初中數(shù)學(xué)-24.4弧長和扇形的面積（1）教學(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

初級中學(xué)數(shù)學(xué)備課年級九年級學(xué)科數(shù)學(xué)主備教師時間課型新授課題24.4弧長和扇形的面積（1）知識目標(biāo)1．理解弧長和扇形面積公式，并會計算弧長和扇形的面積．2．經(jīng)歷探索弧長及扇形面積計算公式的過程，感受轉(zhuǎn)化、類比的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力．3．通過用弧長及扇形面積公式解決實(shí)際問題，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系．重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：推導(dǎo)弧長及扇形面積計算公式的過程．難點(diǎn)：掌握弧長及扇形面積計算公式，會用公式解決問題．教學(xué)過程知識鏈接如圖所示是一個________，圓周的一部分是____________我們知道圓的周長公式C=__________.在小學(xué)我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過有關(guān)圓的周長和面積公式，弧是圓周的一部分，扇形是圓的一部分，那么弧長與扇形面積應(yīng)怎樣計算？它們與圓的周長、圓的面積之間有怎樣的關(guān)系呢？本節(jié)課我們將進(jìn)行探索．合作探究知識點(diǎn)1、弧長的計算公式．思考：（1）如何計算圓周長？（2）圓的周長可以看作是多少度的圓心角所對的弧長？（3）1°的圓心角所對的弧長是多少？n°的圓心角呢？教師引導(dǎo)學(xué)生思考、分析、討論，從而得出弧長的計算公式．在半徑為R的圓中，因?yàn)?60°的圓心角所對的弧長就是圓周長C＝2πR，所以1°的圓心角所對的弧長是，即．于是n°的圓心角所對的弧長為．例1、制造彎形管道時，經(jīng)常要先按中心線計算“展直長度”，再下料，試計算下圖所示的管道的展直長度L（結(jié)果取整數(shù)）．解：由弧長公式，得的長＝500π≈1570（mm）．因此所要求的展直長度L＝2×700＋1570＝2970（mm）．知識點(diǎn)2、扇形的計算公式．如圖，由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形叫做扇形．可以發(fā)現(xiàn)，扇形的面積除了與圓的半徑有關(guān)外還與組成扇形的圓心角的大小有關(guān)，圓心角越大，扇形面積也就越大．怎樣計算圓半徑為R，圓心角為n°的扇形面積呢？由扇形的定義可知，扇形面積就是圓面積的一部分．想一想：如何計算圓的面積？圓面積可以看作是多少度的圓心角所對的扇形的面積？1°的圓心角所對的扇形面積是多少？n°的圓心角呢？●歸納：在半徑為R的圓中，因?yàn)?60°的圓心角所對的扇形的面積就是圓面積S＝πR2，所以1°的扇形面積是，于是圓心角為n°的扇形面積是S扇形＝．知識點(diǎn)3、弧長與扇形面積的關(guān)系．我們探討了弧長和扇形面積的公式，在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長的計算公式為l＝πR，n°的圓心角的扇形面積公式為S扇形＝πR2，在這兩個公式中，弧長和扇形面積都和圓心角n．半徑R有關(guān)系，因此l和S之間也有一定的關(guān)系，你能猜得出嗎？∵l＝πR，S扇形＝πR2，∴πR2＝R·πR．∴S扇形＝lR．例2、如下左圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6m，其中水面高0.3m．求截面上有水部分的面積（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）．解：如上右圖，連接OA，OB，作弦AB的垂直平分線，垂足為D，交于點(diǎn)C，連接AC．∵OC＝0.6m，DC＝0.3m，∴OD＝OC－DC＝0.3（m）．∴OD＝DC．又AD⊥DC，∴AD是線段OC的垂直平分線．∴AC＝AO＝OC．從而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°．有水部分的面積S＝S扇形OAB－S△OAB＝×0.62－AB·OD＝0.12π－×0.6×0.3≈0.22（m2）．總結(jié)：求陰影部分的面積我們通常用拼湊法。自主嘗試如果一個扇形的弧長是QUOTE43π,半徑是6,那么此扇形的圓心角為()AA.40°B.45°C.60°D.80°2.