高中數(shù)學(xué)北師大必修1學(xué)案第二章24二次函數(shù)性質(zhì)的再研究

第1課時(shí)二次函數(shù)的圖像[核心必知]二次函數(shù)圖像間的變換(1)y＝x2與y＝ax2(a≠0)圖像間的變換：二次函數(shù)y＝ax2(a≠0)的圖像可由y＝x2的圖像各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的|a|倍得到．(2)y＝ax2與y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)圖像間的變換：函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的圖像可由函數(shù)y＝ax2(a≠0)的圖像變換得到．其中a決定了二次函數(shù)圖像的開口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖像的左右平移，而且“h正左移，h負(fù)右移”；k決定了二次函數(shù)圖像的上下平移，而且“k正上移，k負(fù)下移”．(3)y＝ax2與y＝ax2＋bx＋c(a≠0)圖像間的變換．一般地，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，通過(guò)配方可以得到它的恒等形式y(tǒng)＝a(x＋h)2＋k，從而知道，由y＝ax2的圖像如何平移得到y(tǒng)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖像．[問(wèn)題思考]1．二次函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸分別是什么？提示：頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－h(huán)，k)，對(duì)稱軸是x＝－h(huán).2．二次函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的參數(shù)a對(duì)其圖像的開口大小與方向有什么影響？提示：當(dāng)a>0時(shí)，圖像開口向上，a值越大，開口越小；當(dāng)a<0時(shí)，圖像開口向下，a值越大，開口越大．3．二次函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，h，k對(duì)函數(shù)圖像的變換有何影響？提示：h決定了二次函數(shù)圖像的左、右平移，而且“h正左移，h負(fù)右移”；k決定了二次函數(shù)圖像的上、下平移，而且“k正上移，k負(fù)下移”．講一講1．在同一坐標(biāo)系中作出下列函數(shù)的圖像．(1)y＝x2；(2)y＝x2－2；(3)y＝2x2－4x.并分析如何把y＝x2的圖像變換成y＝2x2－4x的圖像．[嘗試解答](1)列表：(2)描點(diǎn)、連線即得相應(yīng)函數(shù)的圖像，如圖所示．由圖像可知由y＝x2到y(tǒng)＝2x2－4x的變化過(guò)程如下．法一：先把y＝x2的圖像向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)＝(x－1)2的圖像，然后把y＝(x－1)2的圖像橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍得到y(tǒng)＝2(x－1)2的圖像，最后把y＝2(x－1)2的圖像向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度便可得到y(tǒng)＝2x2－4x的圖像．法二：先把y＝x2的圖像向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)＝x2－1的圖像，然后再把y＝x2－1的圖像向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)＝(x－1)2－1的圖像，最后把y＝(x－1)2－1的圖像橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，便可得到y(tǒng)＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的圖像．本例中如何把y＝2x2－4x的圖像變換成y＝x2的圖像？解：∵y＝2x2－4x＝2(x－1)2－2，故可先把y＝2x2－4x的圖像向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)＝2(x－1)2的圖像，然后再把y＝2(x－1)2的圖像向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)＝2x2的圖像，最后把y＝2x2的圖像縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的eq\f(1,2)，便可得到y(tǒng)＝x2的圖像．二次函數(shù)圖像的作法(1)描點(diǎn)法：在利用描點(diǎn)法時(shí)，通過(guò)配方直接選出關(guān)鍵點(diǎn)，即頂點(diǎn)．再依據(jù)對(duì)稱性選點(diǎn)，可減少選點(diǎn)的盲目性．二次函數(shù)圖像的開口方向、對(duì)稱軸與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)在作圖時(shí)起關(guān)鍵作用，作圖時(shí)應(yīng)關(guān)注這些幾何要素．