初中幾何證明題絕對(duì)經(jīng)典文檔

幾何證明1.點(diǎn)A、B、C在同一直線上，在直線AC的同側(cè)作ABE和BCF，連接AF，CE．取AF、CE的中點(diǎn)M、N，連接BM，BN，MN．(1)若ABE和FBC是等腰直角三角形，且FBC900(如圖1)，則MBN是ABE三角形．(2)在ABE和BCF中，若BA=BE,BC=BF,且ABEFBC，(如圖2)，則MBN是三角形，且MBN.(3)若將(2)中的ABE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定角度,(如同3)，其他條件不變，那么(2)中的結(jié)論是否成立？若成立，給出你的證明；若不成立，寫出正確的結(jié)論并給出證明.FFFEMEEMAMNNNCCABB（如圖3）ABC（如圖1)（如圖2）

AD2.如圖，將一三角板放在邊長(zhǎng)為P在對(duì)角線AC上滑動(dòng)，直角的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)邊與射線DC相交于Q.探究：設(shè)A、P兩點(diǎn)間的距離為x.(1)當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，線段PQ與PB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？1的正方形ABCD上，并使它的P直角頂點(diǎn)B,另一QCB試證明你的猜想；(2)當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，設(shè)四邊形PBCQ的面積為x的取值范圍；P在線段AC上滑動(dòng)時(shí)，△PCQ是否可能成為等腰三角形？如果可能,指出所有能使等腰三角形的點(diǎn)的位置.并求出相說明理由.y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出函數(shù)自變量(3)當(dāng)點(diǎn)△PCQ成為應(yīng)的值，如果不可能，試xQ

ABCDABCB，ABC60，ADC120，請(qǐng)你猜想線1，四邊形中，3.(1)如圖段DA、DCBD之和與線段的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；ABCDABBC，ABC60ABCDP，若點(diǎn)為四邊形內(nèi)一點(diǎn)，(2)如圖2，四邊形中，且APD120，請(qǐng)你猜想線段PA、PD、PCBD之和與線段的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．圖１圖2

4.(1)如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上1的點(diǎn)，且∠EAF=∠BAD.求證:EF＝BE＋FD;2ADBFEC圖1圖2圖3B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的(2)如圖2在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠且∠EAF=1∠BAD,(1)中的結(jié)論是否仍然成立？不用證明.點(diǎn)，2(3)如圖25-3在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD1延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且∠EAF=∠BAD,(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成2立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

5.以ABC的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰RtABD和等腰RtACE，BADCAE90,連接DE，M、N分別是BC、DE關(guān)系是，線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是①中的等腰RtABD繞點(diǎn)(2)將圖A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)；(0<<90)后，如圖②所示，(1)問中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由．

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形AOBC在第一象限內(nèi)，E是邊OB上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），作∠AEF=90，使EF交矩形的外角平分線BF于點(diǎn)F，設(shè)C（m，n）．（1）若m=n時(shí)，如圖，求證：EF=AE；（2）若m≠n時(shí)，如圖，試問邊OB上是E的坐標(biāo)（3）若m=tn（t＞1）時(shí)，E的坐標(biāo)否還存在點(diǎn)E，使得EF=AE？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說明理由．試探究點(diǎn)E在邊OB的何處時(shí)，使得EF=（t+1）AE成立？并求出點(diǎn)．yyyFFxACAACCFOEBOEBxOEBx

7.如圖1，已知∠ABC=90°，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合），連結(jié)AP，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連結(jié)QE并延長(zhǎng)交射線BC于點(diǎn)F.（1）如圖2，當(dāng)BP=BA時(shí)，∠EBF=▲°，猜想∠QFC=▲°；（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)時(shí)，猜想∠QFC的度數(shù)，并加以證明；（3）已xx知線段AB=23，設(shè)BP=，點(diǎn)Q到射線BC的距離為y，求y關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．QQAAEEBCPFBFPC圖2圖1