已知100°的圓心角所對的弧長l=5π,則該圓的半徑r等于()CA.7 B.8 C.9 D.103.圓心角為60°，且半徑為3的扇形的弧長為()BA. B. C. D.4.點(diǎn)A,B,C是半徑為15cm的圓上三點(diǎn),∠BAC=36°,則弧BC的長為______cm.答案：65.已知☉O的半徑OA=5QUOTE33,扇形OAB的面積為15π,則QUOTEABAB所對的圓心角是()BA.120°B.72°C.36°D.60°§K]解:設(shè)QUOTEABAB所對的圓心角的度數(shù)為n°,則QUOTEnπ×(53)2360nπ×(536.如果扇形的圓心角為150°,扇形面積為240πcm2,那么扇形的弧長為()CA.5πcm B.10πcm C.20πcm D.40πcm解：.由QUOTE150360150360πr2=240π,解得r=24.又由S=QUOTE1212lr,得240π=QUOTE1212l×24,得l=20πcm.7.某花園內(nèi)有一塊五邊形的空地如圖所示,為了美化環(huán)境,現(xiàn)計劃在以五邊形各頂點(diǎn)為圓心,1m長為半徑的扇形區(qū)域內(nèi)(陰影部分)種上花草,那么種上花草的扇形區(qū)域總面積是.答案:QUOTE3π23π2m2解：設(shè)五邊形的五個內(nèi)角分別為n1°,n2°,…,n5°,則n1+n2+…+n5=(5-2)×180=540,∴陰影部分面積為QUOTEn1π360n1π360+QUOTEn2π360n2π360+…+QUOTEn5π360n5π360=QUOTEπ(n1+n2+…+n5)360π(n1+n當(dāng)堂檢測1.如圖所示,在Rt△ABC中,斜邊AB=2QUOTE22,∠A=45°,把△ABC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°到△A′BC′的位置,則頂點(diǎn)C經(jīng)過的路線長為.答案:QUOTE2323π解：∵在Rt△ABC中,∠A=45°,∴∠ABC=45°,∴AC=BC.∵斜邊AB=2QUOTE22,∴BC=2.∴頂點(diǎn)C經(jīng)過的路線長為QUOTE60π×218060π×2180=QUOTE2323π.2.三個半徑為2cm的圓如圖所示疊放在一起，用一根一定長的繩子繞三個圓剛好一圈，則繩的長為________cm.答案：12+4 3.如圖,在△ABC中∠BAC=90°,AB=AC=2,以AB為直徑的圓交BC于D,則圖中陰影部分的面積為.答案:1解：AB=AC,∴∠C=45°,∴AD=BD,∴兩個弓形面積相等,∴陰影部分的面積就等于△ACD的面積,∴S△ACD=2×1÷2=1,即陰影部分的面積為1.4.如圖,把Rt△ACB的斜邊AB放在定直線l上,按順時針方向在l上轉(zhuǎn)動兩次,使它轉(zhuǎn)到△A″B′C′的位置.設(shè)BC=1,∠A=30°,則頂點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)A″的位置時.K](1)求點(diǎn)A經(jīng)過的路線長是多少?(2)點(diǎn)A所經(jīng)過的路線與l所圍成的圖形的面積是多少?(計算結(jié)果不取近似值)解：(1)∵∠A=30°,∴∠ABC=∠A′BC′=60°,AB=2,AC=QUOTE33,∴∠ABA′=120°,∴QUOTEl

AA'l

AA'=QUOTE120×π×2180120×π×2180=QUOTE4343π,QUOTEl

A'A″l

A'A″=QUOTE90×π×318090×π×3180=QUOTE3232∴點(diǎn)A經(jīng)過的路線長為QUOTE4343π+QUOTE3232π=QUOTE8+3368+336(2)S扇形BAA′=QUOTE1212×QUOTE4π34π3×2=QUOTE4π34π3,S扇形C′A′A″=QUOTE1212×QUOTE3π23π2×QUOTE33=QUOTE3π43π4,S△A′BC′=QUOTE1212×1×QUOTE33=QUOTE3232,§X§K]∴點(diǎn)A經(jīng)過的路線與l所圍成的圖形的面積是QUOTE4343π+QUOTE3434π+QUOTE3232=QUOTE25π1225π12+QUOTE3232.小結(jié)反思今天學(xué)習(xí)了什么？有什么收獲？效果分析在本節(jié)課的教學(xué)中，教師提出要探究的問題時，學(xué)生在積極思考，探究活動取得較理想的效果，并且快速的掌握了弧長及扇形面積的計算公式。但是，學(xué)生計算水平比較薄弱，計算速度和準(zhǔn)確率均不理想，有些學(xué)生計算馬虎，還有些學(xué)生心算能力不足。這要求教師，要增加課堂巡視指導(dǎo)，糾正學(xué)生計算中的問題，有針對性的對他們加強(qiáng)計算訓(xùn)練。