(2)圖像變換法：所有二次函數(shù)的圖像均可以由函數(shù)f(x)＝x2的圖像經(jīng)過(guò)變換得到．變換前，先將二次函數(shù)的解析式化為頂點(diǎn)式后，再確定變換的步驟．練一練1．畫出y＝eq\f(1,2)x2－6x＋21的圖像，并說(shuō)明由y＝x2的圖像如何變換得到y(tǒng)＝eq\f(1,2)x2－6x＋21的圖像？解：y＝eq\f(1,2)x2－6x＋21＝eq\f(1,2)(x－6)2＋3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6,3)，對(duì)稱軸為x＝6.利用二次函數(shù)的對(duì)稱性列表：x45678y535描點(diǎn)連線得到函數(shù)y＝eq\f(1,2)x2－6x＋21的圖像如下圖．平移過(guò)程如下：先把函數(shù)y＝x2圖像上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮小為原來(lái)的eq\f(1,2)倍，得到函數(shù)y＝eq\f(1,2)x2的圖像，再把y＝eq\f(1,2)x2的圖像向右平移6個(gè)單位，得到函數(shù)y＝eq\f(1,2)(x－6)2的圖像，最后把y＝eq\f(1,2)(x－6)2的圖像上的所有點(diǎn)向上平移3個(gè)單位，即得到函數(shù)y＝eq\f(1,2)x2－6x＋21的圖像．講一講2．(1)已知一個(gè)二次函數(shù)y＝f(x)，f(0)＝3，又知當(dāng)x＝－3和x＝－5時(shí)，函數(shù)的值為零，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)已知二次函數(shù)f(x)圖像的對(duì)稱軸是直線x＝－1，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,13)和(2,28)，求二次函數(shù)f(x)的解析式．[嘗試解答](1)由題意可知－3和－5為二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∴設(shè)y＝f(x)＝a(x＋3)(x＋5)．又∵f(0)＝3，∴f(0)＝15a＝3，即a＝eq\f(1,5).∴f(x)＝eq\f(1,5)(x＋3)(x＋5)＝eq\f(1,5)(x2＋8x＋15)＝eq\f(1,5)x2＋eq\f(8,5)x＋3.(2)設(shè)f(x)＝a(x＋1)2＋k，由題意得f(1)＝13，f(2)＝28，∴有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＋k＝13，,9a＋k＝28，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,k＝1.))故f(x)＝3(x＋1)2＋1＝3x2＋6x＋4.求二次函數(shù)解析式一般利用待定系數(shù)法，但應(yīng)根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，靈活選用解析式的形式，一般規(guī)律：(1)已知拋物線上任意三點(diǎn)時(shí)，通常設(shè)函數(shù)解析式為一般式，然后列出三元一次方程組求解．(2)當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和拋物線上另一點(diǎn)時(shí)，通常設(shè)函數(shù)解析式為頂點(diǎn)式，y＝a(x－h(huán))2＋k(a，h，k為常數(shù)，a≠0)．(3)當(dāng)已知拋物線與x軸的交點(diǎn)或交點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，通常設(shè)函數(shù)解析式為兩根式，y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2是常數(shù)，a≠0)．練一練2．已知二次函數(shù)y＝f(x)分別滿足下列條件：(1)圖像過(guò)A(0,1)，B(1,2)，C(2，－1)三點(diǎn)；(2)圖像頂點(diǎn)是(－2,3)，且過(guò)點(diǎn)(－1,5)．求對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式．解：(1)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)由已知函數(shù)的圖像過(guò)(0,1)，(1,2)，(2，－1)三點(diǎn)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝1，,a＋b＋c＝2，,4a＋2b＋c＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝3，,c＝1.))∴函數(shù)的解析式為f(x)＝－2x2＋3x＋1.(2)∵拋物線的頂點(diǎn)為(－2,3)，∴可設(shè)f(x)＝a(x＋2)2＋3(a≠0)．∵圖像過(guò)點(diǎn)(－1,5)，∴5＝a(－1＋2)2＋3.∴a＝2.∴函數(shù)的解析式為f(x)＝2(x＋2)2＋3，即f(x)＝2x2＋8x＋11.若方程x2－2x－3＝a有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[巧思]令f(x)＝x2－2x－3，g(x)＝a將方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．