下學期九年級第二講圓二

第二講圓（二）虹口區(qū)教師進修學院朱麗霞【知識框架】圓的有關性質直線與圓的位置關系圓圓與圓的位置關系正多邊形與圓關系【知識框架】直線與圓的位置關系圓與圓的位置關系Od相離如果圓的半徑是r，圓心到直線的距離為d，①相離

d>r；【知識框架】直線與圓的位置關系圓與圓的位置關系Od相切如果圓的半徑是r，圓心到直線的距離為d，①相離

d>r；②相切

d=r；【知識框架】直線與圓的位置關系圓與圓的位置關系Od相交如果圓的半徑是r，圓心到直線的距離為d，①相離

d>r；②相切

d=r；③相交

d<r；相離相切相交【知識框架】相離直線與圓的位置關系相切相交圓與圓的位置關系Od相切經過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線。圓的切線判定定理【知識框架】相離圓的切線判定定理直線與圓的位置關系相切相交圓與圓的位置關系d外離O1RO2r相離相切相交如果圓心距為d兩圓半徑是R、r，(R>r)①外離

d

>R+r；【知識框架】相離直線與圓的位置關系相切相交圓與圓的位置關系d外切O1RO2r相離相切相交①外離

d

>R+r；②外切

d

=R+r；圓的切線判定定理如果圓心距為d兩圓半徑是R、r，【知識框架】相離直線與圓的位置關系相切相交圓與圓的位置關系d相交O1RO2r相離相切相交圓的切線判定定理如果圓心距為d兩圓半徑是R、r，①外離

d

>R+r；②外切

d

=R+r；③相交

∣R-r∣<d

<

R+r；O1O2【知識框架】相離直線與圓的位置關系相切相交圓與圓的位置關系Rd

r內切相離相切相交①外離

d

>R+r；②外切

d

=R+r；③相交

∣R-r∣<d

<

R+r；④內切

d

=∣R-r∣；圓的切線判定定理如果圓心距為d兩圓半徑是R、r，OO1

2【知識框架】相離直線與圓的位置關系相切相交圓與圓的位置關系Rd

r內含相離相切相交①外離

d

>R+r；②外切

d

=R+r；③相交

∣R-r∣<d

<

R+r；④內切

d

=∣R-r∣；⑤內含

0≤d

<

∣R-r∣

；圓的切線判定定理如果圓心距為d兩圓半徑是R、r，OO1

2【知識框架】相離直線與圓的位置關系相切相交圓與圓的位置關系Rd

r內含相離相切相交①外離

d

>R+r；②外切

d

=R+r；③相交

∣R-r∣<d

<

R+r；④內切

d

=∣R-r∣；⑤內含

0≤d

<

∣R-r∣

；d=0時，同心圓圓的切線判定定理如果圓心距為d兩圓半徑是R、r，OO1

2【知識框架】相離直線與圓的位置關系相切相交圓與圓的位置關系Rd

r內含相離相切相交①外離

d

>R+r；②外切

d

=R+r；③相交

∣R-r∣<d

<

R+r；④內切

d

=∣R-r∣；⑤內含

0≤d

<

∣R-r∣

；d=0時，同心圓外

內離

含外

內切

切圓的切線判定定理【知識框架】相離直線與圓的位置關系相切相交圓與圓的位置關系相離相切相交外

內離

含外

內切

切兩圓連心線的性質O1O2相切兩圓的連心線經過切點。P外切O1O2P內切圓的切線判定定理【知識框架】相離直線與圓的位置關系相切相交圓與圓的位置關系相離相切相交外

內離

含外

內切

切兩圓連心線的性質相切兩圓的連心線經過切點。相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。O1O2BA圓的切線判定定理例1（1）下列說法中，正確的是

（

）

A．圓心到和圓有兩個公共點的直線的距離小于圓的半徑

B．直線l上一點到圓心的距離等于半徑，則l和圓有一個公共點C．圓的切線只有一條

D．圓心到線段的距離小于半徑，那么線段與圓有兩個交點【典型例題講解】

【基礎題】例1（1）下列說法中，正確的是

（

）A．圓心到和圓有兩個公共點的直線的距離小于圓的半徑B．直線l上一點到圓心的距離等于半徑，則l和圓有一個公共點C．圓的切線只有一條D．圓心到線段的距離小于半徑，那么線段與圓有兩個交點正確，和圓有兩個公共點的直線與圓的位