8.如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，已知AD＝AB＝3，BC＝4，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿線段BC向點(diǎn)C作勻速運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DA向點(diǎn)A作勻速運(yùn)動(dòng)．過Q點(diǎn)垂直于AD的射線交AC于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．(1)求NC，MC的長(zhǎng)(用t的代數(shù)式表示)；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，(3)是否存在某一時(shí)刻，使射線QN恰好將△ABC的面積和周長(zhǎng)同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，(4)探究：t為何值時(shí)，△PMC為等腰三角形？四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形？

9．如圖所示，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，DE∥BC，如圖①，然后將△ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到圖②，然后將BD、CE分別延長(zhǎng)至M、N，使DM＝1BD，EN2＝1CE，得到圖③，請(qǐng)解答下列問題：2(1)若AB＝AC，請(qǐng)?zhí)骄肯铝袛?shù)量關(guān)系：①在圖②中，BD與CE的數(shù)量關(guān)系是②在圖③中，猜想AM與AN的數(shù)量關(guān)系、∠MAN與∠BAC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2)若AB＝k·AC(k＞1)，按上述操作方法，得到圖繼續(xù)探究：AM與AN的數(shù)量關(guān)系、∠MAN與∠BAC的數(shù)量關(guān)系，________________；④，請(qǐng)直接寫出你的猜想，不必證明．

1、解：（1）等腰直角（2）等腰（3）結(jié)論仍然成立證明：在ABF和EBC中，F(xiàn)BABEEMABFEBCANBFBCC∴△ABF≌△EBC.B（如圖3）∴AF=CE.∠AFB=∠ECB∵M(jìn),N分別是AF、CE的中點(diǎn),∴FM=CN.∴△MFB≌△NCB.∴BM=BN.∠MBF=∠NBC∴∠MBN=∠MBF+∠FBN=∠FBN+∠NBC=∠FBC=2、解：（1）PQ=PB過P點(diǎn)作MN分別交、于點(diǎn)、在正方形ABCD中，AC為對(duì)角線∴AM=PM∥BCABDCMN又∵AB=MN∴MB=PN∵∠BPQ=900AD∴∠BPM＋∠NPQ=900又∵∠MBP＋∠BPM=900∴∠MBP=∠NPQ∴Rt△MBP≌Rt△NPQ,∴PB=PQPMNQBC（2）∵S=S＋SPBCQ四邊形△PBC△PCQ∵AP=x∴AM=2x2D－NQ∴CQ=C2=1－2x又∵S=1BC·BM=1·1·(1－2x)=-2x122224△PBC

S=1CQ·PN=1(1－2x)·(1－)22x2232x＋12△PCQ=1x2－24∴S四邊形PBCQ=1x2－2x＋1.(0≤x≤2)22(3)△PCQ可能成為等腰三角形.①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合，PQ=QC，此時(shí)，x=0.②當(dāng)點(diǎn)Q在DC的延長(zhǎng)線上，且CP=CQ時(shí)，有：QN=AM=PM=2x，CP=2－x,2ADCN=2CP=1－2x22PNCMBCQ=QN－CN=2x－（1－2x）22Q=2x－1∴當(dāng)2－x=2x－1時(shí)，x=1CDE3、解：（1）如圖１，延長(zhǎng)至，使DEDA．可證明EAD是等邊三角形．≌BADCAE．AC聯(lián)結(jié)，可證明故ADCDDECDCEBD．圖1圖2（2）如圖２，在四邊形ABCD外側(cè)作正三角形ABD，