[妙解]令f(x)＝x2－2x－3，g(x)＝a.作出f(x)的圖像如圖所示．∵f(x)與g(x)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程x2－2x－3＝a解的個(gè)數(shù)．由圖可知①當(dāng)a＜－4時(shí)，f(x)與g(x)無(wú)交點(diǎn)，即方程x2－2x－3＝a無(wú)實(shí)根；②當(dāng)a＝－4時(shí)，f(x)與g(x)有一個(gè)公共點(diǎn)，即方程x2－2x－3＝a有一個(gè)實(shí)根；③當(dāng)a＞－4時(shí)，f(x)與g(x)有兩個(gè)公共點(diǎn)，即方程x2－2x－3＝a有兩個(gè)實(shí)根．綜上所述，當(dāng)方程x2－2x－3＝a有兩個(gè)實(shí)數(shù)解時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－4，＋∞)．1．二次函數(shù)y＝x2的圖像上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到的新圖像的二次函數(shù)是()A．y＝x2＋2B．y＝2x2C．y＝eq\f(1,2)x2D．y＝x2－2解析：選B將二次函數(shù)y＝x2的圖像上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到的新圖像對(duì)應(yīng)的解析式為y＝2x2.2．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖像如圖所示，則點(diǎn)M(a，bc)在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限解析：選A由圖可知a＞0，－eq\f(b,2a)＞0，c＜0，∴bc＞0.3．已知拋物線與x軸交于點(diǎn)(－1,0)，(1,0)，并且與y軸交于點(diǎn)(0,1)，則拋物線的解析式為()A．y＝－x2＋1B．y＝x2＋1C．y＝－x2－1D．y＝x2－1解析：選A由題意拋物線對(duì)稱軸是y軸且開口向下，頂點(diǎn)為(0,1)，故拋物線為y＝－x2＋1.4．將函數(shù)y＝2(x＋1)2－2向________平移________個(gè)單位，再向________平移________個(gè)單位可得到函數(shù)y＝2x2的圖像．解析：通過(guò)y＝2x2→y＝2(x＋1)2－2反向分析，也可借助頂點(diǎn)分析．答案：右1上25．拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸的交點(diǎn)為(－1,0)、(3,0)，其形狀與拋物線y＝－2x2相同，則y＝ax2＋bx＋c的解析式為________．解析：由題意，得y＝－2(x＋1)(x－3)＝－2x2＋4x＋6.答案：y＝－2x2＋4x＋66．對(duì)于二次函數(shù)y＝－x2＋4x＋3，(1)指出圖像的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)說(shuō)明其圖像是由y＝－x2的圖像經(jīng)過(guò)怎樣的平移得來(lái)．解：∵y＝－(x－2)2＋7，∴(1)開口向下；對(duì)稱軸為x＝2；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,7)．(2)先將y＝－x2的圖像向右平移2個(gè)單位，然后再向上平移7個(gè)單位，即可得到y(tǒng)＝－x2＋4x＋3的圖像．一、選擇題1．如何平移拋物線y＝2x2可得到拋物線y＝2(x－4)2－1()A．向左平移4個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位B．向左平移4個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位C．向右平移4個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位D．向右平移4個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位解析：選D要得到y(tǒng)＝2(x－4)2－1的圖像，只需將y＝2x2的圖像向右平移4個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位．2．設(shè)abc＞0，二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖像可能是()解析：選D由A、C、D知，f(0)＝c＜0，∵abc＞0，∴ab＜0，∴對(duì)稱軸x＝－eq\f(b,2a)＞0，知A、C錯(cuò)；D符合要求，由B知f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－eq\f(b,2a)＜0，B錯(cuò)誤．3．(山東高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)，g(x)＝－x2＋bx，若y＝f(x)的圖像與y＝g(x)的圖像有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則下列判斷正確的是()A．x1＋x2>0，y1＋y2>0B．x1＋x2>0，y1＋y2<0C．x1＋x2<0，y1＋y2>0D．