置關系是相交，因此圓心到直

線的距離小于

圓的半徑。例1（1）下列說法中，正確的是

（的直線的距A．圓心到和圓有兩個公共點

離小于圓的半徑

B．直線l上一點到圓心的距離等于半徑，則l和圓有一個公共點C．圓的切線只有一條D．圓心到線段的距離小于半錯徑誤，

么線段與圓有兩個交點圓心到直線l之間的距離等于半徑，那么直線與圓相切，ABl垂線段的）長度注意：點到直線的距離O例1（1）下列說法中，正確的是

（的直線的距OA因為直線l上一點到圓心的距離等于半徑，此時l和圓有一個或兩個公共點A．圓心到和圓有兩個公共點

離小于圓的半徑

B．直線l上一點到圓心的距離等于半徑，則l和圓有一個公共點C．圓的切線只有一條D．圓心到線段的距離小于半錯徑誤，

么線段與圓有兩個交點圓心到直線l之間的距離等于半徑，那么直線與圓相切.注意：點到直線的距離與B垂線段的）長度l直線上的點到點的距離的區(qū)別OPl經過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線。例1（1）下列說法中，正確的是

（

）A．圓心到和圓有兩個公共點的直線的距離小于圓的半徑

B．直線l上一點到圓心的距離等于半徑，則l和圓有一個公共點

C．圓的切線只有一條

D．圓心到線段的距離小于半徑，那么線段與圓有兩個交點錯誤，圓的切線可以有無數(shù)條。例1（1）下列說法中，正確的是

（

）A．圓心到和圓有兩個公共點的直線的距離小于圓的半徑

B．直線l上一點到圓心的距離等于半徑，則l和圓有一個公共點

C．圓的切線只有一條

D．圓心到線段的距離小于半徑，那么線段與圓有兩個交點錯誤，圓心到直線的距離小于半徑，那么直線與圓有兩個交點；圓心到線段的距離小于半徑，那么線段與圓有一個或兩個交點或沒有交點。例1（1）下列說法中，正確的是

（

）OABA．圓心到和圓有兩個公共點的直線的距離小于圓的半徑

B．直線l上一點到圓心的距離等于半徑，則l和圓有一個公共點

C．圓的切線只有一條

D．圓心到線段的距離小于半徑，那么線段與圓有兩個交點錯誤，圓心到直線的距離小于半徑，那么直線與圓有兩個交點；【說明】相離相切相交圖形OdO

dO

dd與r的關系d>rd=rd<r公共點個數(shù)012公共點名稱切點交點直線的名稱切線割線（拓展2）例1（2）下列說法中，正確的是

(

)A．若直線與圓有一個交點則直線是圓的切線

B．經過半徑的端點且垂直于半徑的直線是圓的切線

C．和半徑垂直的直線是圓的切線

D．到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線。例1（2）下列說法中，正確的是

(

)A．若直線與圓有一個交點則直線是圓的切線

B．經過半徑的端點且垂直于半徑的直線是圓的切線

C．和半徑垂直的直線是圓的切線

D．到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線。錯誤，要強調有唯一公共點例1（2）下列說法中，正確的是

(

)A．若直線與圓有一個交點則直線是圓的切線

B．經過半徑的端點且垂直于半徑的直線是圓的切線

C．和半徑垂直的直線是圓的切線

D．到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線。錯誤，半徑的外端例1（2）下列說法中，正確的是

(

)A．若直線與圓有一個交點則直線是圓的切線

B．經過半徑的端點且垂直于半徑的直線是圓的切線

C．和半徑垂直的直線是圓的切線

D．到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線。錯誤，要加一個條件：經過半徑的外端例1（2）下列說法中，正確的是

(

)A．若直線與圓有一個交點則直線是圓的切線

B．經過半徑的端點且垂直于半徑的直線是圓的切線

C．和半徑垂直的直線是圓的切線

D．到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線。正確【說明】●切線的定義：直線和圓有唯一公共點時，這條直線是圓的切線定理：到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；●切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線。例1（3）下列說法中，正確的是