BCDB可證明≌，得．ABCADBABDP∵四邊形符合（1）中條件，BPAPPD．∴BC聯(lián)結(jié)，PBCⅰ）若滿足題中條件的點(diǎn)在上，BCPBPC．則BCAPPDPC．∴∴BDPAPDPC．PBCⅱ）若滿足題中條件的點(diǎn)不在上，BCPBPC，∵BCAPPDPC．∴∴BDPAPDPC．綜上，BDPAPDPC．（1）證明：延長(zhǎng)EB到G，使BG=DF，聯(lián)結(jié)AG.4、答案∵∠ABG＝∠ABC=∠D＝90°,AB＝AD，∴△ABG≌△ADF.∴AG＝AF,∠1＝∠2．∴∠1+∠3＝∠2+∠3=∠EAF=1∠BAD．2∴∠GAE=∠EAF．又AE＝AE，∴△AEG≌△AEF.∴EG＝EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE＋FD(2)(1)中的結(jié)論EF=BE＋FD仍然成立.（3）結(jié)論EF=BE＋FD不成立，應(yīng)當(dāng)是EF=BE－FD．證明：在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．∵∠B+∠ADC＝180°,∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADF.∴∠BAG＝∠DAF,AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD1=∠EAF=∠BAD．2∴∠GAE=∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF.∴EG＝EF

∵EG=BE－BG∴EF=BE－FD．1AMDEAMDE1），25、答案：解：（（2）結(jié)論仍然成立。BF證明：如圖，延長(zhǎng)CA至F，使FA=AC，F(xiàn)A交DE于點(diǎn)P，并連結(jié)．DABA,EAAF，F(xiàn)AAEFABEAD(SAS).BF=DE,FAEN.FPDFAPEAEN90.FBDE.1AM//FB且AM=FB2又CA=AF,CM=MB，1AMDE,AM=DE．26、答案：（1）由題意得m=n時(shí)，AOBC是正方形．如圖，在OA上取點(diǎn)C，使AG=BE，則OG=OE．∴∠EGO=45，從而∠AGE=135．由BF是外角平分線，得∠EBF=135，∴∠AGE=∠EBF．∵∠AEF=90，∴∠FEB+∠AEO=90．在Rt△AEO中，∵∠EAO+∠AEO=90，∴∠EAO=∠FEB，∴△AGE≌△EBF，EF=AE．（2）假設(shè)存在點(diǎn)1）知∠EAO=∠FEH，于是Rt△AOE≌Rt△EHF．∴FH=OE，EH=OA．E，使EF=AE．設(shè)E（a，0）．作FH⊥x軸于H，如圖．由（∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為a，即FH=a．y由BF是外角平分線，知∠FBH=45，∴BH=FH=a．AC又由C（m，n）有OB=m，∴BE=OB－OE=m－a，F(xiàn)G∴EH=m－a+a=m．OEBx

又EH=OA=n，∴m=n，這與已知m≠n相矛盾．因此在邊OB上不存在點(diǎn)E，使EF=AE成立．（3）如（2）圖，設(shè)E（a，0），F(xiàn)H=h，則EH=OH－OE=h+m－a．由∠AEF=90，∠EAO=∠FEH，得△AOE∽△EHF，yF∴EF=（t+1）AE等價(jià)于FH=（t+1）OE，即h=（t+1）a，AOOEnhmahaAC且，即，EHFHama2a(ma)OEBHxh整理得nh=ah+am－a2，∴．nanaa(ma)(t1)a，把h=（t+1）a代入得na即m－a=（t+1）（n－a）．n－a）．ta=n，解得．而m=tn，因此tn－a=（t+1）（na化簡(jiǎn)得tn∵t＞1，∴＜n＜m，故E在OB邊上．tnn∴當(dāng)E在OB邊上且離原點(diǎn)距離為處時(shí)滿足條件，此時(shí)E（，0）．tt7、答案：（1）EBF30°.3AB,如圖1所示QFC=60°（2）QFC=60°不妨設(shè)BP＞∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP∴∠BAP=∠EAQ.在△ABP和△AEQ中AB=AE，∠BAP=∠EAQ，AP=AQ∴△ABP≌△AEQ（SAS）∴∠AEQ=∠ABP=90°∴∠BEF180AEQAEB180906030∴QFC=EBFBEF303060°(事實(shí)上當(dāng)BP≤3AB時(shí)，如圖2情形，不失一般性結(jié)論仍然成立，不分類討論不扣分）(3)在圖1中，過點(diǎn)F作FG⊥BE于點(diǎn)G∵△ABE是等邊三角形231）得EBF30°∴BE=AB=，由（BE3∴BF=BGcos302在Rt△BGF中，BG∴EF=22∵△ABP≌△AEQ∴QE=BP=x∴QF=QE＋EF

