這種最短網(wǎng)絡(luò)稱為最小生成樹教學(xué)課件

這種最短網(wǎng)絡(luò)稱為最小生成樹這種最短網(wǎng)絡(luò)稱為最小生成樹這種最短網(wǎng)絡(luò)稱為最小生成樹圖論及其算法張莉TongjiUniversity§1最小支撐樹問(wèn)題基本概念1.樹:無(wú)回路的無(wú)向連通圖2.葉:樹中度數(shù)為1的頂點(diǎn)3.森林:連通分支大于1,且每個(gè)連通分支均為樹的非連通圖2015年2年3月4日，我們?cè)诮逃衫罟砷L(zhǎng)和教研室王主任的帶領(lǐng)下到農(nóng)村小學(xué)進(jìn)行調(diào)研。這期間我們通過(guò)檢查、批看、訪談、問(wèn)卷四種形式，發(fā)現(xiàn)在小學(xué)生作業(yè)留批這一環(huán)節(jié)上有成績(jī)，也有很多不足。一、成績(jī)方面（1）從一年級(jí)到六年級(jí)的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、科學(xué)、品德都有書面作業(yè)，作業(yè)次數(shù)都能與教學(xué)進(jìn)度相一致。其中語(yǔ)文有課下的閱讀、寫字作業(yè)、課時(shí)練和每天一篇的書法作業(yè)，數(shù)學(xué)也有課時(shí)練和口算，英語(yǔ)有課下閱讀和英語(yǔ)書法的練習(xí)及課時(shí)練的作業(yè)。老師也都在隨堂批改或及時(shí)講解。每個(gè)學(xué)校都能上寫字課，這非常好，既培養(yǎng)了學(xué)生良好的書寫習(xí)慣，也在弘揚(yáng)我們的民族優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化。最基本的是學(xué)生的字跡很清楚，無(wú)論是在語(yǔ)文和數(shù)學(xué)的書寫上，還是在日常生活中，學(xué)生的字就是他們的門面，寫字好看、優(yōu)美能給學(xué)生以美的享受，充滿自信。（2）教師在批改作業(yè)上非常認(rèn)真、仔細(xì)。每一次作業(yè)都有激勵(lì)性評(píng)語(yǔ)如“你真棒、加油、繼續(xù)努力及哭臉、笑臉、貼小紅花、貼得越多越好”等能夠激發(fā)學(xué)生積極性的評(píng)語(yǔ)。并且每一次作業(yè)都有翔實(shí)的批改記錄，非常詳細(xì)，錯(cuò)的問(wèn)題具體到每個(gè)字、每個(gè)詞、每句話、每個(gè)人。同時(shí)，對(duì)每一個(gè)學(xué)生逐步講解，直到每個(gè)人都會(huì)了為止。記得劉冬梅老師的作業(yè)批改上有一句話：“決心要成功的人，已經(jīng)成功了一半，朝著你的夢(mèng)想邁進(jìn)吧！”這樣的話語(yǔ)，學(xué)生聽了都是如沐春風(fēng)的感覺(jué)，真是“良言一句三冬暖，惡語(yǔ)傷人六月寒”啊！這樣的老師，學(xué)生都是非常喜愛(ài)的。（3）大部分學(xué)生能夠按時(shí)完成各科教師留的家庭和課下作業(yè)，并且能使作業(yè)本干凈、整潔，不丟頁(yè)數(shù)和次數(shù)。二、存在的問(wèn)題首先，低年級(jí)學(xué)生做作業(yè)時(shí)候?qū)懽植灰?guī)范。錯(cuò)字、亂畫、亂寫的狀況還存在。如畫直線不用尺子、畫圓不用圓規(guī)，擦了寫，寫了擦，有的還撕下一半留一半，寫字大的大、小的小，不規(guī)范，什么顏色的筆都有等。其次，有些低年級(jí)教師布置作業(yè)較隨意，缺少計(jì)劃和目的性，缺乏創(chuàng)新性作業(yè)。如語(yǔ)文作業(yè)中看拼音寫漢字，每個(gè)字寫5遍、一個(gè)生字寫10遍、默寫古詩(shī)3遍、翻譯詩(shī)句的意思、選擇、連線等。數(shù)學(xué)作業(yè)口算題，應(yīng)用題太多，缺乏創(chuàng)新性。英語(yǔ)作業(yè)大部分是選擇、連詞成句、情景對(duì)話的抄寫等。這樣的結(jié)果是作業(yè)任務(wù)重。有些地方除書面作業(yè)外，還有課時(shí)練、一路領(lǐng)先等。