(

)A．沒有公共點的兩圓叫做兩圓外離

B．相切兩圓的圓心必經過切點

C．相交兩圓的交點關于連心線對稱

D．若圓O1、圓O2的半徑為R、r，圓心距為d，當兩圓同心時R-r>d例1（3）下列說法中，正確的是(

)A．沒有公共點的兩圓叫做兩圓外離

B．相切兩圓的圓心必經過切點

C．相交兩圓的交點關于連心線對稱1

2當兩圓同心時R-r>dD．若圓O

、圓O

的半徑為R、r，圓錯心誤距，為可d能，外離，也可能內含沒有公共點的兩圓叫做兩圓相離（外離或內含）例1（2）下列說法中，正確的是(

)A．沒有公共點的兩圓叫做兩圓外離

B．相切兩圓的圓心距必經過切點當兩圓同心時R-r>dC．相交兩圓的交點關于連心線對稱錯誤，應將圓心

D．若圓O1、圓O2的半徑為R、r，圓距心改距為為連d心，線沒有公共點的兩圓叫做兩圓相離（外離或內含）圓心距是兩圓圓心之間的距離，是線段的長度。連心線是聯(lián)結兩圓圓心的直線。線段直線例1（2）下列說法中，正確的是(

)A．沒有公共點的兩圓叫做兩圓外離B．相切兩圓的圓心必經過切點C．相交兩圓的交點關于連心線對稱

D．若圓O1、圓O2的半徑為R、r，圓心距為d，當兩圓同心時R-r>dO1O2BA相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。沒有公共點的兩圓叫做兩圓相離（外離或內含）圓心距是兩圓圓心之間的距離，是線段的長度。連心線是聯(lián)結兩圓圓心的直線。正確例1（2）下列說法中，正確的是A．沒有公共點的兩圓叫做兩圓外離B．相切兩圓的圓心必經過切點錯誤，C．相交兩圓的交點關于連心線對稱兩圓同心時d=0D．若圓O1、圓O2的半徑為R、r，圓心距為d，當兩圓同心時R-r>d(

C

)相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。沒有公共點的兩圓叫做兩圓相離（外離或內含）圓心距是兩圓圓心之間的距離，是線段的長度。連心線是聯(lián)結兩圓圓心的直線?！菊f明】位置關系圖形d與R、r關系公共點個數(shù)有關性質相離外離rdRd＞R+r0當d=0時，兩圓為同心圓內含rdR0≤d＜∣R-r∣0相切外切rdRd=R+r1相切兩圓的連心線經過切點。內切rdR0＜d=∣R-r∣1相交rR∣R-r∣＜d＜R+r2相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦?！菊f明】兩個不等圓之間的位置關系用數(shù)軸表示為：外離相交內切外切0（同心圓）R+r∣R-r∣內含①外離

d

>R+r；②外切

d

=R+r；③相切

d<r；CADB3452

2S

=

1

AB CD

=

1

AC

BC

ACB當r=2時，CD>r，圓C與直線AB相離2.4∴CD=2.4分析：（1）過點D作CD⊥AB于點D，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴AB=5當r=3.5時，CD<r，圓C與直線AB相交例2如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4．（1）以C為圓心，2為半徑的圓與直線AB的位置關系是相離；以C為圓心，3.5為半徑的圓與直線AB的位置關系是

相交；若和直線AB相切，那么圓C的半徑長為

2.4

圓C與直線AB相切，r=2.4范圍.分析：CADB452.4相離相交2.4r=2.4，圓C與直線AB相切，有一個交點0<r<2.4時，圓C與直線AB相離，無交點3例2如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4．以C為圓心，2為半徑的圓與直線AB的位置關系是相離

；以C為圓心，3.5為半徑的圓與直線AB的位置關系是

相交

；若和直線AB相切，那么圓C的半徑長為

2.4

若以C為圓心的圓與斜邊AB有一個交點，求半徑r的取值例2如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4．ADB452.4以C為圓心，2為半徑的圓與直線AB的位置關系是相離；以C為圓心，3.5為半徑的圓與直線AB的位置關系是

相交；若和直線AB相切，那么圓C的半徑長為

2.4

若以C為圓心的圓與斜邊AB有一個交點，求半徑r的取值范圍.分析：r=2.4，圓C與直線AB相切，有一個交點0<r<2.4時，圓C與直線AB相離，無交點3r>2.4時，圓C與直線AB有兩個交點，C例2如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4．ADB452.4以C為圓心，2為半徑的圓與直線AB的位置關系是相離；以C為圓心，3.5為半徑的圓與直線AB的位置關系是