小組交流方面，學(xué)生比較積極，回答展示時也比較活躍，這是值得肯定的地方。但是，教師還需對學(xué)生進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)，使他們更高效充實(shí)的學(xué)習(xí)。教材分析一、地位與作用本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書新人教版九年級上冊新課標(biāo)實(shí)驗(yàn)教材《第24章圓》中的“弧長和扇形的面積”第一課時。是學(xué)生在前階段學(xué)完了“圓的認(rèn)識”、“與圓有關(guān)的位置關(guān)系”“正多邊形和圓”的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。本課由特殊到一般探索弧長及扇形面積公式，并運(yùn)用公式解決一些具體問題，為學(xué)生的學(xué)習(xí)及生活更好地運(yùn)用數(shù)學(xué)作準(zhǔn)備。二、教學(xué)目標(biāo)與重點(diǎn)、難點(diǎn)知識與技能目標(biāo)：理解弧長和扇形面積公式，并會計算弧長和扇形的面積。過程與方法目標(biāo)：經(jīng)歷探索弧長及扇形面積計算公式的過程，感受轉(zhuǎn)化、類比的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力。情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：通過用弧長及扇形面積公式解決實(shí)際問題，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系。重點(diǎn)：推導(dǎo)弧長及扇形面積計算公式的過程。難點(diǎn)：掌握弧長及扇形面積計算公式，會用公式解決問題。三、課時安排與課型設(shè)置《弧長與扇形面積》安排兩課時，本節(jié)課是第一課時，這兩課時都適宜安排新授課。課后反思《弧長和扇形的面積》這一節(jié)，講課的思路是圓周長公式——弧長公式——扇形面積公式，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。設(shè)計鞏固練習(xí)與當(dāng)堂檢測題時注意了題目的區(qū)分度，題目由簡漸難，還給予能力強(qiáng)的學(xué)生留有拓展提升題。三維目標(biāo)展示直接明確，但課堂引入如果能創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣的效果會更好一些。本次課主要內(nèi)容是弧長及扇形面積的計算。不僅強(qiáng)調(diào)學(xué)生會運(yùn)用公式，而且要理解算法的意義。使學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展、形成的“再創(chuàng)造”活動中，獲取廣泛的活動經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而促進(jìn)自身的主動發(fā)展。課堂的主體是學(xué)生，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生積極主動地進(jìn)行學(xué)習(xí)。要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中進(jìn)行觀察、猜測、推理、自主探索與合作交流等學(xué)習(xí)活動，課堂上要充滿學(xué)生的討論，要讓大多數(shù)學(xué)生參與課堂活動，在動手動腦的活動過程中，理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能，數(shù)學(xué)思想與方法。而教師是組織者，引導(dǎo)者。教師的組織、概括要力求有效，應(yīng)該盡力營造寬松、和諧、民主的教學(xué)氛圍，教師要站在學(xué)生的角度設(shè)計學(xué)習(xí)內(nèi)容，步驟和方式，為學(xué)生的現(xiàn)場學(xué)習(xí)可能遇到的問題留下解決的空間，對學(xué)生實(shí)施有效的監(jiān)控，要把握學(xué)生對知識的理解和掌握狀況，適時引導(dǎo)學(xué)生更深層次的思考，并且對學(xué)生學(xué)習(xí)反思的習(xí)慣進(jìn)行培養(yǎng)。在本節(jié)課中我基本體現(xiàn)了新課程理念。