x1＋x2<0，y1＋y2<0解析：選B由于函數(shù)y＝f(x)的圖像在一三象限且關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)y＝g(x)的圖像過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖像可知點(diǎn)A，B一定只能一個(gè)在第一象限、另一個(gè)在第三象限，即x1x2<0，由于y1＋y2＝eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x1＋x2,x1x2)，故x1＋x2，y1＋y2一定異號(hào)．問(wèn)題即為方程－x2＋bx＝eq\f(1,x)僅有兩個(gè)不同的實(shí)根，即方程x3－bx2＋1＝0有一個(gè)二重根、一個(gè)單根．此時(shí)結(jié)合圖像可知位于第一象限的點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為方程根，根據(jù)方程根的理論，如果x1是方程x3－bx2＋1＝0的二重根，x2為一個(gè)單根，則x3－bx2＋1＝(x－x1)2(x－x2)＝x3－(2x1＋x2)x2＋(xeq\o\al(2,1)＋2x1x2)x－xeq\o\al(2,1)x2，這個(gè)等式對(duì)任意x恒成立，比較等式兩端x的系數(shù)可得xeq\o\al(2,1)＋2x1x2＝0，即x1＋2x2＝0，即x1＋x2＝－x2>0，所以x1＋x2>0，y1＋y2<0.4．設(shè)b＞0，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋a2－1的圖像為下列之一，則a的值為()A．1B．－1C.eq\f(－1－\r(5),2)D.eq\f(－1＋\r(5),2)解析：選B由第一個(gè)圖與第二個(gè)圖中與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為對(duì)稱點(diǎn)，則兩根之和為0.又已知x1＋x2＝－eq\f(b,a)≠0，故可排除．由第三個(gè)圖與第四個(gè)圖知，一根為0，另一根為正數(shù)，即x1＋x2＝－eq\f(b,a)＞0，又b＞0，故a＜0，圖像開口向下，應(yīng)為第三個(gè)圖．由圖像過(guò)原點(diǎn)(0,0)，即a2－1＝0，解得a＝－1或a＝1(舍)．二、填空題5．將拋物線y＝－x2＋2x－1向左平移1個(gè)單位后，得到的解析式是________．解析：∵y＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2，∴函數(shù)y＝－x2＋2x－1向左平移一個(gè)單位后，所得函數(shù)解析式為y＝－[(x＋1)－1]2＝－x2.答案：y＝－x26．函數(shù)y＝x2＋m的圖像向下平移2個(gè)單位，得到函數(shù)y＝x2－1的圖像，則實(shí)數(shù)m＝________.解析：y＝x2－1的圖像向上平移2個(gè)單位，得到函數(shù)y＝x2＋1的圖像，則m＝1.答案：17．已知二次函數(shù)f(x)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－2)，且過(guò)點(diǎn)(2,4)，則f(x)＝________.解析：設(shè)f(x)＝a(x－1)2－2，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)(2,4)，所以有a(2－1)2－2＝4，得a＝6.所以f(x)＝6(x－1)2－2＝6x2－12x＋4.答案：6x2－12x＋48．已知方程x2－4|x|＋5＝m有四個(gè)全不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．解析：設(shè)f(x)＝x2－4|x|＋5，則f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋5，x≥0，,x2＋4x＋5，x<0.))即f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((x－2)2＋1，x≥0，,(x＋2)2＋1，x<0，))作出f(x)的圖像，如圖：要使方程x2－4|x|＋5＝m有四個(gè)全不相等的實(shí)根，需使函數(shù)f(x)與y＝m的圖像有四個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖像可知，1<m<5.答案：(1,5)三、解答題9．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A(x1,0)，B(x2,0)且xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝eq\f(26,9)，試問(wèn)該拋物線是由y＝－3(x－1)2的圖像向上平移幾個(gè)單位得到的？解：由題意可設(shè)所求拋物線的解析式為y＝－3(x－1)2＋k，展開得y＝－3x2＋6x－3＋k.由題意得x1＋x2＝2，x1x2＝eq\f(3－k,3)，∴xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝eq\f(26,9)，即4－eq\f(2(3－k),3)＝eq\f(26,9).解得k＝eq\f(4,3).∴該拋物線是由y＝－3(x－1)2的圖像向上平移eq\f(4,3)個(gè)單位得到的，它的解析式為y＝－3(x－1)2＋eq\f(4,3)，即y＝－3x2＋6x－eq\f(5,3).10．