相交；若和直線AB相切，那么圓C的半徑長為

2.4

若以C為圓心的圓與斜邊AB有一個交點，求半徑r的取值范圍.分析：r=2.4，圓C與直線AB相切，有一個交點0<r<2.4時，圓C與直線AB相離，無交點3r>2.4直線2.4<r≤3其中r=3時，其中一個交點為點A

C3<r≤4時，圓C與斜邊AB有一個交點，其中r=4時，交點為點B時，圓C與斜邊AB有兩個交點，例2如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4．范圍.分析：ADB452.4以C為圓心，2為半徑的圓與直線AB的位置關系是相離；以C為圓心，3.5為半徑的圓與直線AB的位置關系是

相交；若和直線AB相切，那么圓C的半徑長為

2.4

若以C為圓心的圓與斜邊AB有一個交點，求半徑r的取值r=2.4，圓C與直線AB相切，有一個交點0<r<2.4時，圓C與直線AB相離，無交點3r>2.4時，圓C與斜邊AB有兩個交點，2.4<r≤3其中r=3時，其中一個交點為點A

C3<r≤4時，圓C與斜邊AB有一個交點，其中r=4時，交點為點Br>4時，圓C與斜邊AB有沒有交點3<r≤4或r=2.4例2如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4．范圍.AB4D

52.4以C為圓心，2為半徑的圓與直線AB的位置關系是相離；以C為圓心，3.5為半徑的圓與直線AB的位置關系是

相交；若和直線AB相切，那么圓C的半徑長為

2.4

若以C為圓心的圓與斜邊AB有一個交點，求半徑r的取值3<r≤4或r=2.4●判斷直線與圓的位置關系，關鍵是將3圓心到直線的距離與半徑進行比較?！衽袛嗑€段與圓的位置關系要注意線段C是有限的，不是無限延伸的，因此需要考慮線段的端點與圓的位置關系?！菊f明】例3

（1）已知兩圓的半徑是6與8，圓心距是15，那么這兩個圓的位置關系是

已知兩圓的半徑是6與8，圓心距是7，那么這兩個圓的位置關系是已知兩圓內含，一個圓的半徑是8，圓心距是7，另一個圓的半徑的取值范圍是已知兩圓相切，一圓的半徑是6，圓心距是7，那么另一圓的半徑是已知兩圓沒有公共點，一圓的半徑是6，圓心距是7，另一個圓的半徑的取值范圍是

