2022年廣東省廣州市第三十一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析

2022年廣東省廣州市第三十一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)、都是非零向量，下列四個條件中，一定能使成立的是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】平行向量與共線向量．【分析】根據(jù)向量共線定理，可得若成立，則向量、共線且方向相反，對照各個選項并結(jié)合數(shù)乘向量的含義，可得本題答案．【解答】解：由得，即，則向量共線且方向相反，因此當(dāng)向量共線且方向相反時，能使成立．對照各個選項，可得B項中向量、的方向相同或相反；C項中向量、的方向相同；D項中向量、的方向互相垂直．只有A項能確定向量、共線且方向相反．故選：A【點評】本題給出非零向量、，求使成立的條件．著重考查了數(shù)乘向量的含義與向量共線定理等知識，屬于中檔題．2.已知為虛數(shù)單位，，若為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)的模等于(

)A．

B． C．

D．參考答案：C3.函數(shù)在內(nèi)

A．沒有零點

B．有且僅有一個零點

C．有且僅有兩一個零點D．有無窮個零點參考答案：B令，，則它們的圖像如圖故選B4.等差數(shù)列中，若，，則前9項的和等于A．99B．66C．144D．297參考答案：A略5.已知復(fù)數(shù),則“”是“是純虛數(shù)”的A．充要條件

B．必要不充分條件

C．充分不必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：C∵，當(dāng)時，是純虛數(shù)，反之當(dāng)是純虛數(shù)時，未必為，故選C.6.已知數(shù)列{an}滿足：，若，則（

）A B. C. D.參考答案：A【分析】利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，推出是等差數(shù)列，然后求解通項公式，即可得到所求結(jié)果．【詳解】解：由題意數(shù)列滿足：，可得，所以數(shù)列是等差數(shù)列，，所以，．故選：A．【點睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列通項公式的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是基本知識的考查．7.方程C：y2=x2+所對應(yīng)的曲線是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的最值即可判斷．【解答】解：當(dāng)y＞0時，y=（x2+），該為函數(shù)為偶函數(shù)，故關(guān)于y軸對稱，且y2=x2+≥2=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=±1時，取等號，故最小值為2，y2=x2+也關(guān)于x軸對稱，故選：D8.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其前n項和為Sn，若，則cosS9的值為()A.

B.

C．

D．參考答案：D略9.在等差數(shù)列中，若，且它的前項和有最小值，那么當(dāng)取得最小正值時，（

）A．18

B．19

C．20

D．21

參考答案：C10.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在定義域上單調(diào)遞增的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A是奇函數(shù)又在定義域上單調(diào)遞增;在定義域上單調(diào)遞增但是非奇非偶函數(shù);是奇函數(shù)但在和上單調(diào)遞增,在定義域上不具單調(diào)性;是奇函數(shù)又在定義域上有增有減,所以選A.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在區(qū)間上隨機取一個數(shù)x,則的概率為

。參考答案：12.已知0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（α﹣β）=﹣，sinα=，則sinβ的值為．參考答案：﹣【考點】兩角和與差的余弦函數(shù)．【分析】根據(jù)所給的角的范圍和角的函數(shù)值，利用同角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，寫出角的函數(shù)值，進行角的變換，用α﹣（α﹣β）代替α，用兩角差的正弦公式求出結(jié)果．【解答】解：∵0＜α＜，﹣＜β＜0，∴0＜α﹣β＜π，∵cos（α﹣β）=﹣，sinα=，∴sin（α﹣β）=，cosα=，∴sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]=sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=×（﹣）﹣×=﹣，故答案為：13.在面積為2的中，分別是的中點，點在直線上，則的最小值是

參考答案：【知識點】解三角形；平面向量數(shù)量積的運算C8,F3【答案解析】解析：解：∵E、F是AB、AC的中點，∴EF到BC的距離=點A到BC的距離的一半，∴△ABC的面積=2△PBC的面積，而△ABC的面積=2，∴△PBC的面積=1，又△PBC的面積=PB×PCsin∠BPC，∴PB×PC=．∴=PB×PCcos∠BPC=．由余弦定理，有：BC2=BP2+CP2﹣2BP×CPcos∠BPC．顯然，BP、CP都是正數(shù)，∴BP2+CP2≥2BP×CP，∴BC2≥2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC．∴≥PB×PCcos∠BPC+2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC=令y=，則y′=令y′=0，則cos∠BPC=，此時函數(shù)在（0，）上單調(diào)增，在（，1）上單調(diào)減∴cos∠BPC=時，取得最大值為∴的最小值是故答案為：【思路點撥】根據(jù)△ABC的面積為2，可得△PBC的面積=1，從而可得PB×PC=，故=PB×PCcos∠BPC=，由余弦定理，有：BC2=BP2+CP2﹣2BP×CPcos∠BPC，進而可得BC2≥2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC．從而≥，利用導(dǎo)數(shù)，可得最大值為，從而可得的最小值．14.在中，，，設(shè)交于點，且，，則的值為

