動點(diǎn)的軌跡問題

動點(diǎn)的軌跡問題根據(jù)動點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律求出動點(diǎn)的軌跡方程，這是解析幾何的一大課題：一方面求軌跡方程的實(shí)質(zhì)是將“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，將“曲線”轉(zhuǎn)化為“方程”，通過對方程的研究來認(rèn)識曲線的性質(zhì)；另一方面求軌跡方程是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形轉(zhuǎn)化的思想、方法以及技巧的極好教材。該內(nèi)容不僅貫穿于“圓錐曲線”的教學(xué)的全過程，而且在建構(gòu)思想、函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等方面均有體現(xiàn)和滲透。軌跡問題是高考中的一個熱點(diǎn)和重點(diǎn)，在歷年高考中出現(xiàn)的頻率較高，特別是當(dāng)今高考的改革以考查學(xué)生創(chuàng)新意識為突破口，注重考查學(xué)生的邏輯思維能力，運(yùn)算能力，分析問題和解決問題的能力，而軌跡方程這一熱點(diǎn)，常涉及函數(shù)、三角、向量、幾何等知識，能很好地反映學(xué)生在這些能力方面的掌握程度。求軌跡方程的的基本步驟：建設(shè)現(xiàn)代化（檢驗(yàn)）建（坐標(biāo)系）設(shè)（動點(diǎn)坐標(biāo)）現(xiàn)（限制條件，動點(diǎn)、已知點(diǎn)滿足的條件）代（動點(diǎn)、已知點(diǎn)坐標(biāo)代入）化（化簡整理）檢驗(yàn)（要注意定義域“挖”與“補(bǔ)”）求軌跡方程的的基本方法：1．直接法：如果動點(diǎn)運(yùn)動的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡單明確，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法。2．定義法：運(yùn)用解析幾何中一些常用定義（例如圓錐曲線的定義），可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程。3.代入法：動點(diǎn)所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動點(diǎn)P(x,y)卻隨另一動點(diǎn)Q(x’，y’)的運(yùn)動而有規(guī)律的運(yùn)動，且動點(diǎn)Q的軌跡為給定或容易求得，則可先將x’,y’表示為x,y的式子，再代入Q的軌跡方程，然而整理得P的軌跡方程，代入法也稱相關(guān)點(diǎn)法。4.參數(shù)法：求軌跡方程有時很難直接找到動點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，則可借助中間變量（參數(shù)），使x,y之間建立起聯(lián)系，然而再從所求式子中消去參數(shù)，得出動點(diǎn)的軌跡方程。5.交軌法：求兩動曲線交點(diǎn)軌跡時，可由方程直接消去參數(shù)，例如求兩動直線的交點(diǎn)時常用此法，也可以引入?yún)?shù)來建立這些動曲線的聯(lián)系，然而消去參數(shù)得到軌跡方程。可以說是參數(shù)法的一種變種。6.轉(zhuǎn)移法：如果動點(diǎn)P隨著另一動點(diǎn)Q的運(yùn)動而運(yùn)動，且Q點(diǎn)在某一已知曲線上運(yùn)動，那么只需將Q點(diǎn)的坐標(biāo)來表示，并代入已知曲線方程，便可得到P點(diǎn)的軌跡方程。7.幾何法：利用平面幾何或解析幾何的知識分析圖形性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)動點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律和動點(diǎn)滿足的條件，然而得出動點(diǎn)的軌跡方程。8.待定系數(shù)法：求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數(shù)法求。9.點(diǎn)差法：求圓錐曲線中點(diǎn)弦軌跡問題時，常把兩個端點(diǎn)設(shè)為并代入圓錐曲線方程，然而作差求出曲線的軌跡方程。此部分內(nèi)容主要考查圓錐曲線，圓錐曲線的定義是根本，它是相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)的“源”。對于圓錐曲線的有關(guān)問題，要有運(yùn)用圓錐曲線定義解題的意識，“回歸定義”是一種重要的解題策略。二、注意事項(xiàng)：1.求軌跡方程的關(guān)鍵是在紛繁復(fù)雜的運(yùn)動變化中，發(fā)現(xiàn)動點(diǎn)P的運(yùn)動規(guī)律，即P點(diǎn)滿足的等量關(guān)系，因此要學(xué)會動中求靜，變中求不變。來表示，若要判斷軌跡方程表示何種曲線，則往往需將參數(shù)方程化為普通方程。3.求出軌跡方程后，應(yīng)注意檢驗(yàn)其是否符合題意，既要檢驗(yàn)是否增解，（即以該方程的某些解為坐標(biāo)的點(diǎn)不在軌跡上），又要檢驗(yàn)是否丟解。（即軌跡上的某些點(diǎn)未能用所求的方程表示），出現(xiàn)增解則要舍去，出現(xiàn)丟解，則需補(bǔ)充。檢驗(yàn)方法：研究運(yùn)動中的特殊情形或極端情形。4．求軌跡方程還有整體法等其他方法。在此不一一綴述?！镜湫屠}選講】一、直接法題型：例1已知直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Q（2，0），圓C的方程為，動點(diǎn)M到圓C的切線長與的比等于常數(shù)，求動點(diǎn)M的軌跡。解：設(shè)MN切圓C于N，則。設(shè)，則化簡得（1）當(dāng)時，方程為，表示一條直線。（2）當(dāng)時，方程化為表示一個圓。說明：求軌跡方程一般只要求出方程即可，求軌跡卻不僅要求出方程而且要說明軌跡是什么。變式--如圖，圓與圓的半徑都是1，，過動點(diǎn)P分別作圓、圓的切線PM、PN（M、N分別為切點(diǎn)），使得．試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動點(diǎn)P的軌跡方程．