外離

d＞R+r外切

d=R+r相交 ∣R-r∣＜d＜R+r內切

0＜d=∣R-r∣內含

0≤d＜∣R-r∣位置關系是已知兩圓內含，一個圓的半徑是8，圓心距是7，另一個圓的半徑的取值范圍是

已知兩圓相切，一圓的半徑是6，圓心距是7，那么另一圓的半徑是

已知兩圓沒有交點，一圓的半徑是6，圓心距是7，另一個圓的半徑的取值范圍是

（2）已知兩圓的半徑是6與8，R圓+r心=1距4,是d=71，5

那么這兩個圓的∴d

>R+r外離

d＞R+r外切

d=R+r相交 ∣R-r∣＜d＜R+r內切

0＜d=∣R-r∣內含

0≤d＜∣R-r∣例3

（1）已知兩圓的半徑是6與8，圓心距是15，那么這兩個圓的位置關系是

外離

例3（1）已知兩圓的半徑是6與8，圓心距是15，那么這兩個圓的半徑的取值范圍是

∣R-r∣=2已知兩圓相切，一圓的半∴徑∣是R-6r，∣圓＜心d＜距R是+r7，那么另一圓的半徑是

已知兩圓沒有交點，一圓的半徑是6，圓心距是7，另一個圓的半徑的取值范圍是

外離

d＞R+r外切

d=R+r相交 ∣R-r∣＜d＜R+r內切

0＜d=∣R-r∣內含

0≤d＜∣R-r∣圓的位置關系是

外離

已知兩圓的半徑是6與8，圓心距是7，那么這兩個圓的位置關系是相交已知兩圓內含，一個圓的R+半r

徑=1是4,d8，=7圓心距是7，另一個7＜∣8-r∣∴r-8＞7或r-8＜-7且r＞0∴r＞15或0＜r＜1外離

d＞R+r外切

d=R+r相交 ∣R-r∣＜d＜R+r內切

0＜d=∣R-r∣內含

0≤d＜∣R-r∣例3

（1）已知兩圓的半徑是6與8，圓心距是15，那么這兩個圓的位置關系是

外離

已知兩圓的半徑是6與8，圓心距是7，那么這兩個圓的位置關系是

相交

已知兩圓內含，一個圓的半徑是8，圓心距是7，另一個圓的半徑的取值范圍是r＞15或0＜r＜1已知兩圓相切，一圓的半徑是6，圓心距是7，那么另一圓的半徑是

已知兩圓沒有交點，一圓的半徑是6，圓心距是7，另一個圓的半d＜徑∣的R取-r值∣范圍是

圓的半徑是圓的半徑的外切

d=R+r∴

7=6+r

r=1內切

d=∣R-r∣∴7=∣6-r∣

r=13或-1∴r=1或13外離

d＞R+r外切

d=R+r相交 ∣R-r∣＜d＜R+r內切

0＜d=∣R-r∣內含

0≤d＜∣R-r∣例3

（1）已知兩圓的半徑是6與8，圓心距是15，那么這兩個圓的位置關系是

外離

已知兩圓的半徑是6與8，圓心距是7，那么這兩個圓的位置關系是

相交

已知兩圓內含，一個圓的半徑是8，圓心距是7，另一個圓的半徑的取值范圍是r＞15或0＜r＜1已知兩圓相切，一圓的半徑是6，圓心距是7，那么另一1或13（5）已知兩圓沒有交點，一圓的半徑是6，圓心距是7，另一個外切或內切

取值范圍是

例3（1）已知兩圓的半徑是6與8，圓心距是15，那么這兩個外離

d＞R+r外切

d=R+r相交 ∣R-r∣＜d＜R+r內切

0＜d=∣R-r∣內含

0≤d＜∣R-r∣圓的位外置離關系d是>R+r外∣離

∴已7<知6+兩r

圓的r半<1徑是6與8，圓心距是7，那么這兩個圓的位置關內系含是

0相≤交d

<∣R-r∣∴已7知<∣兩6圓-r∣內含r>，13一或個r<圓0

的半徑是8，圓心距是7，另一個圓的半∵徑r>的0取值范圍是r＞15或0＜r＜1∴已0知<r兩<1圓或相r>切13，一圓的半徑是6，圓心距是7，那么另一圓的半徑是

1或13

已知兩圓沒有交點，一圓的半徑是6，圓心距是7，另一個圓的半徑的取值范圍是

0<r<1或r>13

外離或內含【說明】外離

d＞R+r外切

d=R+r相交 ∣R-r∣＜d＜R+r內切

0＜d=∣R-r∣內含

0≤d＜∣R-r∣●相離包括外離與內含，兩圓沒有公共點；相切包括外切與內切，兩圓有一個公共點.●在解絕對值方程時注意：x

>a(a

>0)的解集是x

>a

或x

<-ax

<a(a

>0)的解集是-a

<x

<a例4（1）已知兩相交圓的半徑是5和4，公共弦長為6，則這兩圓的圓心距是

相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。例4（1）已知兩相交圓的半徑是5和4，公共弦長為6，則這兩圓的圓心距是

相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。O1BAC

653

4O2例4（1）已知兩相交圓的半徑是5和4，公共弦長為6，則這相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。O1BAC54在Rt△AO1C中，O1C=52

-

32

=

43

47

O2在Rt△AO

C中，O

C=

42

-

322

2=

7∴O1O2=4

+

77兩圓的圓心距是4

+例4（1）已知兩相交圓的半徑是5和4，公共弦長為6，則這相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。O1BAO2C在Rt△AO1C中，O1C=52

-

32

=

4在Rt△AO

C中，O

C=

42

-

322

2=

7∴O1O2=4

+

77兩圓的圓心距是4

+O2

O1例4（1）已知兩相交圓的半徑是5和4，公共弦長為6，則這相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。A在Rt△AO1C中，O1C=52

-

32

=

42

2在Rt△AO

C中，O

C=

42

-

32=

7∴O1O2=4

+

74

-

73CB兩圓的圓心距是4

+7

或4

-7例4（1）已知兩相交圓的半徑是5和4，公共弦長為6，則這相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。O1BAC534在Rt△AO1C中，O1C=52

