān)于x的二次方程<是整數(shù)>的最大整數(shù)根,P是⊙