改變以往那種教師講學(xué)生聽、教師問學(xué)生答的傳統(tǒng)的教學(xué)方法，讓學(xué)生隨時動手，把所有的學(xué)生都調(diào)動參與到活動中來，充分調(diào)動了學(xué)生的積極性，讓學(xué)生通過小組討論，合作探究、動手操作等方法讓學(xué)生鞏固了公式的形成過程，這完全符合新課程所倡導(dǎo)的“以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”的教學(xué)理念。本堂課的不足在于時間的分配上有待改進(jìn)，由于在學(xué)生在探索弧長時我引導(dǎo)措施不力，導(dǎo)致時間過長，后面的教學(xué)環(huán)節(jié)比較吃緊，對學(xué)生在新知的應(yīng)用上沒有足夠的時間。有待于在今后的教學(xué)中注意這方面的問題，以便進(jìn)一步提高課堂教學(xué)效率。在鞏固練習(xí)階段，我首先讓學(xué)生自主討論交流，小組內(nèi)統(tǒng)一答案解決問題，然后小組代表展示答案，口述解題思路，老師對共性問題進(jìn)行講解與點(diǎn)撥。不足是：自我感覺講的很明白，但當(dāng)讓學(xué)生整理時，仍感覺部分后進(jìn)生不能理解；對于九年級的學(xué)生來說，成績較好學(xué)生的思維明顯受到限制，不能最大限度的培養(yǎng)數(shù)學(xué)優(yōu)生的數(shù)學(xué)思維。本節(jié)課的內(nèi)容一般來說老師會把重點(diǎn)放在公式的理解和熟練運(yùn)用上，對于九年級的學(xué)生來說這很重要，而且弧長公式和扇形面積公式的推導(dǎo)過程也比較容易理解。但是這樣可能導(dǎo)致中等及以下學(xué)生因?yàn)槟承└拍?、?xì)節(jié)的不理解或者不懂，造成學(xué)習(xí)的障礙。我結(jié)合農(nóng)村學(xué)生的實(shí)際，認(rèn)真分析學(xué)生可能出現(xiàn)障礙的地方，逐步引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較，從基本的概念入手，處理好各個思維的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，在注重基礎(chǔ)的同時發(fā)展學(xué)生能力，關(guān)注了全體學(xué)生的發(fā)展。另外我在設(shè)問的處理上避免了死板的教公式、記公式的老套，能激發(fā)學(xué)生思維，體了教師引導(dǎo)者的身份。學(xué)生在任務(wù)驅(qū)動引導(dǎo)下探索弧長計算公式和扇形面積計算公式，經(jīng)歷了公式的形成過程；從公式的得出到公式的變形，整個教學(xué)過程表明，堅持新課程的理念轉(zhuǎn)換教師的角色，以引導(dǎo)者、參與者的形象介入到學(xué)生的學(xué)習(xí)之中，能有效的調(diào)動學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生全體參與到學(xué)習(xí)中來，讓學(xué)生在過程中得到發(fā)展。學(xué)情分析九年級學(xué)生已經(jīng)形成相對系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維，學(xué)生的抽象、概括、類比、推理、運(yùn)算能力已相對成熟，數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、輔助線等數(shù)學(xué)思想也已初步具備，這就為本節(jié)教學(xué)奠定了基礎(chǔ)。在知識體系上，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過圓的周長與面積的計算方法，而且學(xué)習(xí)了圓心角的相關(guān)知識，因此，對這節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)具有了相應(yīng)的知識準(zhǔn)備。學(xué)生在小學(xué)學(xué)過的圓周長、面積公式的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出弧長和扇形面積，體現(xiàn)的一般到特殊、整體與局部、類比等數(shù)學(xué)思想。通過這些知識，使學(xué)生學(xué)會化未知為已知、化復(fù)雜為簡單、化一般為特殊或化特殊為一般的方法，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。