如果這些作業(yè)能夠在課上完成，學(xué)生還能自己寫，如果寫不完，學(xué)生就可能在下課的時(shí)候抄其他同學(xué)的作業(yè)，這樣就沒(méi)有質(zhì)量可言，使學(xué)生喪失學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。長(zhǎng)此以往，學(xué)生就會(huì)出現(xiàn)厭學(xué)、輟學(xué)的狀況。再次，有的教師作業(yè)批改不及時(shí)。上星期的作業(yè)留到下星期了還是沒(méi)有批，尤其是學(xué)生的小作文更顯拖拉。作業(yè)是最能直接反應(yīng)師生的雙方情況的晴雨表，學(xué)生通過(guò)做作業(yè)，才能知道自己哪里掌握的不夠好。教師通過(guò)學(xué)生的作業(yè)，才能知道哪里還需要完善。最后，作業(yè)的激勵(lì)性評(píng)價(jià)不到位。有部分教師直接在作業(yè)上打?qū)μ?hào)、錯(cuò)號(hào)，再加上日期，不能及時(shí)準(zhǔn)確、全面地作出評(píng)價(jià)。三、針對(duì)農(nóng)村小學(xué)生的作業(yè)現(xiàn)狀提出建議（1）要讓學(xué)生養(yǎng)成良好的書寫習(xí)慣。學(xué)生作業(yè)的字跡一定要清楚、干凈和工整。教師要對(duì)作業(yè)的格式有非常明確、具體的要求。每篇作業(yè)字大小一致、筆的顏色一致，低年級(jí)用鉛筆，高年級(jí)用鋼筆。如果做到這些，學(xué)生的作業(yè)既美觀又規(guī)范，還能養(yǎng)成良好的寫字習(xí)慣和學(xué)習(xí)習(xí)慣。正如教育家陶行知先生曾說(shuō)：“播下一種習(xí)慣，收獲一種性格。”（2）作業(yè)要分層次留作業(yè)。教師布置作業(yè)時(shí)，一定要根據(jù)課程中的重難點(diǎn)設(shè)計(jì)一些有針對(duì)性的問(wèn)題，對(duì)學(xué)生進(jìn)行檢查。另外，小學(xué)生間也是存在較大差異性的，為了讓每一個(gè)學(xué)生都能得到全面發(fā)展，教師必須從實(shí)際出發(fā)，因人而異，設(shè)計(jì)一些最最基礎(chǔ)的習(xí)題和拓展延伸探究題。優(yōu)等生、中等生和后進(jìn)生的作業(yè)應(yīng)該是不一樣的，是有梯度的。優(yōu)等生要做一些拓展探究的題，開啟他的思維訓(xùn)練;中等生要做基礎(chǔ)的題;后進(jìn)生要做課本上的習(xí)題。（3）教師留作業(yè)時(shí)也應(yīng)該具有多樣性和創(chuàng)新性。作業(yè)的布置除了寫成書面作業(yè)外，低年級(jí)的學(xué)生還可以用聽、說(shuō)、讀、寫、表演等形式。如一年級(jí)語(yǔ)文教學(xué)中的拼音教學(xué)、生字教學(xué)，三年級(jí)英語(yǔ)教學(xué)中的情景對(duì)話等都可以在家里和父母一塊來(lái)做完。數(shù)學(xué)教學(xué)中的圖形題，可以讓學(xué)生在家里做好模型拿到學(xué)校，這樣學(xué)生就可以充分地動(dòng)起來(lái)。讓學(xué)生頭腦中的數(shù)形結(jié)合，思維才能活躍，才能激發(fā)學(xué)生的積極性和樂(lè)趣，不再討厭老師留的作業(yè)了。（4）及時(shí)批改，并使用一些激勵(lì)性評(píng)價(jià)。學(xué)生每次做完一次作業(yè)，教師要及時(shí)準(zhǔn)確批改。如果教師不及時(shí)，學(xué)生做錯(cuò)的題就可能被忘記，再去喚醒他們的知識(shí)再現(xiàn)，就耽誤了時(shí)間，絕對(duì)沒(méi)有趁熱打鐵的效果好。教師作業(yè)批改完后，對(duì)錯(cuò)的題、有共性的問(wèn)題，要及時(shí)講解，對(duì)個(gè)別問(wèn)題則單獨(dú)輔導(dǎo)。關(guān)于評(píng)價(jià)，每個(gè)學(xué)生都希望老師的表?yè)P(yáng)。所以，在批改時(shí)我們要通過(guò)評(píng)語(yǔ)去和他們溝通，去表?yè)P(yáng)他們，那么每一次作業(yè)學(xué)生就會(huì)是充滿著希望的等待。