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安徽省六安市第六中學2021-2022學年高一數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.(5分)已知||=,||=2,.=﹣3,則與的夾角是() A. 150° B. 120° C. 60° D. 30°參考答案:B考點: 數(shù)量積表示兩個向量的夾角.專題: 計算題.分析: 設(shè)出兩個向量的夾角,利用向量的數(shù)量積公式列出方程,求出夾角的余弦,利用夾角的范圍求出夾角.解答: 設(shè)兩個向量的夾角為θ∵∴∴∵θ∈[0,π]∴θ=120°故選B點評: 求兩個向量的夾角,一般先利用向量的數(shù)量積公式求出向量夾角的余弦,注意向量夾角的范圍,求出向量的夾角.2.設(shè),則的大小關(guān)系是A.
B.
C. D.參考答案:A略3.如圖,四棱錐P﹣ABCD中,所有棱長均為2,O是底面正方形ABCD中心,E為PC中點,則直線OE與直線PD所成角為()A.30° B.60° C.45° D.90°參考答案:B【考點】異面直線及其所成的角.【分析】可連接BD,AC,OP,由已知條件便知這三直線兩兩垂直,從而可分別以這三直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,可設(shè)棱長為2,從而可求出圖形中一些點的坐標,據(jù)向量夾角的余弦公式便可求出【解答】解:根據(jù)條件知,P點在底面ABCD的射影為O,連接AC,BD,PO,則OB,OC,OP三直線兩兩垂直,從而分別以這三直線為x,y,z軸,建立如圖所示空間直角坐標系:設(shè)棱長為2,則:O(0,0,0),C(0,,0),PP(0,0,),E(0,,A(0,﹣,0),B(,0,0),D(﹣,0,0)∴,,∴∴OE與PD所成角為60°.故選:B.4.要得到函數(shù)y=3sin2x的圖象,只需將函數(shù)y=3sin(2x-)的圖象(
)(A)向右平移個單位
(B)向右平移個單位(C)向左平移個單位
(D)向車平移個單位參考答案:C5.偶函數(shù)在區(qū)間[0,4]上單調(diào)遞減,則有(
)
A.
B.
C.
D.參考答案:A6.函數(shù)f(x)=ax2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,4]上為減函數(shù),則a的取值范圍為()A.0≤a≤
B.0<a≤
C.0<a<
D.a(chǎn)>參考答案:A7.與角﹣終邊相同的角是() A. B. C. D. 參考答案:C8.一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面,那么這兩個平面A.一定平行
B.一定相交
C.平行或相交
D.一定重合參考答案:C9.為等差數(shù)列,為前項和,,則下列錯誤的是(
)
參考答案:C10.已知集合A={1,3,5},B={1,m},A∩B={1,m},則m等于()A.1或3 B.3或5 C.1或5 D.1或3或5參考答案:B【考點】交集及其運算.【分析】由已知條件,利用交集性質(zhì)能求出m的值.【解答】解:∵集合A={1,3,5},B={1,m},A∩B={1,m},∴由交集性質(zhì)得m=3或m=5.故選:B.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.直線2x﹣5y﹣10=0與坐標軸所圍成的三角形面積是.參考答案:5【分析】求出直線與坐標軸的交點,即可求解三角形的面積.【解答】解:直線2x﹣5y﹣10=0與坐標軸的交點坐標為(0,﹣2),(5,0),所以直線2x﹣5y﹣10=0與坐標軸所圍成的三角形面積是:=5.故答案為:5.12.下列各式中正確的有
.(把你認為正確的序號全部寫上)(1);(2)已知則;(3)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱;(4)函數(shù)是偶函數(shù);(5)函數(shù)的遞增區(qū)間為.參考答案:(3)13.下列命題中,正確的是
①平面向量與的夾角為,,,則;②已知,是平面內(nèi)兩個非零向量,則平面內(nèi)任一向量都可表示為,其中;③已知,,其中,則;④是所在平面上一定點,動點P滿足:,,則直線一定通過的內(nèi)心。參考答案:①③④略14.設(shè)
,則滿足的的值為
.參考答案:315.若把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位,得到函數(shù)的圖象,則的解析式為
.參考答案:略16.氣象意義上從春季進入夏季的標志為連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22℃.現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù):(記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù))①甲地5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24,眾數(shù)為22;②乙地5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27,總體均值為24;③丙地5個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是32,總體均值為26,總體方差為10.8.則肯定進入夏季的地區(qū)有_____.參考答案:①③【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)的特點進行估計甲、乙、丙三地連續(xù)天的日平均氣溫的記錄數(shù)據(jù),分析數(shù)據(jù)的可能性進行解答即可得出答案。