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像與y＝－eq\f(1,2)x2＋2x＋3的形狀相同，開口方向相反，與直線y＝x－2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，n)和(m,1)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．解：∵y＝ax2＋bx＋c的圖像與y＝－eq\f(1,2)x2＋2x＋3的形狀相同，開口方向相反．∴a＝eq\f(1,2)，則y＝eq\f(1,2)x2＋bx＋c.又(1，n)，(m,1)兩點(diǎn)均在y＝x－2上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝1－2，,1＝m－2))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝－1，))即點(diǎn)(1，－1)和(3,1)均在所求的拋物線上．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＝\f(1,2)＋b＋c，,1＝\f(9,2)＋3b＋c.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－1，,c＝－\f(1,2).))∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y＝eq\f(1,2)x2－x－eq\f(1,2).第2課時(shí)二次函數(shù)的性質(zhì)[核心必知]二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性質(zhì)：注：記ymax、ymin分別表示函數(shù)y＝f(x)的最大值、最小值．[問(wèn)題思考]1．二次函數(shù)在其對(duì)稱軸的兩側(cè)單調(diào)性一定相反嗎？提示：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，在其對(duì)稱軸的兩側(cè)單調(diào)性一定相反，可以借助于二次函數(shù)的圖像進(jìn)行說(shuō)明．2．二次函數(shù)的最值一定在頂點(diǎn)取得嗎？提示：不一定，對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)當(dāng)x∈R時(shí)可以，但當(dāng)x屬于某局部閉區(qū)間時(shí)，不一定．3．對(duì)二次函數(shù)y＝f(x)，若滿足f(a＋x)＝f(a－x)(a≠0)，則其對(duì)稱軸方程是什么？提示：x＝a.講一講1．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2－3x－eq\f(3,4).(1)求這個(gè)函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸，并指出它的單調(diào)區(qū)間；(2)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))＝－eq\f(41,8)，不計(jì)算函數(shù)值，試求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))；(3)不直接計(jì)算函數(shù)值，比較feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,4)))的大小．[嘗試解答](1)∵f(x)＝eq\f(1,2)x2－3x－eq\f(3,4)＝eq\f(1,2)(x－3)2－eq\f(21,4).∴f(x)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f(21,4)))，對(duì)稱軸為x＝3.單調(diào)增區(qū)間為[3，＋∞)，減區(qū)間為(－∞，3]．(2)法一：∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))＝－eq\f(41,8)，又eq\f(5,2)－3＝eq\f(7,2)－3＝eq\f(1,2)，∴結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱性可知，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))＝－eq\f(41,8).法二：∵函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于x＝3對(duì)稱．∴f(3＋x)＝f(3－x)．∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))＝－eq\f(41,8).(3)∵f(x)在(－∞，3]上是單調(diào)遞減函數(shù)，又－eq\f(15,4)<－eq\f(1,4)<3，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,4)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4))).(1)“配方法”是研究二次函數(shù)圖像和性質(zhì)的基本方法，一般先用配方法把二次函數(shù)解析式寫成頂點(diǎn)式：y＝a(x＋h)2＋k，進(jìn)而確定頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－h(huán)，k)，對(duì)稱軸為x＝－h(huán)等其它性質(zhì)．