考研數(shù)學(xué)一(矩陣及其運(yùn)算)模擬試卷1(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)一（矩陣及其運(yùn)算）模擬試卷1(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。1．下列命題中不正確的是A．如A是n階矩陣，則(A—E)(A+E)=(A+E)(A—E)．B．如A，B均是n×1矩陣，則ATB=BTA．C．如A，B均是n階矩陣，且AB=0，則(A+B)2=A2+B2．D．如A是n階矩陣，則AmAk=AkAm．正確答案：C解析：(A)中，由乘法有分配律，兩個(gè)乘積均是A2一E，而(D)是因乘法有結(jié)合律，兩乘積都是Am+k，故(A)，(D)都正確．關(guān)于(B)，由于ATB，BTA都是1×1矩陣，而1階矩陣的轉(zhuǎn)置仍是其自身，故ATB=(ATB)T=BTA亦正確．唯(C)中，從AB=0還不能保證必有BA=0，例如A=，則AB=，因此，(C)不正確．選(C)．知識(shí)模塊：矩陣及其運(yùn)算2．已知3階矩陣A可逆，將A的第2列與第3列交換得B，再把B的第1列的一2倍加至第3列得C，則滿(mǎn)足PA－1=C－1的矩陣P為A．B．C．D．正確答案：B解析：對(duì)矩陣A作一次初等列變換相當(dāng)于用同類(lèi)的初等矩陣右乘A，故應(yīng)選(B)．知識(shí)模塊：矩陣及其運(yùn)算3．設(shè)A，P均為3階矩陣，PT為P的轉(zhuǎn)置矩陣，且PTAP=．若P=(α1，α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α3)，則QTAQ=A．B．C．D．正確答案：A解析：對(duì)矩陣P作一次初等列變換：把第2列加至第1列，便可得到矩陣Q．若記E12(1)=，則Q=PE12(1)．那么QTAQ=[PE12(1)]TA[PE12(1)]=(1)(PTAP)E12(1)所以應(yīng)選(A)．知識(shí)模塊：矩陣及其運(yùn)算4．設(shè)A是任一n(n≥3)階方陣，A*是其伴隨矩陣，又k為常數(shù)，且k≠0，±1，則必有(kA)*=A．kA*．B．kn－1A*．C．knA*．D．k－1A*．正確答案：B解析：由于kA=(kaij)，故行列式｜kA｜的代數(shù)余子式按定義為再根據(jù)伴隨矩陣的定義知應(yīng)選(B)．知識(shí)模塊：矩陣及其運(yùn)算5．設(shè)A，B是n階矩陣，則C=的伴隨矩陣是A．B．C．D．正確答案：D解析：由于CC*=｜C｜E=｜A｜｜B｜E，因此應(yīng)選(D)．另外，作為選擇題不妨附加條件A，b可逆，那么知識(shí)模塊：矩陣及其運(yùn)算6．設(shè)A，B，C是n階矩陣，且ABC=E，則必有A．CBA=E．B．BCA=E．C．BAC=E．D．ACB=E．正確答案：B解析：由ABC=E知A(BC)=(BC)A=E，或(AB)C=C(AB)=E，可見(jiàn)(B)正確．由于乘法不一定能交換，故其余不恒成立．知識(shí)模塊：矩陣及其運(yùn)算7．設(shè)A，B，C均為n階矩陣，E為n階單位矩陣，若B=E+AB，C=A+CA，則B—C=A．E．B．一E．C．A．D．一A．正確答案：A解析：由B=E+AB(E一A)B=EB=(E—A)－1；C=A+CAC(E—A)=AC=A(E—A)－1(或C=AB)．那么B—C=(E一A)－1－A(E—A)－1=(E—A)(E一A)－1=E(或B—C=B—AB=E)．故選(A)．知識(shí)模塊：矩陣及其運(yùn)算填空題8．設(shè)A，B均是n階對(duì)稱(chēng)矩陣，則AB是對(duì)稱(chēng)矩陣的充要條件是__________．正確答案：AB=BA解析：兩個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣的乘積不一定是對(duì)稱(chēng)矩陣．例如而AB對(duì)稱(chēng)AB=BTAT=BA．所以應(yīng)填：AB=BA．知識(shí)模塊：矩陣及其運(yùn)算9．設(shè)α，β均為3維列向量，βT是β的轉(zhuǎn)置矩陣，如果則αTβ=___________．正確答案：5解析：設(shè)α=(a1，a2，a3)T，β=(b1，b2，b3)T，則而αTβ=(a1，a2，a3)=a1b1+a2b2+a3b3，注意到αTβ正是矩陣αβT的主對(duì)角線(xiàn)元素之和，所以αTβ=1+6+(－2)=5．知識(shí)模塊：矩陣及其運(yùn)算10．設(shè)α=(1，2，3)T，β=(1，，0)T，A=αβT，則A3=_________．正確答案：解析：由于A=αβT==2．所以A3=(αβT)(αβT)(αβT)=α(βTα)(βTα)βT=4αβT=4A=知識(shí)模塊：矩陣及其運(yùn)算11．已知A=，則An=___________．正確答案：解析：由于A=λE+J，其中J=，而進(jìn)而知J4=J5=…=0．于是知識(shí)模塊：矩陣及其運(yùn)算12．已知A=，則An=__________．