總之，作業(yè)是教師課堂教學(xué)的有效延伸。因此，我們要科學(xué)、合理、創(chuàng)新地設(shè)計(jì)作業(yè)，有目的地留作業(yè)，才能使作業(yè)收到實(shí)效，從而激發(fā)起學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和熱愛(ài)學(xué)校的感情。傳統(tǒng)的美術(shù)課堂作業(yè)呈現(xiàn)模式一般為老師檢測(cè)，隨堂講評(píng)，其作業(yè)效果難以彰顯課程的最大優(yōu)勢(shì)，美術(shù)作業(yè)不同于其他科目，其具有很強(qiáng)的表現(xiàn)性、傳達(dá)性和感染性。發(fā)現(xiàn)教材有許多創(chuàng)新的課堂方式，本質(zhì)上已經(jīng)超越了一般意義上的作業(yè)評(píng)價(jià)模式，是將作業(yè)的個(gè)體表現(xiàn)轉(zhuǎn)化或再造為整體、全局、集體性的創(chuàng)作活動(dòng)，從美術(shù)課堂作業(yè)流程的再造進(jìn)行研究，既能對(duì)教學(xué)進(jìn)行效果優(yōu)化，又能提高教學(xué)效率。一、研究解讀——再造目的需明確新課標(biāo)指出藝術(shù)學(xué)習(xí)具有應(yīng)用價(jià)值，學(xué)生在課堂中獲得藝術(shù)學(xué)習(xí)的能力和經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生畢生受益，使他們的生活變得豐富多彩，富有情趣，使他們的學(xué)習(xí)變的更有效率，更具有創(chuàng)造性。新課程標(biāo)準(zhǔn)下的許多教材都屬于設(shè)計(jì)·應(yīng)用領(lǐng)域。美術(shù)作業(yè)的完成表象表示一個(gè)單元或一節(jié)課接近尾聲。從本質(zhì)上看就是學(xué)生參與學(xué)習(xí)的具體方式和教學(xué)互動(dòng)的具體內(nèi)容的結(jié)合。其中的價(jià)值為：（1）驗(yàn)證學(xué)習(xí)效果。（2）共同參與，取長(zhǎng)補(bǔ)短，共同表現(xiàn)，體會(huì)感受。（3）陶冶情操，快樂(lè)學(xué)習(xí)。美術(shù)作業(yè)的完成隱性則表示這個(gè)單元這節(jié)課可以繼續(xù)升華，從而蘊(yùn)含著再創(chuàng)造的可能。它不但改變了作業(yè)呈現(xiàn)的效果，甚至改變一節(jié)課的課堂教學(xué)流程。二、量體裁衣——再造方法需切準(zhǔn)并不是所有的美術(shù)課作業(yè)都能夠進(jìn)行創(chuàng)意性再造呈現(xiàn)，美術(shù)課作業(yè)呈現(xiàn)的再造性要素，是作業(yè)之間必須存在互相關(guān)聯(lián)的內(nèi)在秩序或者是等同性條件，這些秩序或條件可以總結(jié)為如下幾點(diǎn)：1.再造主題相同課堂作業(yè)一般都會(huì)按照課程的要求布置相對(duì)一致的作業(yè)內(nèi)容，一些自由度高的作業(yè)形式展現(xiàn)出來(lái)往往會(huì)弱化主題的同一性，作業(yè)完成之后的視覺(jué)效果差就很難再合成呈現(xiàn)。這并不是說(shuō)去限制學(xué)生的表現(xiàn)風(fēng)格，而是要求作業(yè)內(nèi)容上的相對(duì)一致性。例如《表情豐富的臉》一課借助一個(gè)載體，利用一張表情面具，讓學(xué)生將表情豐富的臉展示出來(lái)！《東南西北》一課讓學(xué)生將制作好的東南西北拼成一個(gè)立體造型。《有趣的臉譜》一課利用臉譜墻的形式進(jìn)行展示！2.再造模數(shù)固定所謂模數(shù)就是指作業(yè)的外觀尺寸的相同性或等比性，無(wú)論是平面性作業(yè)還是立體制作的作業(yè)都需要外輪廓尺寸具有完全相同的比例、大小、這樣才具有組織重構(gòu)，整體再造的可能性。例如《美麗的盤子》這節(jié)課，教師用同尺寸相當(dāng)?shù)谋P子指導(dǎo)學(xué)生去繪畫、制作，再將學(xué)生的的作業(yè)進(jìn)行有組織的重構(gòu)，從而提高孩子的創(chuàng)作欲望?！