.參考答案：試題分析:由題設(shè)可得,即,也即,所以,解之得,故,應(yīng)填.考點：向量的幾何運算及待定系數(shù)法的運用．【易錯點晴】平面向量是高中數(shù)學(xué)中較為重要的知識點和考點.本題以三角形的線段所在向量之間的關(guān)系為背景精心設(shè)置了一道求其中參數(shù)的和的綜合問題.求解時充分借助題設(shè)條件中的有效信息,綜合運用向量的三角形法則,巧妙構(gòu)造方程組,然后運用待定系數(shù)法建立方程組,然后通過解方程組使得問題巧妙獲解.15.（5分）設(shè)函數(shù)f（x）與g（x）是定義在同一區(qū)間[a，b]上的兩個函數(shù)，若對任意的x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤k（k＞0），則稱f（x）與g（x）在[a，b]上是“k度和諧函數(shù)”，[a，b]稱為“k度密切區(qū)間”．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx與g（x）=在[，e]上是“e度和諧函數(shù)”，則m的取值范圍是．參考答案：﹣1≤m≤1+e【考點】：函數(shù)的值域．【專題】：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】：由“e度和諧函數(shù)”，得到對任意的x∈[，e]，都有|f（x）﹣g（x）|≤e，化簡整理得m﹣e≤lnx+≤m+e，令h（x）=lnx+（≤x≤e），求出h（x）的最值，只要m﹣e不大于最小值，且m+e不小于最大值即可．解：：∵函數(shù)f（x）=lnx與g（x）=在[，e]上是“e度和諧函數(shù)”，∴對任意的x∈[，e]上，都有|f（x）﹣g（x）|≤e，即有|lnx+﹣m|≤e，即m﹣e≤lnx+≤m+e，令h（x）=lnx+（≤x≤e），h′（x）=﹣=，x＞1時，h′（x）＞0，x＜1時，h′（x）＜0，x=1時，h（x）取極小值1，也為最小值，故h（x）在[，e]上的最小值是1，最大值是e﹣1．∴m﹣e≤1且m+e≥e﹣1，∴﹣1≤m≤e+1．故答案為：﹣1≤m≤1+e【點評】：本題考查新定義及運用，考查不等式的恒成立問題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，注意運用導(dǎo)數(shù)求解，是一道中檔題．16.在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，，，則的面積__________．參考答案：【知識點】余弦定理，正弦定理C8解析：由余弦定理，得，.面積，故答案為.【思路點撥】【思路點撥】由余弦定理可求，再利用即可.17.數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=an（n∈N*），則=．參考答案：【考點】8H：數(shù)列遞推式．【分析】數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=an（n∈N*），可得=2?，=1．利用等比數(shù)列的通項公式可得：an=（n+1）?2n﹣1．再利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．【解答】解：∵數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=an（n∈N*），∴=2?，=1．∴=2n﹣1，即an=（n+1）?2n﹣1．設(shè)其前n項和為Sn，則Sn=2+3×2+4×22+…+（n+1）?2n﹣1．∴2Sn=2×2+3×22+…+n?2n﹣1+（n+1）?2n．∴﹣Sn=2+2+22+…+2n﹣1﹣（n+1）?2n=1+﹣（n+1）?2n．∴Sn=n?2n．則==．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（14分）已知向量.(1)設(shè)，求；

(2)若與垂直，求的值.參考答案：19.（本小題滿分10分）

如圖，AB是圓的直徑，C、F為圓上點，CA是BAF的角平分線，CD與圓切于點C且交AF的延長線于點D，CMAB，垂足為點M，求證：（1）CDAD；（2）若圓的半徑為1，BAC=，試求DFAM的值。參考答案：20.（本小題滿分13分）某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)（）在某一個周期內(nèi)的圖像時，列表并填入的部分數(shù)據(jù)如下表：

（Ⅰ）請求出上表中的的值，并寫出函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）將的圖像向右平移個單位得到函數(shù)的圖像，若函數(shù)在區(qū)間

（）上的圖像的最高點和最低點分別為，求向量與夾角的大?。畢⒖即鸢福海á瘢┯蓷l件知，，，∴，，∴，．（Ⅱ）∵函數(shù)的圖像向右平移個單位得到函數(shù)的圖像，∴，∵函數(shù)在區(qū)間（）上的圖像的最高點和最低點分別為，∴最高點為，最低點為，∴，，∴，又，∴．21.為響應(yīng)中央“文化強國”號召，某市2013年計劃投入600萬元加強民族文化基礎(chǔ)設(shè)施改造，根據(jù)估算，改造后該市在一個月內(nèi)（以30天記），民族文化旅游人數(shù)（萬人）與時間（天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足，人均消費元與時間（天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足．（1）求該市旅游日收益（萬元）與時間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若以最低日收益的作為每天的純收入，該市對純收入按的稅率來收回投資，則按此預(yù)計兩年內(nèi)能否收回全部投資？并說明理由．

參考答案：（1）

…………5分(2)……………8分知；