過點(diǎn)Q作QH⊥BC，垂足為H在Rt△QHF中，yQHsin60QF3(x2)（x＞0）2y23x3x的函數(shù)關(guān)系式是：即y關(guān)于8、答案：解：（∵QN⊥∵QD=t，∴BN=AQ=3-t，∴NC=BC-BN=4-（∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，∴AC=5。.1）在直角梯形ABCD中，AD，∠ABC＝90°，∴四邊形ABNQ是矩形。3-t）=t+1。AD=3，CMCN，ACBC∵QN⊥AD，∠ABC＝90°，∴MN∥AB，∴CMt1即，∴5t5.MC544（2）當(dāng)QD=CP時(shí)，四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形?！喈?dāng)t=4-t，即t=2時(shí)，四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形。(3)∵M(jìn)N∥AB，∴△MNC∽△ABC，要使射線QN將△ABC的面積平分，則△2MNC與△ABC的面積比為1：2，即相似比為1：，∴CN1t11，即，∴t=221.∴CN=，22242BC5292MC=，∴CN+MC=，∵△ABC的周長(zhǎng)的一半2234592=6≠，∴不存在某一時(shí)刻，使射線QN恰好將△ABC的面積和周長(zhǎng)同時(shí)平分。2=2（4）分3種情況：①如圖，當(dāng)PM=MC時(shí)，△PMC為等腰三角形。則PN=NC，即3-t-t=t+1，22∴t，即時(shí)，△PMC為等腰三角形。t33②如圖，當(dāng)CM=PC時(shí)，△PMC為等腰三角形。5t5即44t，

11∴t時(shí)，△PMC為等腰三角形。9③如圖，當(dāng)PM=PC時(shí)，△PMC為等腰三角形?！逷C=4－t，NC=t+1，∴PN=2t-3,MNAB3又∵NCBC4，∴MN=43t1，3t1由勾股定理可得[]2+（2t-3）2=（4－t），24103即當(dāng)t=時(shí)，△PMC為等腰三角形。579、答案：（1）①BD=CE；②AM=AN，∠MAN=∠BAC理由如下：∵在圖①中，DE//BC，AB=AC∴AD=AE.ABAC,BADCAE,∴△ABD≌△ACE.∴BD=CE，∠ACE=∠ABD.在△DAM與ADAE在△ABD與△ACE中△EAN中，11∵DM=BD，EN=CE，BD=CE，∴DM=EN，∵∠AEN=∠ACE+∠CAE，∠ADM=∠ABD+∠BAD，∴22∠AEN=∠ADM.又∵AE=AD，∴△ADM≌△AEN.∴AM=AN，∠DAM=∠EAN.∴∠MAN=∠DAE=∠BAC.∴AM=AN，∠MAN=∠BAC.（2）AM=kAN，∠MAN=∠BAC.

初中幾何證明題經(jīng)典題（一）1、已知：如圖，O是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點(diǎn)，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求證：CD＝GF．（初二）證明：過點(diǎn)G作GH⊥AB于H，連接OE∵EG⊥CO，EF⊥AB∴∠EGO=90°，∠EFO=90°∴∠EGO+∠EFO=180°∴E、G、O、F四點(diǎn)共圓∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90°∴△EGO∽△FHGEOGO∴FG=HG∵GH⊥AB，CD⊥AB∴GH∥CDGOCO∴HGCDEOCO∴FGCD∵EO=CO∴CD=GF2、已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，∠PAD＝∠PDA＝15°。求證：△PBC是正三角形．（初二）證明：作正三角形ADM，連接MP∵∠MAD=60°，∠PAD=15°∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75°∵∠BAD=90°，∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75°∴∠BAP=∠MAP∵M(jìn)A=BA，AP=AP∴△MAP≌△BAP∴∠BPA=∠MPA，MP=BP同理∠CPD=∠MPD，MP=CP∵∠PAD＝∠PDA＝15°∴PA=PD，∠BAP=∠CDP=75°∵BA=CD∴△BAP≌∠CDP∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA，∠CPD=∠MPD∴∠MPA=∠MPD=75°∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵M(jìn)P=BP，MP=CP∴BP=CP∴△BPC是正三角形第1頁共9頁