弧和扇形是小學(xué)就學(xué)過的圖形，但小學(xué)并沒有具體研究與弧和扇形有關(guān)的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，本節(jié)中開始具體研究與弧和扇形有關(guān)的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，只要求會計算圓的弧長、扇形的面積。學(xué)生喜歡自主探究與合作交流相結(jié)合的學(xué)習(xí)方式，能夠在探究和交流中體驗(yàn)成功與分享的喜悅，教師要把握學(xué)生的認(rèn)知和心理特征，采用啟發(fā)式教學(xué)，成為教學(xué)活動中的引導(dǎo)者、組織者、合作者，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)活動中的主體，進(jìn)而提高學(xué)習(xí)效率。教法設(shè)計：啟發(fā)思考、小組合作探究、激發(fā)興趣的教學(xué)方法。學(xué)法指導(dǎo)：突出學(xué)生動手操作，主動去探索發(fā)現(xiàn)和合作探究，勇于探索，大膽發(fā)言。測評練習(xí)鞏固練習(xí)如果一個扇形的弧長是QUOTE43π,半徑是6,那么此扇形的圓心角為()AA.40°B.45°C.60°D.80°2.已知100°的圓心角所對的弧長l=5π,則該圓的半徑r等于()CA.7 B.8 C.9 D.103.圓心角為60°，且半徑為3的扇形的弧長為()BA. B. C. D.4.點(diǎn)A,B,C是半徑為15cm的圓上三點(diǎn),∠BAC=36°,則弧BC的長為______cm.答案：65.已知☉O的半徑OA=5QUOTE33,扇形OAB的面積為15π,則QUOTEABAB所對的圓心角是()BA.120°B.72°C.36°D.60°§K]解:設(shè)QUOTEABAB所對的圓心角的度數(shù)為n°,則QUOTEnπ×(53)2360nπ×(536.如果扇形的圓心角為150°,扇形面積為240πcm2,那么扇形的弧長為()CA.5πcm B.10πcm C.20πcm D.40πcm解：.由QUOTE150360150360πr2=240π,解得r=24.又由S=QUOTE1212lr,得240π=QUOTE1212l×24,得l=20πcm.7.某花園內(nèi)有一塊五邊形的空地如圖所示,為了美化環(huán)境,現(xiàn)計劃在以五邊形各頂點(diǎn)為圓心,1m長為半徑的扇形區(qū)域內(nèi)(陰影部分)種上花草,那么種上花草的扇形區(qū)域總面積是.答案:QUOTE3π23π2m2解：設(shè)五邊形的五個內(nèi)角分別為n1°,n2°,…,n5°,則n1+n2+…+n5=(5-2)×180=540,∴陰影部分面積為QUOTEn1π360n1π360+QUOTEn2π360n2π360+…+QUOTEn5π360n5π360=QUOTEπ(n1+n2+…+n5)360π(n1+n當(dāng)堂檢測1.如圖所示,在Rt△ABC中,斜邊AB=2QUOTE22,∠A=45°,把△ABC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°到△A′BC′的位置,則頂點(diǎn)C經(jīng)過的路線長為.答案:QUOTE2323π解：∵在Rt△ABC中,∠A=45°,∴∠ABC=45°,∴AC=BC.∵斜邊AB=2QUOTE22,∴BC=2.∴頂點(diǎn)C經(jīng)過的路線長為QUOTE60π×218060π×2180=QUOTE2323π.2.三個半徑為2cm的圓如圖所示疊放在一起，用一根一定長的繩子繞三個圓剛好一圈，則繩的長為________cm.答案：12+4 3.如圖,在△ABC中∠BAC=90°,AB=AC=2,以AB為直徑的圓交BC于D,則圖中陰影部分的面積為.答案:1解：AB=AC,∴∠C=45°,∴AD=BD,∴兩個弓形面積相等,∴陰影部分的面積就等于△ACD的面積,∴S△ACD=2×1÷2=1,即陰影部分的面積為1.4.如圖,把Rt△ACB的斜邊AB放在定直線l上,按順時針方向在l上轉(zhuǎn)動兩次,使它轉(zhuǎn)到△A″B′C′的位置.設(shè)BC=1,∠A=30°,則頂點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)A″的位置時.K](1)求點(diǎn)A經(jīng)過的路線長是多少?(2)點(diǎn)A所經(jīng)過的路線與l所圍成的圖形的面積是多少?(計算結(jié)果不取近似值)解：(1)∵∠A=30°,∴∠ABC=∠A′BC′=60°,AB=2,AC=QUOTE33,∴∠ABA′=120°,∴QUOTEl

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