第講數(shù)學(xué)在機(jī)械中的簡(jiǎn)單應(yīng)用教學(xué)課件

第講數(shù)學(xué)在機(jī)械中的簡(jiǎn)單應(yīng)用56、死去何所道，托體同山阿。57、春秋多佳日，登高賦新詩。58、種豆南山下，草盛豆苗稀。晨興理荒穢，帶月荷鋤歸。道狹草木長(zhǎng)，夕露沾我衣。衣沾不足惜，但使愿無違。59、相見無雜言，但道桑麻長(zhǎng)。60、迢迢新秋夕，亭亭月將圓。第講數(shù)學(xué)在機(jī)械中的簡(jiǎn)單應(yīng)用第講數(shù)學(xué)在機(jī)械中的簡(jiǎn)單應(yīng)用56、死去何所道，托體同山阿。57、春秋多佳日，登高賦新詩。58、種豆南山下，草盛豆苗稀。晨興理荒穢，帶月荷鋤歸。道狹草木長(zhǎng)，夕露沾我衣。衣沾不足惜，但使愿無違。59、相見無雜言，但道桑麻長(zhǎng)。60、迢迢新秋夕，亭亭月將圓。第3講---數(shù)學(xué)在機(jī)械中的簡(jiǎn)單應(yīng)用一、曲柄存在的條件二、極位夾角和搖桿擺動(dòng)角的計(jì)算三、V帶傳動(dòng)的形式及使用特點(diǎn)21.熟練掌握四桿機(jī)構(gòu)中曲柄存在的條件；2.熟練掌握利用余弦定理求曲柄搖桿機(jī)構(gòu)中極位夾角和搖桿的擺動(dòng)角；3.掌握V帶傳動(dòng)中的膠帶幾何長(zhǎng)度和小帶輪包角的計(jì)算。學(xué)習(xí)目標(biāo)3(2)平面四桿機(jī)構(gòu)的有關(guān)名詞：機(jī)架－－固定件AB連桿－－不與機(jī)架直接連接CD連架桿－與機(jī)架直接連接AD、BC曲柄－－能做整圈回轉(zhuǎn)的連架桿AD搖桿－－只能在小于3600內(nèi)擺動(dòng)的連架桿BC曲柄搖桿機(jī)構(gòu)－－兩連架桿中一個(gè)為曲柄(AD),另一個(gè)為搖桿(BC)的四桿機(jī)構(gòu)67891011121314151617181920212223242526272829(3)極位夾角當(dāng)主動(dòng)桿、搖桿分別擺到兩個(gè)極限位置時(shí)，從動(dòng)曲柄與連桿也相應(yīng)共線，曲柄的兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置所夾的銳角稱為極位夾角。（如圖中的角α）(4)死點(diǎn)位置當(dāng)平面鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)的從動(dòng)曲柄轉(zhuǎn)至該點(diǎn)時(shí)，使得機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)不動(dòng)或出現(xiàn)運(yùn)動(dòng)不確定現(xiàn)象，機(jī)構(gòu)的這種位置稱為死點(diǎn)位置。（如圖中的點(diǎn)D1、D2）30(5)

搖桿的擺動(dòng)夾角當(dāng)曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的曲柄與連桿兩次共線時(shí)，搖桿在兩個(gè)極限位置之間的夾角，稱為搖桿的擺動(dòng)夾角。（如圖中的角θ）31如圖所示，圖中的桿1和3是連架桿，桿4是機(jī)架，桿2是連桿。連架桿1能否成為曲柄，則取決于機(jī)構(gòu)中各桿的長(zhǎng)度關(guān)系和選擇哪個(gè)構(gòu)件為機(jī)架有關(guān)。即要使連架桿成為能整周轉(zhuǎn)動(dòng)的曲柄，各桿必須滿足一定的長(zhǎng)度條件，這就是所謂的曲柄存在的條件。下面我們就來推導(dǎo)一下曲柄存在的條件2、曲柄存在的條件32如右圖所示的曲柄搖桿機(jī)構(gòu)，其中AB為曲柄，BC為連桿，CD為搖桿，AD為機(jī)架，它們的長(zhǎng)度分別用a、b、c、d來表示，在AB轉(zhuǎn)動(dòng)一周中，曲柄AB與機(jī)架AD兩次共線。由圖形可知：33當(dāng)連桿在點(diǎn)時(shí)，形成所以有即------①34當(dāng)連桿在點(diǎn)時(shí)，形成所以有