3、已知：如圖，在四邊形ABCD中，于E、F．求證：∠DEN＝∠F．AD＝BC，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長(zhǎng)線交MN證明:連接AC，取AC的中點(diǎn)G,連接NG、MG∵CN=DN，CG=DG1∴GN∥AD，GN=AD2∴∠DEN=∠GNM∵AM=BM，AG=CG1∴GM∥BC，GM=BC2∴∠F=∠GMN∵AD=BC∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM∴∠DEN=∠F經(jīng)典題（二）1、已知：△ABC中，H為垂心（各邊高線的交點(diǎn)），O為外心，且OM⊥BC于M．（1）求證：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝600，求證：AH＝AO．（初二）證明：（1）延長(zhǎng)AD交圓于F，連接BF，過點(diǎn)O作OG⊥AD于G∵OG⊥AF∴AG=FG⌒⌒∵AB=AB∴∠F=∠ACB又AD⊥BC，BE⊥AC∴∠BHD+∠DBH=90°∠ACB+∠DBH=90°∴∠ACB=∠BHD∴∠F=∠BHD∴BH=BF又AD⊥BC∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH）=2GD又AD⊥BC，OM⊥BC，OG⊥AD∴四邊形OMDG是矩形∴OM=GD∴AH=2OM（2）連接OB、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120°∵OB=OC，OM⊥BC1∴∠BOM=∠BOC=60°∴∠OBM=30°2∴BO=2OM由（1）知AH=2OM∴AH=BO=AO第2頁共9頁

2、設(shè)MN是圓O外一條直線，過O作OA⊥MN于A，自A引圓的兩條割線交圓O于B、C及D、E，連接CD并延長(zhǎng)交MN于Q，連接EB并延長(zhǎng)交MN于P.AP＝AQ．E關(guān)于AG的對(duì)稱點(diǎn)求證：證明：作點(diǎn)F，連接AF、CF、QF∵AG⊥PQ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF即∠PAE=∠QAF∵E、F、C、D四點(diǎn)共圓∴∠AEF+∠FCQ=180°∵EF⊥AG，PQ⊥AG∴EF∥PQ∴∠PAF=∠AFE∵AF=AE∴∠AFE=∠AEF∴∠AEF=∠PAF在△AEP和△AFQ中∵∠PAF+∠QAF=180°∴∠FCQ=∠QAF∠AFQ=∠AEPAF=AE∴F、C、A、Q四點(diǎn)共圓∴∠AFQ=∠ACQ∠QAF=∠PAE∴△AEP≌△AFQ∴AP=AQ又∠AEP=∠ACQ∴∠AFQ=∠AEP3、設(shè)MN是圓O的弦，過MN的中點(diǎn)A任作兩弦BC、DE，設(shè)CD、EB分別交MN于P、Q．求證：AP＝AQ．（初二）證明：作OF⊥CD于F，OG⊥BE于G，連接OP、OQ、OA、AF、AG∵C、D、B、E四點(diǎn)共圓∴∠B=∠D，∠E=∠C∴△ABE∽△ADCABBE2BGBG∴ADDC2FDDF∴△ABG∽△ADF∴∠AGB=∠AFD∴∠AGE=∠AFC∵AM=AN，∴OA⊥MN又OG⊥BE，∴∠OAQ+∠OGQ=180°∴O、A、Q、E四點(diǎn)共圓∴∠AOQ=∠AGE同理∠AOP=∠AFC∴∠AOQ=∠AOP又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA∴△OAQ≌△OAP∴AP=AQ第3頁共9頁