解：以的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則由已知可得：因?yàn)閮蓤A的半徑均為1，所以設(shè)，則，即解法二：設(shè)△AOB的重心為G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),則（1）∵OA⊥OB∴,即，……(2)又點(diǎn)A，B在拋物線上，有，代入（2）化簡得∴所以重心為G的軌跡方程為。2〉如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，動點(diǎn)P在直線上運(yùn)動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).求△APB的重心G的軌跡方程.【解析】設(shè)切點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為，∴切線AP的方程為：切線BP的方程為：解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為：所以△APB的重心G的坐標(biāo)為，所以，由點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動，從而得到重心G的軌跡方程為：評析：1.用參數(shù)法求軌跡是高考中常考的重要題型，由于選參靈活，技巧性強(qiáng)，也是學(xué)生較難掌握的一類問題。2.選用什么變量為參數(shù)，要看動點(diǎn)隨什么量的變化而變化，常見的參數(shù)有：斜率、截距、定比、角、點(diǎn)的坐標(biāo)等。3.要特別注意消參前后保持范圍的等價性。4.多參問題中，根據(jù)方程的觀點(diǎn)，引入n個參數(shù)，需建立n+1個方程，才能消參（特殊情況下，能整體處理時，方程個數(shù)可減少）。五、交軌法與幾何法題型求兩動曲線交點(diǎn)軌跡時，可由方程直接消去參數(shù)，例如求兩動直線的交點(diǎn)時常用此法，也可以引入?yún)?shù)來建立這些動曲線的聯(lián)系，然而消去參數(shù)得到軌跡方程?？梢哉f是參數(shù)法的一種變種。例5拋物線的頂點(diǎn)作互相垂直的兩弦OA、OB，求拋物線的頂點(diǎn)O在直線AB上的射影M的軌跡。（考例5）解1（交軌法）：點(diǎn)A、B在拋物線上，設(shè)A（，B（所以kOA=kOB=,由OA垂直O(jiān)B得kOAkOB=-1，得yAyB=-16p2,又AB方程可求得，即（yA+yB）y--4px--yAyB=0,把yAyB=-16p2代入得AB方程（yA+yB）y--4px+16p2=0①又OM的方程為②由①②消去得yA+yB即得，即得。所以點(diǎn)M的軌跡方程為，其軌跡是以為圓心，半徑為的圓,除去點(diǎn)（0，0）。說明：用交軌法求交點(diǎn)的軌跡方程時，不一定非要求出交點(diǎn)坐標(biāo)，只要能消去參數(shù)，得到交點(diǎn)的兩個坐標(biāo)間的關(guān)系即可。交軌法實(shí)際上是參數(shù)法中的一種特殊情況。解2（幾何法）：由解1中AB方程（yA+yB）y--4px+16p2=0可得AB過定點(diǎn)（4p,0）而OM垂直AB，所以由圓的幾法性質(zhì)可知：M點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓。所以方程為，除去點(diǎn)（0，0）。六、點(diǎn)差法：例6（2004年福建，22）如圖，P是拋物線C：上一點(diǎn)，直線過點(diǎn)P且與拋物線C交于另一點(diǎn)Q。若直線與過點(diǎn)P的切線垂直，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程。（圖見教材P129頁例2）。解：設(shè)由（1）得，過點(diǎn)P的切線的斜率，直線的斜率，直線的方程為（2）方法一、（利用韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式）聯(lián)立（1）（2）消去得， M為PQ的中點(diǎn)，消去 PQ中點(diǎn)為M的軌跡方程為方法二（點(diǎn)差法）由得則。將上式代入（2）并整理，得 PQ中點(diǎn)為M的軌跡方程為說明：本題主要考查了直線、拋物線的基礎(chǔ)知識，以及求軌跡方程的常用方法，本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率以及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題。七、向量法：圖6例7、（1995全國理）已知橢圓如圖6，＝1，直線L：＝1，P是L上一點(diǎn)，射線OP交橢圓于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在OP上且滿足|OQ|·|OP|＝|OR|2.當(dāng)點(diǎn)P在L上移動時，求點(diǎn)Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線圖6本題解法較多，是一道有難度的多動點(diǎn)軌跡問題，如果用常規(guī)方法求解，其過程曲折，運(yùn)算繁雜，而利用向量作形與數(shù)的轉(zhuǎn)化，由此展開思路，不僅減少運(yùn)算量，其過程也就變得平坦自然總結(jié)：以上給出了處理軌跡問題的幾種常用方法，對于下面幾點(diǎn)，在復(fù)習(xí)軌跡問題時是值得我們引起高度重視的：1.高考方向要把握高考考查軌跡問題通常是以下兩類：一類是容易題，以定義法、相關(guān)點(diǎn)法、待定系數(shù)法等為主，另一類是高難度的純軌跡問題，綜合考查各種方法。2.“軌跡”、“方程”要區(qū)分求軌跡方程，求得方程就可以了；若是求軌跡，求得方程還不夠，還應(yīng)指出方程所表示的曲線類型（定形、定位、定量）。3.抓住特點(diǎn)選方法處理軌跡問題成敗在于：對各種方法的領(lǐng)悟與解題經(jīng)驗(yàn)的積累。所以在處理軌跡問題時一定要善于根據(jù)題目的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄊ裁辞闆r下用什么方法上面已有介紹，這里不再重復(fù)）。4.認(rèn)真細(xì)致定范圍確定軌跡的范圍是處理軌跡問題的難點(diǎn)，也是學(xué)生容易出現(xiàn)錯誤的地方，在確定軌跡范圍時，應(yīng)注意以下幾個方面：

①準(zhǔn)確理解題意，挖掘隱含條件；

②列式不改變題意，并且要全面考慮各種情形；③推理要嚴(yán)密，方程化簡要等價；

④消參時要保持范