恫势祜h飄》《裝飾紋樣》這兩節(jié)課利用不同色彩相同尺寸的色卡讓學(xué)生進(jìn)行繪畫，再重構(gòu)展示。3.再造材料統(tǒng)一作業(yè)制作材料的統(tǒng)一性或同類性也是再造、合成的條件之一。所謂統(tǒng)一性，就是指作業(yè)主要制作材料的相同性或類似要求，只要這樣才能夠?qū)⒁欢〝?shù)量的單個(gè)作業(yè)有機(jī)地組合一起。如第11冊(cè)《有趣的臉譜》一課，以石頭、葫蘆瓢、酒瓶等多種不同材質(zhì)進(jìn)行表現(xiàn)，并將這三種材質(zhì)分別進(jìn)行組合。從而產(chǎn)生不同的效果。4.再造開放和兼容美術(shù)課堂作業(yè)在呈現(xiàn)過(guò)程中的再造性發(fā)展，需要每一幅單獨(dú)作業(yè)的狀態(tài)都具有良好的開放性與兼容性。要使全班同學(xué)自由完成的作業(yè)具有開放性和兼容性，就需要教師在進(jìn)行作業(yè)設(shè)計(jì)時(shí)，有必要加入適度的限制性條件，因?yàn)橄拗菩詶l件是一種共有關(guān)系，這種共有關(guān)系是兼容的基礎(chǔ)，例如限制一定的形態(tài)或色彩、使用的工作、加工的工藝，等等。限制性條件的目的是使全班每一位同學(xué)完成的作業(yè)具有某些共同性或相似性。例如《圖形拼擺》一課限制了學(xué)生的色彩選擇和大小選擇?！妒掷值暮门笥选芬徽n利用背景大圖限制學(xué)生的作業(yè)制作大小和展示形態(tài)。三、優(yōu)選活用——再造的形式需恰當(dāng)（一）美術(shù)作業(yè)再造的類型性在長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中，美術(shù)教師在布置作業(yè)時(shí)一般只是布置同一個(gè)作業(yè)題目，從難度上講，有的學(xué)生感到難度適中，有的學(xué)生感到較為困難，有的學(xué)生感到太容易，這樣，學(xué)有余力的學(xué)生得不到進(jìn)一步的發(fā)展提高，學(xué)習(xí)積極性、主動(dòng)性受到壓抑；而一些基礎(chǔ)差的學(xué)生，作業(yè)練習(xí)要求對(duì)于這部分的學(xué)生來(lái)說(shuō)可能過(guò)高，日積月累使信心受挫，學(xué)習(xí)興趣逐漸降低。這足以說(shuō)明我們應(yīng)從尊重學(xué)生的差異性出發(fā)，分層次布置不同難度的作業(yè)，這樣有助于全方位來(lái)滿足不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，有助于全面提高教學(xué)質(zhì)量。（二）美術(shù)作業(yè)再造的構(gòu)成性從《適合的紋樣》《圖形拼擺》等的課文中發(fā)現(xiàn)，這些課程實(shí)際運(yùn)用了一些技術(shù)性的方法，就是把學(xué)生單個(gè)完成的作業(yè)作為構(gòu)成性單元要素，并選擇一定的方法和結(jié)構(gòu)形式，使這些獨(dú)立作業(yè)形成一定數(shù)量的“單元”，再組合成一幅大尺度的形式。這種單元數(shù)量重復(fù)組合的方式可以很快的呈現(xiàn)出意想不到的效果，本質(zhì)上將呈現(xiàn)轉(zhuǎn)化為深度加工過(guò)程，將課堂作業(yè)的展示轉(zhuǎn)化為教學(xué)內(nèi)容升華與再造性發(fā)展。（三）美術(shù)作業(yè)再造的空間性作業(yè)呈現(xiàn)再造性發(fā)展，能將其變化成更為豐富的空間形式。在《茶壺制作》《美麗的盤子》《家鄉(xiāng)的橋》等課中，全班同學(xué)的單個(gè)作業(yè)被積累構(gòu)造成不同的空間形式，它極大的強(qiáng)化了同學(xué)們對(duì)構(gòu)成設(shè)計(jì)空間變化的認(rèn)識(shí)，使他們懂得了同一物體，運(yùn)用空間再造性呈現(xiàn)的多種可能。明白數(shù)量與重復(fù)對(duì)空間形態(tài)的意義。