(2)比較兩函數(shù)值大小，可以先比較兩點(diǎn)離對(duì)稱軸的距離大小，然后結(jié)合二次函數(shù)的開口方向，從而得到它們的大小關(guān)系，也可以將要比較的兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，利用函數(shù)的單調(diào)性比較它們的大?。氁痪?．函數(shù)f(x)＝4x2－mx＋5在區(qū)間[－2，＋∞)上是增函數(shù)，求f(1)的取值范圍．解：∵二次函數(shù)f(x)＝4x2－mx－5在區(qū)間[－2，＋∞)上是增函數(shù)，且對(duì)稱軸是x＝eq\f(m,8)，∴eq\f(m,8)≤－2，即m≤－16.∴f(1)＝4－m＋5＝－m＋9≥25，∴f(1)≥25.講一講2．已知二次函數(shù)f(x)＝x2－2x＋3.(1)當(dāng)x∈[－2,0]時(shí)，求f(x)的最值；(2)當(dāng)x∈[－2,3]時(shí)，求f(x)的最值；(3)當(dāng)x∈[t，t＋1]時(shí)，求f(x)的最小值g(t)．[嘗試解答]∵f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其對(duì)稱軸為x＝1，開口向上．(1)當(dāng)x∈[－2,0]時(shí)，f(x)在[－2,0)上是單調(diào)遞減的，故當(dāng)x＝－2時(shí)，f(x)有最大值f(－2)＝11;當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)有最小值f(0)＝3.(2)當(dāng)x∈[－2,3]時(shí)，f(x)在[－2,3]上是先減后增的，故當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)有最小值f(1)＝2，又|－2－1|＞|3－1|，∴f(x)的最大值為f(－2)＝11.(3)①當(dāng)t＞1時(shí)，f(x)在[t，t＋1]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝t時(shí)，f(x)取得取小值，此時(shí)g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.②當(dāng)t≤1≤t＋1，即0≤t≤1時(shí)，f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上先減再增，故當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得最小值，此時(shí)g(t)＝f(1)＝2.③當(dāng)t＋1＜1，即t＜0時(shí)，f(t)在[t，t＋1]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝t＋1時(shí)，f(x)取得最小值，此時(shí)g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2，綜上得g(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t2－2t＋3(t＞1)，,2(0≤t≤1)，,t2＋2(t＜0).))(1)二次函數(shù)在給定區(qū)間[m，n]上的最值求解有以下三種情況：①對(duì)稱軸與區(qū)間[m，n]都是確定的；②動(dòng)軸定區(qū)間，即對(duì)稱軸不確定，區(qū)間[m，n]是確定的；③定軸動(dòng)區(qū)間，即對(duì)稱軸是確定的，區(qū)間[m，n]不確定．對(duì)于以上三種情況，①采用數(shù)形結(jié)合，較易解決；②和③應(yīng)按對(duì)稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系分類求解，分對(duì)稱軸在區(qū)間的左側(cè)、內(nèi)部、右側(cè)三類．(2)求函數(shù)的值域應(yīng)注意函數(shù)的定義域，可直接根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解，也可先求其最大(小)值，再由最大(小)值確定．練一練2．已知函數(shù)f(x)＝x2－(2a－4)x＋2在[－1,1]內(nèi)的最小值為g(a)，求g(a)的解析式．解：f(x)＝[x－(a－2)]2－(a－2)2＋2，x∈[－1,1]．其圖像的對(duì)稱軸為x＝a－2.①當(dāng)a－2<－1即a<1時(shí)，函數(shù)f(x)在[－1,1]上單調(diào)遞增，∴函數(shù)f(x)的最小值g(a)＝f(－1)，即g(a)＝2a－1；②當(dāng)－1≤a－2≤1即1≤a≤3時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為g(a)＝f(a－2)＝－(a－2)2＋2；③當(dāng)a－2>1即a>3時(shí)，函數(shù)f(x)在[－1,1]上單調(diào)遞減，∴函數(shù)f(x)的最小值g(a)＝f(1)＝－2a＋7.綜上：g(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1，a<1，,－(a－2)2＋2，1≤a≤3，,－2a＋7，a>3.))講一講3．