-

32

=

447

O2在Rt△AO

C中，O

C=

42

-

322

2=

7∴O1O2=4

+

7O

O2

1A3CB兩圓的圓心距是4

+7

或4

-7在Rt△AO1C中，O1C=52

-

32

=

4在Rt△AO

C中，O

C=

42

-

322

2=

7∴O1O2=4

-

7①O1、O2在AB兩側時，②O1、O2在AB同側時，例4（1）已知兩相交圓的半徑是5和4，公共弦長為6，則這O1BAC543

47

O2O

O2

1A3CB兩圓的圓心距是4

+7

或4

-7【說明】在解決兩圓相交問題時，常添連心線、公共弦等輔助線，這樣，兩圓半徑、圓心距和公共弦的一半就集中到直角三角形中，利用直角三角形的有關知識解決即可。在給出已知不相等的兩圓的半徑和公共弦，求兩圓的圓心距，一般由兩種情況：①兩圓心在公共弦的兩側②兩圓心在公共弦的同側（2）已知⊙A與⊙B內切，⊙A與⊙C外切，⊙A、⊙B、⊙C半徑分別為6、2、1，且∠BAC=60°，那么BC的長為

ABC例4（1）已知兩相交圓的半徑是5和4，公共弦長為6，則這兩圓的圓心距是4

+7

或4

-773⊙A與⊙B內切，AB=6-2=4⊙A與⊙C外切，AC=6+1=7460°AB=6-2=4AC=6+1=7相切兩圓的連心線經過切點。外切

d=R+r內切

d=∣R-r∣>060°例4（1）已知兩相交圓的半徑是5和4，公共弦長為6，則這兩圓的圓心距是4

+7

或4

-7（2）已知⊙A與⊙B內切，⊙A與⊙C外切，⊙A、⊙B、⊙C43ABC半徑分別為6、2、1，且∠BAC=60°，那么BC的長為作BD⊥AC于點D2

32

D

57⊙A與⊙B內切，AB=6-2=4⊙A與⊙C外切，AC=6+1=7在Rt△ABD中，∠BAC=60°∴

AD

=

1

AB

=

2,BD

=

2

32在Rt△BCD中，BC

=

(2 3

)2

+

52

=

3737相切兩圓的連心線經過切點。外切

d=R+r內切

d=∣R-r∣>0涉及到兩圓位置關系時，常用的添輔助線的方法是：①兩圓相交，常添連心線或公共弦②兩圓相切，常添連心線或過切點作兩圓的公共切線③涉及到多個圓的相切問題，通過連心線構造三角形，再作高，利用勾股定理去求解?！菊f明】分析：∠A=∠CPC=PAP是AB上的一個動點，PC=PA，PC與AB的延長線相交于點C，聯(lián)結PO，設PA=x，BC=y求證：△POA∽△CPA求y與x之間的函數(shù)解析式，并指出定義域；當x為何值時，PC與半圓O相切？CAM

POA=OP∠A=∠APO∠C=∠APO

∠A=∠A△POA∽△CPAO8xB

y例5如圖，已知半圓O的直徑AB=8，M是半圓AB的中點，分析：CAM

PO8xB

y△POA∽△CPAAxP

=

A4O

A8+Cx

AxP4y

=

1

x2

-

8(0

<

x

<

8)P是AB上的一個動點，PC=PA，PC與AB的延長線相交于點C，聯(lián)結PO，設PA=x，BC=y求證：△POA∽△CPA求y與x之間的函數(shù)解析式，并指出定義域；當x為何值時，PC與半圓O相切？例5如圖，已知半圓O的直徑AB=8，M是半圓AB的中點，分析：CAM

PO8B

y△POA∽△CPAAxP

A4OA8+Cx

=

AxP4y

=

1

x2

-

84

2xP是AB上的一個動點，PC=PA，PC與AB的延長線相交于點C，聯(lián)結PO，設PA=x，BC=y求證：△POA∽△CPA求y與x之間的函數(shù)解析式，并指出定義域；當x為何值時，PC與半圓O相切？例5如圖，已知半圓O的直徑AB=8，M是半圓AB的中點，①M是半圓O的中點((40

<2

x<

<x

8<)8)