（四）美術(shù)作業(yè)再造的集成性所有的作業(yè)展示都具有集成性的空間作業(yè)效果，但過(guò)去的常規(guī)展示方法既缺乏創(chuàng)意，也缺少視覺(jué)沖擊力。如果將他們富有創(chuàng)意的集成組織，宏大呈現(xiàn)，就會(huì)大大的增加作業(yè)展示的沖擊力和趣味性。集成性發(fā)展的重要條件是盡可能的將作業(yè)的尺度或材料上的某些特征削弱，以便讓每張作業(yè)快速地融入集成的群體中。在《表情豐富的臉》等課程中，單一作業(yè)一但加入到群體之后就很難再找到，它完全變成了全班的集體創(chuàng)作活動(dòng)，形成意想不到的課堂效果和氛圍，成為整堂課的高潮。這種方法其最具有教育價(jià)值的部分，實(shí)際已經(jīng)超越了作業(yè)本身，它既讓學(xué)生親自參與和體驗(yàn)集體的力量，也能夠完全消解美術(shù)課中因?yàn)閭€(gè)體差異而給個(gè)別學(xué)生造成的心理不適?？傊?，從根本上改變美術(shù)課的呈現(xiàn)形式，它對(duì)教師探究設(shè)計(jì)·應(yīng)用類型課的教學(xué)結(jié)構(gòu)與方法起到不容忽視的作用，它優(yōu)化教學(xué)效果，改變教學(xué)流程，讓美術(shù)教學(xué)更具有效性。圖論及其算法張莉TongjiUniversity§1最小支撐樹問(wèn)題基本概念1.樹:無(wú)回路的無(wú)向連通圖2.葉:樹中度數(shù)為1的頂點(diǎn)3.森林:連通分支大于1,且每個(gè)連通分支均為樹的非連通圖最小生成樹1.例1:在偏遠(yuǎn)地區(qū),可以通過(guò)公路連接分散的村落,但沒(méi)有任何電話服務(wù)。我們希望鋪設(shè)電話線路,使得每一對(duì)村落都可以通過(guò)電話線連接(不必是直接的)。沿著現(xiàn)存的公路鋪設(shè)電話線最便宜,問(wèn)沿著哪些公路鋪設(shè)電話線,可以確保每一對(duì)村落被連接,且電話線的總長(zhǎng)度達(dá)到最小電話線總長(zhǎng)度可能與安裝總成本成正比)?解:尋找最小生成樹例2:假設(shè)在一個(gè)沒(méi)有良好高速公路的偏遠(yuǎn)地區(qū)涌現(xiàn)了幾個(gè)城市,理想的是建筑足夠多的高速公路,使得城市之間或者直接通過(guò)高速公路往來(lái),或者可以通過(guò)去其他城市來(lái)實(shí)現(xiàn)彼此的互相往來(lái)現(xiàn)在我們希望成本最小化注:(1)成本最小化即:可以實(shí)現(xiàn)城市間的互通,同時(shí)每條高速路都不浪費(fèi)(即去掉后就不能互通了)(2)不允許高速路在所研究的城市以外的某點(diǎn)處連接最短網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題如何用最短的線路將三部電話連起來(lái)?B此問(wèn)題可抽象為設(shè)△ABC為等邊三角形,,連接三頂點(diǎn)的路線(稱為網(wǎng)絡(luò))。這種網(wǎng)絡(luò)有許多個(gè)其中最短路線者顯然是二邊之和(如ABUAC)

但若增加一個(gè)周轉(zhuǎn)站(新點(diǎn)P),連接4點(diǎn)的新網(wǎng)絡(luò)的最短路線為PA+PB+PC。最短新路徑之長(zhǎng)N比原來(lái)只連三點(diǎn)的最短路徑O要短。冷這樣得到的網(wǎng)絡(luò)不僅比原來(lái)節(jié)省材料,而且穩(wěn)定性也更好。斯坦納(Steiner)最小樹是可以在給定的點(diǎn)之外再增加若干個(gè)點(diǎn)(稱為斯坦納點(diǎn)),然后將所有這些點(diǎn)連起來(lái)。如果不允許增加任何額外的點(diǎn)作為網(wǎng)絡(luò)的頂點(diǎn),這種最短網(wǎng)絡(luò)稱為最小生成樹在前面的例子中Steiner最小樹的長(zhǎng)為√3最小生成樹的長(zhǎng)為2小樹長(zhǎng)與最小生成樹之長(zhǎng)的比值的最小值是多1968年貝爾實(shí)驗(yàn)室波雷克(Pollak)和研究員吉爾伯(Gilbert提出如下猜想:平面上任意n點(diǎn)集,斯納最Steiner猜想起源于在美國(guó)貝爾電話公司發(fā)生的