正確答案：解析：對(duì)A分塊為則B=3E+J，由于J3=J4=…=0，于是Bn=(3E+J)n=3nE+3n－2J2．而C=(3，－1)，C2=6C，…，Cn=6n－1C，所以知識(shí)模塊：矩陣及其運(yùn)算13．設(shè)A=，則A2013一2A2012=___________．正確答案：0解析：由于A2013一2A2012=(A一2E)A2012，而A一2E=試乘易見(jiàn)(A一2E)A=0，從而A2013一2A2012=0．知識(shí)模塊：矩陣及其運(yùn)算14．已知PA=BP，其中P=，則A2012=__________．正確答案：E解析：因?yàn)榫仃嘝可逆，由PA=BP得A=P－1BP．那么A2=(P－1BP)(P－1BP)=P－1B(PP－1)BP=P－1B2P．歸納地A2012=P－1B2012P．因?yàn)?，易?jiàn)B2012=E．所以A2012=P－1EP=E．知識(shí)模塊：矩陣及其運(yùn)算15．已知2CA一2AB=C—B，其中A=，則C3=____________．正確答案：解析：由2CA一2AB=C－B得2CA一C=2AB—B．故有C(2A—E)=(2A—E)B．因?yàn)?A—E=可逆，所以C=(2A—E)B(2A—E)－1．那么C3=(2A—E)B3(2A—E)－1知識(shí)模塊：矩陣及其運(yùn)算16．已知A=，則An=___________．正確答案：解析：先求A的特征值與特征向量．由對(duì)λ=0，由(0E—A)x=0，解出α1=；對(duì)λ=6，由(6E—A)x=0，解出α2=令P=．而A=PAP－1，于是知識(shí)模塊：矩陣及其運(yùn)算17．=___________．正確答案：解析：E12=是初等矩陣，左乘A=所得E12A是A作初等行變換(1，2兩行對(duì)換)，而E122011A表示A作了奇數(shù)次的1，2兩行對(duì)換，相當(dāng)于矩陣A作了一次1，2兩行對(duì)換，故而右乘E13是作1，3兩列對(duì)換，由于是偶數(shù)次對(duì)換，因而結(jié)果不變，即為所求．知識(shí)模塊：矩陣及其運(yùn)算18．設(shè)A=，(A－1)*是A－1的伴隨矩陣，則(A－1)*=__________．正確答案：解析：因?yàn)锳－1.(A－1)*=｜A－1｜E，有(A－1)*=｜A－1｜A=A．本題｜A｜=6，所以(A－1)*=知識(shí)模塊：矩陣及其運(yùn)算19．已知n階行列式｜A｜=，則｜A｜的第k行代數(shù)余子式的和Ak1+Ak2+…+Akn=___________．正確答案：解析：若依次求每個(gè)代數(shù)余子式再求和，這很麻煩．我們知道，代數(shù)余子式與伴隨矩陣A*有密切的聯(lián)系，而A*與A－1又密不可分．對(duì)于A用分塊技巧，很容易求出A－1．由于又因A*=｜A｜A－1，那么可見(jiàn)Ak1+Ak2+…+Akn=知識(shí)模塊：矩陣及其運(yùn)算20．(Ⅰ)已知A=，則(A*)－1=____________．(Ⅱ)已知A=，則A－1=____________．(Ⅲ)設(shè)A，B均為三階矩陣，E是三階單位矩陣，已知AB=A一2B，B=，則(A+2E)－1=____________．(Ⅳ)設(shè)A=，B=(E+A)－1(E—A)，則(E+B)－1=____________．(Ⅴ)如A3=0，則(E+A+A2)－1=____________．正確答案：解析：(Ⅰ)由AA*=｜A｜E，有(Ⅱ)A=(Ⅲ)由AB=A一2B有AB+2B=A+2E一2E，得知(A+2E)(E－B)=2E，即(A+2E)(E一B)．(Ⅳ)由于B+E=(E+A)－1(E一A)+E=(E+A)－1(E—A)+(E+A)－1(E+A)=(E+A)－1[(E—A)+(E+A)]=2(E+A)－1，故(B+E)－1=(E+A)．(Ⅴ)注意(E—A)(E+A+A2)=E—A3=E．知識(shí)模塊：矩陣及其運(yùn)算解答題解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。21．設(shè)A=，則A*的值．正確答案：涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣及其運(yùn)算22．已知A是n階對(duì)稱(chēng)矩陣，B是n階反對(duì)稱(chēng)矩陣，證明A－B2是對(duì)稱(chēng)矩陣．正確答案：因?yàn)锳—B2=A一BB=A+BTB，則有(A一B2)T=(A+BTB)T=AT+(BTB)T=A+BTB=A一B2．所以A一B2是對(duì)稱(chēng)矩陣．涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣及其運(yùn)算23．證明上三角矩陣的乘積仍是上三角矩陣．正確答案：設(shè)A=(aij)，B=(bij)都是n階上三角矩陣．對(duì)AB=C=(cij)，按矩陣乘法定義，有cij=ai1b1j+…+aii－1bi－1j+aiibij+aii+1bi+1j+…+ainbnj．由于A是上三角矩陣，則ai1=ai2=…=aii－1=0．因?yàn)锽是上三角矩陣，當(dāng)i＞j時(shí)，有bij=bi+1j=…=bnj=0．