4、如圖,分別以△ABC的AB和AC為一邊,在△ABC的外側(cè)作正方形ABFG和正方形ACDE，點(diǎn)O是DF的中點(diǎn)，OP⊥BCF、A、D作直線BC的垂線，垂足分別是L、M、N∴BM+CN=FL+DN∴BC=FL+DN=2OP經(jīng)典題（三）1、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE與CD相交于F．CE＝CF．（初二）證明：連接BD交AC于O。過點(diǎn)E作EG⊥AC于G∴ODEG是矩形111∴EG=OD=BD=AC=AE2∴∠EAG=30°∵AC=AE22∴∠ACE=∠AEC=75°又∠AFD=90°-15°=75°∴∠CFE=∠AFD=75°=∠AEC∴CE=CF第4頁共9頁

2、如圖，四邊形ABCD為正方形，AE＝AF．（初二）證明：連接BD，過點(diǎn)E作EG⊥AC于GDE∥AC，且CE＝CA，直線EC交DA延長(zhǎng)線于F．求證：∵ABCD是正方形∴BD⊥AC，又EG⊥AC∴BD∥EG又DE∥AC∴ODEG是平行四邊形又∠COD=90°1∴∠CAE=∠CEA=∠GCE=15°2∴ODEG是矩形在△AFC中∠F=180°-∠FAC-∠ACF=180°-∠FAC-∠GCE111∴EG=OD=BD=AC=CE2∴∠GCE=30°∵AC=EC22=180°-135°-30°=15°∴∠F=∠CEA∴AE=AF3、設(shè)P是正方形ABCD一邊BC上的任一點(diǎn)，PA＝PF．（初二）F作FG⊥CE于G，F(xiàn)H⊥CD于HPF⊥AP，CF平分∠DCE．求證：證明：過點(diǎn)∵CD⊥CG∴HCGF是矩形∵∠HCF=∠GCF∴FH=FG∴HCGF是正方形∴CG=GF∵AP⊥FP設(shè)AB=x，BP=y，CG=zz：y=（x-y+z）：x∴∠APB+∠FPG=90°∵∠APB+∠BAP=90°∴∠FPG=∠BAP化簡(jiǎn)得（x-y）·y=（x-y）·z∵x-y≠0又∠FGP=∠PBA∴y=z∴△FGP∽△PBA即BP=FG∴FG：PB=PG：AB∴△ABP≌△PGF4、如圖，PC切圓O于C，AC為圓的直徑，PEF為圓的割線，AE、AF與直線PO相交于B、D．求證：AB＝DC，BC＝AD．（初三）證明：過點(diǎn)E作EK∥BD，分別交AC、AF于M、K，取EF的中點(diǎn)H，連接OH、MH、EC∵EH=FH∴OH⊥EF，∴∠PHO=90°又PC⊥OC，∴∠POC=90°∴EM=KM∵EK∥BDOBAOOD∴∴P、C、H、O四點(diǎn)共圓∴∠HCO=∠HPOEMAMKM又EK∥BD，∴∠HPO=∠HEK∴∠HCM=∠HEM∴OB=OD又AO=CO∴H、C、E、M四點(diǎn)共圓∴四邊形ABCD的對(duì)角∴∠ECM=∠EHM又∠ECM=∠EFA∴∠EHM=∠EFA∴HM∥AC線互相平分∴ABCD是平行四邊形∴AB=DC，BC=AD∵EH=FH第5頁共9頁