②

y>

0點C，聯(lián)結PO，設PA=x，BC=y（1）求證：△POA∽△CPA（3）當x為何值時，PC與半圓O相切？分析：例5如圖，已知半圓O的直徑AB=8，M是半圓AB的中點，CAM

PPC與半圓O相切O8B

yx∠OPC=90°O4P

2+PCx

2=O(C4+2y)24y

=

1

x2

-

8（2）求y與x之間的函數(shù)解析式，并指出定義域；4y

=

1

x2

-

8y=4或

4

3y=

4

3P是AB上的一個動點，PC=PA，PC與AB的延長線相交于(4 2

<

x

<

8)(4 2

<

x

<

8)AEC

xyD例6如圖，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是邊BC延長線上的一點，聯(lián)結AP交邊CD于點E，把射線AP沿直線AD翻折，交射線CD于點Q，設CP=x，DQ=y．（1）求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出定義域．3BQP4AC

xyD例6如圖，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是邊BC延長線上的一點，聯(lián)結AP交邊CD于點E，把射線AP沿直線AD翻折，交射線CD于點Q，設CP=x，DQ=y．（1）求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出定義域．3BQP4yE分析：4DE=DQ=yAD∥BC

AD

=

DE

CP

EC分析：AC

xyDAD∥BC3BQP4yE12y

=x

+

4(x＞0

)DE=DQ=yA4D

=

DyE

CxP

3E-Cy4例6如圖，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是邊BC延長線上的一點，聯(lián)結AP交邊CD于點E，把射線AP沿直線AD翻折，交射線CD于點Q，設CP=x，DQ=y．（1）求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出定義域．例6如圖，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是邊BC延長線上的一點，聯(lián)結AP交邊CD于點E，把射線AP沿直線AD翻折，交射線CD于點Q，設CP=x，DQ=y．（1）求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出定義域．S△AQES△PQEy

=12x

+

4（2）當點P運動時，△APQ的面積是否會發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請求出△APQ的面積S關于x的函數(shù)關系式，并寫出定義域；如果不發(fā)生變化，請說明理由．AC

xyD3BQP4yE4S△APQ2=

12

y x

=

xy2=

12

y

4

=

4

yS△APQ=(x+4)y12y

=x

+

4S△APQ=12例6如圖，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是邊BC延長線上的一點，聯(lián)結AP交邊CD于點E，把射線AP沿直線AD翻折，交射線CD于點Q，設CP=x，DQ=y．（1）求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出定義域．S△AQES△PQEy

=12x

+

4AC

xyD3BQP4yE4S△APQ2=

12

y x

=

xy2=

12

y

4

=

4

yS△APQ=(x+4)y12y

=x

+

4S△APQ=12（2）當點P運動時，△APQ的面積不否會會發(fā)發(fā)生生變變化化？如果發(fā)生變化，請求出△APQ的面積S關于x的函數(shù)關系式，并寫出定義域；如果不發(fā)生變化，請說明理由．例6如圖，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是邊BC延長線上的一點，聯(lián)結AP交邊CD于點E，把射線AP沿直線AD翻折，交射線CD于點Q，設CP=x，DQ=y．（1）求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出定義域．外切

d=R+r內切

d=∣R-r∣>0y

=12x

+

4ADC

xy3BQP4yE4（2）當點P運動時，△APQ的面積不會發(fā)生變化S△APQ=12（3）當以4為半徑的⊙Q與直線AP相切，且⊙A與⊙Q也相切時，求⊙A的半徑．F相切

d=r；QF=4⊙A與⊙Q相切外切d=AQ=r4Q

+rA內切d=AQ=|r4Q

-rA|AQ例6如圖，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是邊BC延長線上的一點，聯(lián)結AP交邊CD于點E，把射線AP沿直線AD翻折，交射線CD于點Q，設CP=x，DQ=y．（1）求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出定義域．y

=12x

+

4DC

xy3BQP4y4（2）當點P運動時，△APQ的面積不會發(fā)生變化S△APQ=12QF=4（3）當以4為半徑的⊙Q與直線AP相切，且⊙A與⊙Q也相切時，求⊙A的半徑．S△APQ=12AP

=6F6

E∠BPA=30°∠DAE=30°

AAB=3∠QAP=60°QF=4383AQ

=60°例6如圖，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是邊BC延長