得------②即得即

-------③35聯(lián)立①②③并化簡(jiǎn)為④⑤⑥將式④、⑤、⑥分別兩兩相加，則得即AB桿為最短桿。36在曲柄搖桿機(jī)構(gòu)中，要使連架桿AB為曲柄，它必須是四桿中的最短桿，且最短桿與最長(zhǎng)桿長(zhǎng)度之和應(yīng)小于其余兩桿長(zhǎng)度之和，考慮到更一般的情形，可將鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)曲柄存在條件概括為：(1)連架桿與機(jī)架中必有一個(gè)最短桿；(2)最短桿與最長(zhǎng)桿長(zhǎng)度之和必小于或等于其余兩桿長(zhǎng)度之和。上述兩條件必須同時(shí)滿足，否則機(jī)構(gòu)中無曲柄存在所以曲柄存在的條件為371.若鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)中最短桿長(zhǎng)度與最長(zhǎng)桿長(zhǎng)度之和小于或等于其余兩桿長(zhǎng)度之和，則可能有以下三種情況：①以最短桿的相鄰桿為機(jī)架，則最短桿為曲柄，而與機(jī)架相連的另一桿為搖桿，則該機(jī)構(gòu)為曲柄搖桿機(jī)構(gòu)。②以最短桿為機(jī)架，則其相鄰兩桿均為曲柄，故該機(jī)構(gòu)為雙曲柄機(jī)構(gòu)。③以最短桿的相對(duì)桿為機(jī)架，則無曲柄存在，因此該機(jī)構(gòu)為雙搖桿機(jī)構(gòu)。2.若鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)中最短桿長(zhǎng)度與最長(zhǎng)桿長(zhǎng)度之和大于其余兩桿長(zhǎng)度之和，則無論以哪一桿為機(jī)架，均為雙搖桿機(jī)構(gòu)。根據(jù)曲柄條件，還可作如下重要推論38曲柄搖桿機(jī)構(gòu)：取最短桿的鄰桿為機(jī)架雙搖桿機(jī)構(gòu)：取最短桿的對(duì)桿為機(jī)架

最短桿長(zhǎng)度與最長(zhǎng)桿長(zhǎng)度之和大于其余兩桿長(zhǎng)度之和雙曲柄機(jī)構(gòu)：取最短桿為機(jī)架即:39解：因?yàn)锳B桿最長(zhǎng)，AD桿最短AB+AD=450+200=650mm，BC+CD=400+300=700mm①要使該機(jī)構(gòu)是雙曲柄機(jī)構(gòu)，在滿足最短桿與最長(zhǎng)桿之和小于其余兩桿之和的情況下，還必須以最短桿為機(jī)架，故以AD桿為機(jī)架；300400450200所以四桿尺寸滿足最短桿與最長(zhǎng)桿之和小于其余兩桿之和。例1:在鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)中，各桿件尺寸分別為AB=450mm,BC=400mm,CD=300mm,AD=200mm。①若以

為機(jī)架，則為雙曲柄機(jī)構(gòu)；②若以

為機(jī)架，則為曲柄搖桿機(jī)構(gòu)；③若以

為機(jī)架，則為雙搖桿機(jī)構(gòu)。40300400450200例1:在鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)中，各桿件尺寸分別為AB=450mm,BC=400mm,CD=300mm,AD=200mm。①若以