【詳解】①甲地:個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為,眾數(shù)為,根據(jù)數(shù)據(jù)得出:甲地連續(xù)天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)可能為:、、、、,其連續(xù)天的日平均氣溫均不低于;②乙地:個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為,總體均值為,當個數(shù)據(jù)為、、、、,可知其連續(xù)天的日平均溫度有低于,故不確定;③丙地:個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是,總體均值為,若有低于,假設(shè)取,此時方差就超出了,可知其連續(xù)天的日平均溫度均不低于,如、、、、,這組數(shù)據(jù)的平均值為,方差為,但是進一步擴大方差就會超過,故③對。則肯定進入夏季的地區(qū)有甲、丙兩地,故答案為:①③?!军c睛】本題考查中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、方差的數(shù)據(jù)特征,簡單的合情推理,解答此題應(yīng)結(jié)合題意,根據(jù)平均數(shù)的計算方法進行解答、取特殊值即可。17.已知集合A=,B=,則_______.參考答案:略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(本小題滿分13分)在無窮數(shù)列{}中,,對于任意,都有,。設(shè),記使得成立的的最大值為。(Ⅰ)設(shè)數(shù)列{}為1,3,5,7,…,寫出的值;(Ⅱ)若{}為等比數(shù)列,且,求…的值;(Ⅲ)若{}為等差數(shù)列,求出所有可能的數(shù)列{}。參考答案:(Ⅰ)解:,,。 【3分】(Ⅱ)解:因為{}為等比數(shù)列,,,所以, 【4分】因為使得成立的的最大值為,所以,,,,,, 【6分】所以。 【8分】(Ⅲ)解:由題意,得,結(jié)合條件,得。 【9分】又因為使得成立的的最大值為,使得成立的的最大值為,所以,。 【10分】設(shè),則。假設(shè),即,則當時,;當時,。所以,。因為{}為等差數(shù)列,所以公差,所以,其中。這與矛盾,所以。 【11分】又因為,所以,由{}為等差數(shù)列,得,其中。 【12分】因為使得成立的的最大值為,所以,由,得。 【13分】19.某中醫(yī)研制了一種治療咳嗽的湯劑,規(guī)格是0.25kg/瓶,服用劑量是每次一瓶,治療時需把湯劑放在熱水中加熱到t0C才能給病人服用,若把m1kg湯藥放入m2kg熱水中,待二者溫度相同時取出,則湯劑提高的溫度t1℃與熱水降低的溫度t2℃滿足關(guān)系式m1t1=0.8m2t2,某次治療時,王護士把x瓶溫度為100C湯劑放入溫度為90°C、質(zhì)量為2.5kg的熱水中加熱,待二者溫度相同時取出,恰好適合病人服用.(1)求x關(guān)于t的函數(shù)解析式;(2)若t∈[30,40],問:王護士加熱的湯劑最多夠多少個病人服用?參考答案:【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型.【分析】(1)利用條件列出方程0.25x(t﹣10)=0.8×2.5(90﹣t),可得x關(guān)于t的函數(shù)解析式.(2)解法一:設(shè)30≤t1<t2≤40,判斷函數(shù)x(t)在[30,40]上為減函數(shù),然后求解最大值,推出結(jié)果.解法二:由,可得,利用t∈[30,40],轉(zhuǎn)化為不等式求解即可.【解答】解:(1)依題意,可得0.25x(t﹣10)=0.8×2.5(90﹣t),整理得x關(guān)于t的函數(shù)解析式為[.…(2)解法一:設(shè)30≤t1<t2≤40,則因為30≤t1<t2≤40,所以(t1﹣10)(t2﹣10)>0,t2﹣t1>0,所以,即x(t1)﹣x(t2)>0,所以x(t1)>x(t2),所以x(t)在[30,40]上為減函數(shù).…所以,所以王護士加熱的湯劑最多夠24個病人服用.…解法二:由,可得.…由t∈[30,40],可得,因為x+8>0,所以3(x+8)≤72+x≤4(x+8),解得.所以王護士加熱的湯劑最多夠24個病人服用.…12分20.已知向量,,,其中,分別為直角坐標系內(nèi)x軸與y軸正方向上的單位向量.(1)若A,B,C三點共線時,求實數(shù)m的值;(2)若△ABC是直角三角形,且A為直角,求實數(shù)m的值與向量在方向上的投影.參考答案:(1);(2)【分析】(1)用坐標表示出,,利用向量共線的等價條件即可求出m的值,(2)利用向量c垂直的性質(zhì)得到方程,求解得到結(jié)果.【詳解】(1)由題知,,,,,共線即為,共線解得(或由求解)(2)由題知解得向量在方向上的投影為【點睛】本題考查向量的坐標運算,涉及到共線向量和向量的投影的概念,屬于基礎(chǔ)題.21.(本小題滿分16分)已知,求點的坐標,使四邊形為直角梯形(按逆時針方向排列).參考答案:解
設(shè)所求點D的坐標為(x,y),如圖所示,由于kAB=3,kBC=0,∴kAB·kBC=0≠-1,即AB與BC不垂直,故AB、BC都不可作為直角梯形的直角邊.…………2分①若CD是直角梯形的直角邊,則BC⊥CD,AD⊥CD,∵kBC=0,∴CD的斜率不存在,從而有x=3.又kAD=kBC,∴=0,即y=3.
此時AB與CD不平行.故所求點D的坐標為(3,3).
………………7分②若AD是直角梯形的直角邊,則AD⊥AB,AD⊥CD,kAD=,kCD=.由于AD⊥AB,∴·3=-1.又AB∥CD,∴=3.解上述兩式可得此時AD與BC不平行.故所求點D的坐標為,
…………12分綜上可知,使ABCD為直角梯形的點D的坐標可以為(3,3)或.………14分22.已知遞增
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