因此，當(dāng)i＞j時(shí)，cij中的每一項(xiàng)都為0，從而cij=0．即AB是上三角矩陣．涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣及其運(yùn)算24．某企業(yè)對(duì)其職工進(jìn)行分批脫產(chǎn)技術(shù)培訓(xùn)，每年從在崗人員中抽調(diào)30％的人參加培訓(xùn)，而參加培訓(xùn)的職工中有60％的人結(jié)業(yè)回崗，假設(shè)現(xiàn)有在崗職工800人，參加培訓(xùn)人員是200人，試問(wèn)兩年后在崗與脫產(chǎn)培訓(xùn)職工各有多少人(假設(shè)職工人數(shù)不變)?正確答案：用xi，yi分別表示i年后在崗與脫產(chǎn)職工的人數(shù)，x0，y0為目前在崗與脫產(chǎn)的人數(shù)，則所以，兩年后在崗職工668人，培訓(xùn)人員332人．涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣及其運(yùn)算25．已知A=證明A2=lA，并求l．正確答案：因?yàn)锳中任兩行、任兩列都成比例，故可把A分解成兩個(gè)矩陣相乘，即A=(b1，b2，b3)，那么，由矩陣乘法的結(jié)合律，有A2=(b1，b2，b3)．由于(b1，b2，b3)=a1b1+a2b2+a3b3是1×1矩陣，是一個(gè)數(shù)，記為l，則有A2=lA．涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣及其運(yùn)算26．已知A，B及A，C都可交換，證明A，B，C是同階矩陣，且A與BC可交換．正確答案：設(shè)A是m×n矩陣，由AB可乘，故可設(shè)B是n×s矩陣．又因BA可乘，所以m=s．那么AB是m階矩陣，BA是n階矩陣．從A和B可交換，即AB=BA，得m=n，即A，B是同階矩陣，同理，C與A，B也同階，由結(jié)合律，有A(BC)=(AB)C=(BA)C=B(AC)=B(CA)=(BC)A，所以，A與BC可交換．涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣及其運(yùn)算27．求與A=可交換的矩陣．正確答案：設(shè)，則有高斯消元，解出x1=2t+u，x2=2t，x3=t，x4=u．所以為所求．涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣及其運(yùn)算28．已知A=，其中a1，a2，…，an兩兩不等．證明與A可交換的矩陣只能是對(duì)角矩陣．正確答案：設(shè)A與A可交換，并對(duì)A分別按列(行)分塊，記為那么ajaij=aiaij，又因ai≠aj，可見(jiàn)aij=0(i≠j)，即A是對(duì)角矩陣．涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣及其運(yùn)算29．已知矩陣A=，求可逆矩陣P和Q，使PAQ=B．正確答案：對(duì)A作初等變換，有涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣及其運(yùn)算30．設(shè)A為n階可逆矩陣，證明：(A*)*=｜A｜n－2A．正確答案：用伴隨矩陣A*替換關(guān)系式AA*=｜A｜E中的矩陣A，得到A*(A*)*=｜A*｜E．由于｜A*｜=｜A｜n－1，從A可逆知A*可逆．又因(A*)－1=，于是得到(A*)*=｜A*｜(A*)－1=｜A｜n－1.=｜A｜n－2A．涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣及其運(yùn)算31．設(shè)A是n階正交矩陣，證明A*也是正交矩陣．正確答案：由AAT=E，從行列式乘法公式知｜A｜2=｜A｜.｜AT｜=1．又因A－1=AT，于是A*=｜A｜A－1=｜A｜AT，那么A*(A*)T=｜A｜AT.｜A｜A=｜A｜2ATA=E．類(lèi)似地(A*)TA*=E．所以，A*是正交矩陣．涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣及其運(yùn)算32．已知A是3階非零矩陣，且aij=Aij(=1，2，3)，證明A可逆，并求｜A｜．正確答案：因?yàn)锳是非零矩陣，不妨設(shè)a11≠0，那么按第一行展開(kāi)，并將aij=Aij代入，即有｜A｜=a11A11+a12A12+a13A13=＞0，所以，A可逆．即AT=A*，那么對(duì)AA*=｜A｜E兩邊取行列式，有｜A｜2=｜A｜.｜AT｜=｜｜A｜E｜=｜A｜3，得｜A｜2(｜A｜－1)=0．從而｜A｜=1．涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣及其運(yùn)算33．求A=的逆矩陣．正確答案：用伴隨矩陣(2．10)，得所以A*=涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣及其運(yùn)算34．已知A是n階對(duì)