經(jīng)典題(四)1、已知：△ABC是正三角形，求∠APB的度數(shù)．（初二）解：將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，PA＝3，PB＝4，PC＝5．A60°得△BCQ，連接PQ則△BPQ是正三角形∴∠BQP=60°，PQ=PB=3P在△PQC中，PQ=4，CQ=AP=3，PC=5∴△PQC是直角三角形∴∠PQC=90°∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°∴∠APB=∠BQC=150°BCQ2、設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，且∠PBA＝∠PDA．求證：∠PAB＝∠PCB．（初二）AD證明：過點(diǎn)P作AD的平行線，過點(diǎn)A作PD的平行線，兩平行線相交于點(diǎn)E，連接BE∵PE∥AD，AE∥PD∴ADPE是平行四邊形∴PE=AD，PE又ABCD是平行四邊形∴AD=BCBC∴PE=BC又PE∥AD，AD∥BC∴PE∥BC又∠ADP=∠ABP∴∠AEP=∠ABP∴BCPE是平行四邊形∴∠BEP=∠PCB∵ADPE是平行四邊形∴∠ADP=∠AEP∴A、E、B、P四點(diǎn)共圓∴∠BEP=∠PAB∴∠PAB=∠PCB3、設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，求證：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）證明：在BD上去一點(diǎn)E，使∠BCE=∠ACDAD∵CD⌒=CD⌒∴∠CAD=∠CBD∴△BEC∽△ADCE∴BEBCADAC∴AD·BC=BE·AC……①∵∠BCE=∠ACDBC∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE即∠BCA=∠ECD①+②得AB·CD+AD·BC=DE·AC+BE·AC=（DE+BE）·AC∵BC⌒=BC⌒,∴∠BAC=∠BDC△BAC∽△EDC=BD·ACABAC∴DECD∴AB·CD=DE·AC……②第6頁共9頁

4、平行四邊形ABCD中，設(shè)E、F分別是BC、AB上的一點(diǎn)，AE與CF相交于P，且AE＝CF．求證：∠DPA＝∠DPC．（初二）D作DG⊥AE于G，作DH⊥FC于H，連接DF、DE證明：過點(diǎn)AD11F∴S=2AE·DG，S=FC·DH2ADE△FDC△G1又S=S=2SADE△FDC△□ABCDHEP∴AE·DG=FC·DH又AE=CFBC∴DG=DH∴點(diǎn)D在∠APC的角平分線上∴∠DPA＝∠DPC經(jīng)典題（五）31、設(shè)1的正△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，L＝PA＋PB＋PC，求證：≤L＜2．1）將△BPC繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°的△BEF，連接PE，P是邊長(zhǎng)為證明：（∵BP=BE，∠PBE=60°∴△PBE是正三角形。∴PE=PB又EF=PCA∴L=PA+PB+PC=PA+PE+EFGPD如圖）當(dāng)PA、PE、EF在一條直線上的時(shí)候，L=PA+PE+EF的值最?。?在△ABF中，∠ABP=120°∴AF=CB3∴L=PA+PB+PC≤E（2）過點(diǎn)P作BC的平行線分別交AB、AC于D、G則△ADG是正三角形F∴∠ADP=∠AGP，AG=DG∵∠APD＞∠AGP∴∠APD＞∠ADP∴AD＞PA…………①又BD+PD＞PB……②CG+PG＞PC……③①+②+③得AD+BD+CG+PD+PG＞PA+PB+PC∴AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+AC＞PA+PB+PC=L∵AB=AC=1∴L＜23由（1）（2）可知：≤L＜2．第7頁共9頁

2、已知：P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，求PA＋PB＋PC的最小值．A△BCP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△BEF，連接PE，D解：將則△BPE是正三角形∴PE=PBP∴PA＋PB＋PC=PA+PE+EFBPA＋PB＋PC最小，則PA、PE、EF應(yīng)該在一條直線上（如圖）C∴要使E此時(shí)AF=PA+PE+EF過點(diǎn)F作FG⊥AB的延長(zhǎng)線于G則∠GBF=180°-∠ABF=180°-150°=30°GF3∴GF=12，BG=213122∴AF=GF2AG223==22∴PA＋PB＋PC的最小值是233、P為正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的邊長(zhǎng)．AD證明：將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△BCQ，連接PQ則△BPQ是等腰直角三角形，P∴PQ=2PB=又QC=