為機(jī)架，則為雙曲柄機(jī)構(gòu)；②若以

為機(jī)架，則為曲柄搖桿機(jī)構(gòu)；③若以

為機(jī)架，則為雙搖桿機(jī)構(gòu)。解：②要使該機(jī)構(gòu)為曲柄搖桿機(jī)構(gòu)，在滿足最短桿與最長(zhǎng)桿之和小于其余兩桿之和的情況下，還必須以最短桿的相鄰桿為機(jī)架，即以AB或CD為機(jī)架；③要使該機(jī)構(gòu)為雙搖桿機(jī)構(gòu)，在滿足最短桿與最長(zhǎng)桿之和小于其余兩桿之和的情況下，還必須以最短桿的相對(duì)桿為機(jī)架，即以BC桿為機(jī)架；41例2：已知如圖所示鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)ABCD中，BC=50mm,CD=35mm,AD=30mm，取AD為機(jī)架，（1)如果該機(jī)構(gòu)能成為曲柄搖桿機(jī)構(gòu)，且AB是曲柄，求桿AB的取值范圍；解：（1）AD為機(jī)架，要使該機(jī)構(gòu)為曲柄搖桿機(jī)構(gòu)，AB為曲柄，必須滿足最短桿與最長(zhǎng)桿之和小于或等于其余兩桿之和，且以最短桿的相鄰桿為機(jī)架，最短桿為曲柄，即AB桿最短。其中已知BC桿為最長(zhǎng)桿,所以有355030？42解：（2）AD為機(jī)架，要使該機(jī)構(gòu)成為雙曲柄機(jī)構(gòu)，應(yīng)滿足必須滿足最短桿與最長(zhǎng)桿之和小于或等于其余兩桿之和，最短桿為機(jī)架。所以AD桿最短，則最長(zhǎng)桿可能為BC桿，也可能是AB桿，也有可能一樣長(zhǎng)。例2：已知如圖所示鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)ABCD中，BC=50mm,CD=35mm,AD=30mm，取AD為機(jī)架，（2)如果該機(jī)構(gòu)能成為雙曲柄機(jī)構(gòu)，求桿AB的取值范圍；355030？①若AB桿為最長(zhǎng)桿,有AB+AD≤BC+CD,所以有AB≤55mm,即50mm<AB≤55mm②若BC桿為最長(zhǎng)桿,有BC+AD≤AB+CD，所以有AB≥45mm,即45mm≤AB<50mm

所以，若該機(jī)構(gòu)為雙曲柄桿構(gòu)，則必須滿足45mm≤AB≤55mm43例2：已知如圖所示鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)ABCD中，BC=50mm,CD=35mm,AD=30mm，取AD為機(jī)架（3）如果該機(jī)構(gòu)能成為雙搖桿桿構(gòu)，求桿AB的取值范圍；解：（3）AD為機(jī)架，不滿足以最短桿的相對(duì)桿為機(jī)架。要使該機(jī)構(gòu)為雙搖桿機(jī)構(gòu)，則最短桿與最長(zhǎng)桿之和應(yīng)大于另外二桿之和?，F(xiàn)在問題的關(guān)鍵為誰是最短、最長(zhǎng)桿？①若AB桿最短，則最長(zhǎng)桿為BC,有AB+BC>AD+CD,所以有AB>15mm②若AD桿最短，最長(zhǎng)桿可能是BC桿，也可能是AB桿，當(dāng)BC桿最長(zhǎng)時(shí),有AD+BC>AB+CD,所以有AB<45mm