漁場(chǎng)中魚群的最大養(yǎng)殖量為m噸，為保證魚群的生長(zhǎng)空間，實(shí)際養(yǎng)殖量不能達(dá)到最大養(yǎng)殖量，必須留出適當(dāng)?shù)目臻e量．已知魚群的年增長(zhǎng)量y噸與實(shí)際養(yǎng)殖量x噸和空閑率的乘積成正比，比例系數(shù)為k(k＞0)．(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出定義域；(2)求魚群的年增長(zhǎng)量的最大值；(3)當(dāng)魚群的年增長(zhǎng)量達(dá)到最大值時(shí)，求k所應(yīng)滿足的條件．[嘗試解答](1)由題意，知空閑率為1－eq\f(x,m)，∴y＝kxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,m)))(0＜x＜m)．(2)y＝－eq\f(k,m)x2＋kx＝－eq\f(k,m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(m,2)))2＋eq\f(km,4)，∵－eq\f(k,m)＜0且0＜x＜m，∴當(dāng)x＝eq\f(m,2)時(shí)，ymax＝eq\f(km,4).(3)∵當(dāng)x＝eq\f(m,2)時(shí)，ymax＝eq\f(km,4)，又實(shí)際養(yǎng)殖量不能達(dá)到最大養(yǎng)殖量，∴此時(shí)，需要eq\f(m,2)＋eq\f(km,4)＜m，解得k＜2.又∵k＞0，∴0＜k＜2.二次函數(shù)模型是一種常見的函數(shù)應(yīng)用模型，是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)．解題關(guān)鍵是列出二次函數(shù)解析式，即建立函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問(wèn)題．練一練3．某農(nóng)家旅游公司有客房300間，每間日房租為20元，每天都客滿．公司欲提高檔次，并提高租金，如果每間客房日增加2元，客房出租數(shù)就會(huì)減少10間．若不考慮其他因素，旅游公司將客房日租金提高到多少時(shí)，每天客房的租金總收入最高？解：設(shè)客房日租金每間提高2x元，則每天客房出租數(shù)為300－10x，由x＞0，且300－10x＞0，得0＜x＜30.設(shè)客房租金總收入為y元，則有y＝(20＋2x)(300－10x)＝－20(x－10)2＋8000(0＜x＜30)．由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x＝10時(shí)，ymax＝8000.所以當(dāng)每間客房日租金提高到20＋10×2＝40元時(shí)，客房租金總收入最高，為每天8000元．已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]，f(x)＞0恒成立，求a的取值范圍．[巧思]要使f(x)＞0恒成立，只需f(x)min＞0，即可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求f(x)的最小值問(wèn)題．[妙解]設(shè)f(x)的最小值為g(a)，則只需g(a)＞0.(1)當(dāng)－eq\f(a,2)＜－2，即a＞4時(shí)，g(a)＝f(－2)＝7－3a＞0，得a＜eq\f(7,3)，又a＞4，故此時(shí)a不存在．(2)當(dāng)－eq\f(a,2)∈[－2,2]，即a∈[－4,4]時(shí)，g(a)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝3－a－eq\f(a2,4)＞0，得－6＜a＜2.又－4≤a≤4，∴－4≤a＜2.(3)當(dāng)－eq\f(a,2)＞2，即a＜－4時(shí)，g(a)＝f(2)＝7＋a＞0，得a＞－7，又a＜－4，∴－7＜a＜－4.綜上知，a的取值范圍是(－7,2)．1．函數(shù)f(x)＝4－x(x－2)的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸方程分別是()A．(2,4)，x＝2B．(1,5)，x＝1C．(5,1)，x＝1D．(1,5)，x＝5解析：選Bf(x)＝4－x(x－2)＝－x2＋2x＋4＝－(x－1)2＋5，∴函數(shù)f(x)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,5)，對(duì)稱軸方程為x＝1.2．二次函數(shù)y＝a2x2－4x＋1有最小值－1，則a的值為()A.eq\r(2)B．－eq\r(2)C．±eq\r(2)D．±2解析：選C由題意eq\f(4a2－16,4a2)＝－1，∴a2＝2，∴a＝±eq\r(2).3．已知二次函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－∞，5]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[5，＋∞)上單調(diào)遞增，則下列各式成立的是()A．f(－2)<f(6)<f(11)B．f(11)<f(6)<f(－2)C．f(6)<f(11)<f(－2)D．f(11)<f(－2)<f(6)解析：選C法一：由二次函數(shù)的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間知，該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝5，離對(duì)稱軸越近函數(shù)值越?。