10多元微分學在幾何中的應(yīng)用

一、空間曲線的切線與法平面過點M

與切線垂直的平面稱為曲線在該點的法平面?？臻g光滑曲線在點M

處的切線為此點處割線的極限位置。點擊圖中任意點動畫開始或暫停第六節(jié)

多元微分學的幾何應(yīng)用7/19/202311.空間曲線方程為參數(shù)方程切線方程：則在(x0,y0,z0)處有切向量：法平面方程：法向量：7/19/20232例2求圓柱螺旋線在對應(yīng)點處的切線方程和法平面方程。注：在方程中一般要求如個別為0,則理解為分子也為0。不全為0,7/19/202332.

空間曲線方程為則在(x0,y0,z0)處有切線方程：法平面方程：例3求曲線在P0(,2,0)的切線方程與且平面方程。7/19/202343.空間曲線為一般式方程則在P0(x0,y0,z0)處有切線方程法平面方程切向量（法向量）：7/19/20235注意：對于情形3，做題時最好用推導法，而不是死記公式。牢記此時：例2

求曲線在點M(1,–2,1)處的切線方程與法平面方程。二、空間曲面的切平面與法線1.空間曲面方程為：命題：曲面上通過M(x0,y0,z0)點的所有曲線在M處的切線都在同一平面上，此平面稱為在M點的切平面，其方程為7/19/20236證明：設(shè)曲面上任取一條通過點M的曲線方程為顯然，只需證明：則：曲線在M點的切向量為曲面在M點的切平面的法向量為（略）7/19/20237法線方程：通過M點而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點的法線。2.空間曲面方程為：曲面在M處的切平面方程為：曲面在M處的法線方程為：7/19/20238切平面上點的豎坐標的增量全微分的幾何意義：

(1)z=f(x,y)在(x0,y0)的全微分等于曲面z=f(x,y)在點(x0,y0,z0)

處的切平面上的點的豎坐標的增量。(2)z=f(x,y)在(x0,y0)的全微分存在曲面z=f(x,y)在點(x0,y0,z0)處的切平面存在。例4

求旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2-1點(2,1,4)處的切平面及法線方程。7/19/20239其中：若規(guī)定法向量的方向是向上的（即使得與z軸正向成銳角），則法向量的方向余弦為：解：設(shè)(x0,y0,z0)

為曲面上的切點,則且得所求切點為：7/19/202310解:

二曲面在

M

點的法向量分別為二曲面在點M

相切,故又點M在球面上,因此有例6

確定正數(shù)

使曲面M(x0,y0,z0)相切。

與球面在點7/19/202311課外作業(yè)7/19/202312思考與練習1.如果平面與橢球面相切,提示:

設(shè)切點為則(二法向量平行)(切點在平面上)(切點在橢球面上)7/19/202313證明曲面上任一點處的切平面都通過原點。提示:

在曲面上任意取一點則通過此2.設(shè)

f(u)可微,證明原點坐標滿足上述方程。點的切平面為7/19/202314

1.

證明曲面與定直線平行,證:

曲面上任一點的法向量取定直線的方向向量為：則(定向量)故結(jié)論成立.的所有切平面恒備用題7/19/2023152.