當(dāng)AB桿最長(zhǎng)時(shí),有AD+AB>BC+CD,所以有AB<55mm綜上分析：AB桿的取值范圍為：15mm<AB<45mm355030？44先回顧一下余弦定理：在△ABC中或二、極位夾角和搖桿擺動(dòng)角和數(shù)學(xué)計(jì)算45如右圖所示，根據(jù)余弦定理有所以有同理可得4647極位夾角α的具體計(jì)算為：搖桿擺動(dòng)角θ的具體計(jì)算為：48例3：某磨床采用如圖所示的四桿機(jī)構(gòu)，已知曲柄長(zhǎng)r=80mm，連桿長(zhǎng)L=310mm，擺桿長(zhǎng)b=150mm，曲柄轉(zhuǎn)動(dòng)中心到擺桿中心的距離H=325mm，試求：（1）曲柄轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)，擺桿擺動(dòng)最大角度θ有多大？（2）極位夾角α多大？這里要用到余弦定理和反三角函數(shù)的記法以及科學(xué)型計(jì)算器(即攜帶函數(shù)功能的計(jì)算器,現(xiàn)在的高中生曾用過的計(jì)算器也可)49解:由《機(jī)械基礎(chǔ)》知識(shí)畫出其相應(yīng)的數(shù)學(xué)圖形以便于計(jì)算50科學(xué)型計(jì)算器上的按鍵順序?yàn)閟hiftcos((325x2+150x2-390x2)÷(2×325×150))-。,?shiftcos((325x2+150x2-230x2)÷(2×325×150))=51電腦計(jì)算器上的按鍵順序?yàn)?(325x2+150x2-390x2)÷(2×325×150))-鉤上Hyp---再點(diǎn)dmscos((325x2+150x2-230x2)÷(2×325×150))=鉤上Invcos鉤上Inv5253科學(xué)型計(jì)算器上的按鍵順序?yàn)閟hiftcos((325x2+230x2-150x2)÷(2×325×230))-。,?shiftcos((325x2+390x2-150x2)÷(2×325×390))=54電腦計(jì)算器上的按鍵順序?yàn)?(325x2+230x2-150x2)÷(2×325×230))-鉤上Hyp---再點(diǎn)dmscos((325x2+390x2-150x2)÷(2×325×390))=鉤上Invcos鉤上Inv551、如圖所示鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)中，各構(gòu)件長(zhǎng)度分別為AB=28mm，BC=52mm，CD=50mm，AD=72mm。求該機(jī)構(gòu)的極位夾角α、搖桿CD的最大擺角θ。練習(xí):562、在圖示的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)中。已知偏距e=10mm，曲柄長(zhǎng)a=20mm且為主動(dòng)件，連桿長(zhǎng)b=60mm，試求出極位夾角α和滑塊的行程。練習(xí):573、如圖所示的一曲柄搖桿機(jī)構(gòu)，已知DC′=DC=32mm,B′C′=BC=43mm,AB=A′B′=12mm，試根據(jù)圖示尺寸計(jì)算搖桿3擺動(dòng)的最大角度θ和極位夾角α。練習(xí):584、如圖所示為一種常用的四桿機(jī)構(gòu)，AB為曲柄，可繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)；BC是連桿；CD是擺桿。當(dāng)A、B、C三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，是擺桿擺動(dòng)方向改變的轉(zhuǎn)折位置，B1AC1連線與AB2C2連線間的夾角θ=α1-α2。設(shè)曲柄長(zhǎng)r=50mm，連桿長(zhǎng)L=350mm，擺桿長(zhǎng)R=100mm，曲柄轉(zhuǎn)動(dòng)中心A到擺桿擺動(dòng)中心D的距離H=300mm，求擺桿的擺動(dòng)角φ。練習(xí):59三、平帶傳動(dòng)中的數(shù)學(xué)計(jì)算在《機(jī)械基礎(chǔ)》中出現(xiàn)了平帶傳動(dòng)的膠帶幾何長(zhǎng)度和小帶輪包角的計(jì)算。眾所周知，平帶傳動(dòng)形式有三種：開口式傳動(dòng)、交叉式傳動(dòng)和半交叉式傳動(dòng).平帶傳動(dòng)形式和有關(guān)參數(shù)計(jì)算如表所示.60開口式簡(jiǎn)圖小帶輪包角膠帶幾何長(zhǎng)度61交叉式簡(jiǎn)圖小帶輪包角膠帶幾何長(zhǎng)度62半交叉式簡(jiǎn)圖小帶輪包角膠帶幾何長(zhǎng)度63交叉式簡(jiǎn)圖小帶輪包角膠帶幾何長(zhǎng)度64下面來推導(dǎo)開口式的小帶輪包角和膠帶幾何長(zhǎng)度：、由平面幾何得，由于角θ很小，故如圖所示小帶輪包角為大帶輪的包角為兩輪的中心距為大輪、小輪的直徑分別為和65上式中的角θ為弧度制，化為角度制為或代入得66再來推導(dǎo)膠帶幾何長(zhǎng)度，膠帶的幾何長(zhǎng)度為劣弧AD、優(yōu)弧BC、弦AB及弦CD的長(zhǎng)度之和，即為：當(dāng)θ很小時(shí)，67解：初算膠帶長(zhǎng)度為

小帶輪包角為：

所以合用68在實(shí)際工作中，小帶輪的包角α不宜過小，以免降低傳動(dòng)的工作能力.一般要求.例4：設(shè)計(jì)某機(jī)床上電動(dòng)機(jī)與主軸箱的V帶傳動(dòng)，三班制工作，開口式傳動(dòng).若取小帶輪的基準(zhǔn)直徑為d1=140mm，大帶輪的基準(zhǔn)直徑為d2=280mm，初選中心距為a=800mm，實(shí)際中心距a=7