ǘ河深}意知，該二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為x＝5.∴f(5＋x)＝f(5－x)．∴f(－2)＝f(5－7)＝f(5＋7)＝f(12)．∵f(x)在[5，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(6)<f(11)<f(12)．∴f(6)<f(11)<f(－2)．4．函數(shù)y＝－x2＋4x的單調(diào)遞增區(qū)間是________．解析：∵y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∴函數(shù)y＝－x2＋4x的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，2]．答案：(－∞，2]5．函數(shù)y＝3x2－6x＋1，x∈[0,3]的最大值是________，最小值是________．解析：y＝3(x－1)2－2，該函數(shù)的圖像如下．從圖像易知：f(x)max＝f(3)＝10，f(x)min＝f(1)＝－2.答案：10－26．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5].(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值；(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使函數(shù)y＝f(x)在[－5,5]上是單調(diào)函數(shù)．解：(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，∵x∈[－5,5]，∴當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)的最小值為1.當(dāng)x＝－5時(shí)，f(x)的最大值為37.(2)函數(shù)f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的圖像的對(duì)稱軸為x＝－a.∵f(x)在[－5,5]上是單調(diào)函數(shù)，∴－a≤－5，或－a≥5，故a的取值范圍是a≤－5或a≥5.一、選擇題1．下列區(qū)間中，使函數(shù)y＝－2x2＋x是增函數(shù)的是()A．RB．[2，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))解析：選D函數(shù)y＝－2x2＋x＝－2(x－eq\f(1,4))2＋eq\f(1,8)的圖像的對(duì)稱軸是直線x＝eq\f(1,4)，圖像的開口向下，所以函數(shù)在對(duì)稱軸x＝eq\f(1,4)的左邊是增加的．2．如果函數(shù)y＝4x2－kx－8在[5,20]上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A．k≤40B．k≥160C．40<k<160D．k≤40或k≥160解析：選D拋物線y＝4x2－kx－8的對(duì)稱軸為x＝eq\f(k,8)，若函數(shù)y＝4x2－kx－8在[5,20]上是單調(diào)函數(shù)，則eq\f(k,8)≤5或eq\f(k,8)≥20.∴k≤40或k≥160.3．(浙江高考)已知a，b，c∈R，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，則()A．a(chǎn)>0,4a＋b＝0B．a(chǎn)<0,4a＋b＝0C．a(chǎn)>0,2a＋b＝0D．a(chǎn)<0,2a＋b＝0解析：選A由f(0)＝f(4)得f(x)＝ax2＋bx＋c的對(duì)稱軸為x＝－eq\f(b,2a)＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，∴f(x)先減后增，于是a>0，故選A.4．某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)分別為L(zhǎng)1＝x－x2和L2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)．若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤(rùn)為()A．萬(wàn)元B．萬(wàn)元C．萬(wàn)元D．萬(wàn)元解析：選C設(shè)公司獲得的利潤(rùn)為y，在甲地銷售了x輛，則在乙地銷售了(15－x)輛．則y＝x－x2＋2(15－x)＝－x2＋x＋30(0≤x≤15，x∈N)，此二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝，∴當(dāng)x＝10時(shí)，y有最大值為45.6(萬(wàn)元)．二、填空題5．設(shè)函數(shù)f(x)＝4x2－(a＋1)x＋5在[－1，＋∞)上是增函數(shù)，在(－∞，－1]上是減函數(shù)，則f(－1)＝________.解析：∵eq\f(a＋1,8)＝－1，∴a＝－9，則f(x)＝4x2＋8x＋5.∴f(－1)＝4×(－1)2＋8×(－1)＋5＝1.答案：16．已知二次函數(shù)f(x)＝(x＋a)(bx＋a)(常數(shù)a，b∈R)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，其值域?yàn)?－∞，4]，則a＝_______