數(shù)學(xué)人教八年級上冊（2013年新編）13-1-2 線段垂直平分線的性質(zhì)和判定（當(dāng)堂達(dá)標(biāo)）

13.1.2線段垂直平分線的性質(zhì)和判定夯實(shí)基礎(chǔ)篇一、單選題：1．如圖，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，則△BDC的周長是（）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】B【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)【解析】【解答】設(shè)邊AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，

∵ED是AB的垂直平分線，

∴AD=BD，

∵△BDC的周長=DB+BC+CD，

∴△BDC的周長=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10.故答案為：B.

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形周長的計(jì)算，掌握轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.2．如圖，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，垂足為D，CE平分∠ACB．若BE=2，則AE的長為（）A． B．1 C． D．2【答案】B【知識點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分線交AB于E，BE=2，∴BE=CE=2，∴∠B=∠DCE=30°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°．在Rt△CAE中，∵∠A=90°，∠ACE=30°，CE=2，∴AE=CE=1．故選B．【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出BE=CE=2，故可得出∠B=∠DCE=30°，再由角平分線定義得出∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°，然后在Rt△CAE中根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得出AE=CE=1．3．如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于AB長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M，N，作直線MN分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，連結(jié)CD，BE.下列結(jié)論中，錯誤的是()A．AD=CD B．BE>CDC．∠BEC=∠BDC D．BE平分∠CBD【答案】D【知識點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)【解析】【解答】解：由作圖可得，DE是AB的垂直平分線，

∴AE=BE，AD=BD，

∴點(diǎn)D為AB的中點(diǎn).

∵∠ACB=90°，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，

∴CD為Rt△ABC的邊AB上的中線，

∴CD=AD=BD，故A選項(xiàng)正確；

∵DE⊥AB，

∴Rt△ADE中，AE＞AD.

∵AE＞AD。AE=BE，AD=CD，

∴BE＞CD，故B選項(xiàng)正確；

∵∠BEC是等腰△ABE的外角，

∴∠BEC=2∠A.

∵∠BDC是等腰△ACD的外角，

∴∠BDC=2∠A，

∴∠BEC=∠BDC，故C選項(xiàng)正確；

∵當(dāng)∠A=30°時，∠ABE=30°=∠CBE，

∴當(dāng)∠A=30°時，BE平分∠ABC，

而∠A不一定為30°，

∴BE不一定平分∠CBD，故D選項(xiàng)錯誤.

故答案為：D.

【分析】由作圖可得，DE是AB的垂直平分線，然后由線段垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可推出AD與CD的關(guān)系，據(jù)此判斷A選項(xiàng)；

由直角三角形中斜邊最長結(jié)合AD、BD、CD的關(guān)系可判斷B選項(xiàng)；

由三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和可得∠BEC=2∠A，∠BDC=2∠A，據(jù)此判斷C選項(xiàng)；

當(dāng)∠A=30°時，∠ABE=30°=∠CBE，然后根據(jù)∠A的度數(shù)判斷D選項(xiàng).4．如圖，BD是△ABC的角平分線，AE⊥BD，垂足為F.若∠ABC＝35°，∠C＝50°，則∠CDE的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．47.5° D．50°【答案】B【知識點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)【解析】【解答】解：∵BD是△ABC的角平分線，AE⊥BD，∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC＝=17.5°，∠AFB＝∠EFB＝90°，∴∠BAF＝∠BEF＝90°﹣17.5°＝72.5°，∴AB＝BE，∴AF＝EF，∴AD＝ED，∴∠DAF＝∠DEF，∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣35°﹣50°＝95°，∴∠BED＝∠BAD＝95°，∴∠CDE＝95°﹣50°＝45°，故答案為：B.【分析】根據(jù)角平分線的定義和垂直的定義得到∠ABD＝∠EBD＝∠ABC，∠AFB＝∠EFB＝90°，推出AB＝BE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AF＝EF，根據(jù)中垂線的性質(zhì)求得AD＝ED，得到∠DAF＝∠DEF，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論.5．如圖，△ABC中，AB的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)N，若∠BAC＝70°，則∠EAN的度數(shù)為（）A．35° B．40° C．50° D．55°【答案】B【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)【解析】【解答】解：，，的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)N，，，，，故答案為：B．【分析】由三角形內(nèi)角和180°解得，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，解得，進(jìn)而根據(jù)等邊對等角性質(zhì)，解得，最后根據(jù)角的和差計(jì)算的度數(shù)即可．6．如圖，在△ABC中，DE垂直平分AB，點(diǎn)E為垂足，F(xiàn)G垂直平分AC，點(diǎn)G為垂足，BC=5cm，則△ADF的周長等于（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【答案】B【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)【解析】【解答】∵DE垂直平分AB，F(xiàn)G垂直平分AC，∴AD=BD，AF=CF，∵BC=5cm，∴△ADF的周長為：AD+DF+AF=BD+DF+CF=BC=5(cm).故答案為：B【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)，可證得AD=BD，AF=CF，因此要求△ADF的周長，就轉(zhuǎn)化為△ADF的周長就是線段BC的長。7．如圖，中，，，的垂直平分線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，與，分別交于點(diǎn)D，G，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，F(xiàn)G垂直平分AC，∴EB=EA，F(xiàn)A=FC，∴∠BAE=∠B，∠FAC=∠C，∵△ABC中，∠BAC=130°，∴∠B+∠C=50°，∴∠BAE+∠FAC=50°，∴∠EAF=∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）=80°.故答案為：A.【分析】利用垂直平分線的性質(zhì)可知EA=EB，F(xiàn)A=FC，利用等邊對等角得∠BAE=∠B，∠FAC=∠C；再利用三角形的內(nèi)角和定理可求出∠B+∠C的度數(shù)；然后可用∠EAF=∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）計(jì)算可求解.二、填空題：8．如圖，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，AB的垂直平分線DE交AC于D，則∠DBC的度數(shù)是．【答案】30°【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)【解析】【解答】解：∵∠A=40°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，又∵DE垂直平分AB，∴DB=AD∴∠ABD=∠A=40°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°．故答案為：30°【分析】先根據(jù)等腰三角形性質(zhì)易得∠ABC、∠ACB度數(shù)，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得DB=AD，根據(jù)“等邊對等角”求得∠ABD，最后求得∠DBC度數(shù)。9．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB于點(diǎn)D，BC＝5，AC＝10，則AE的值是．【答案】【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理【解析】【解答】解：∵ED垂直平分AB于點(diǎn)D，∴AE＝BE，設(shè)AE＝x，則BE＝x，故在Rt△ECB中，EC2+BC2＝EB2，（10﹣x）2+52＝x2，解得：x＝．故答案為：．【分析】根據(jù)題意直接利用線段垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合勾股定理進(jìn)而得出答案．10．如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，邊AB的垂直平分線分別交AB，AC邊于點(diǎn)D,E,連結(jié)BE.若AB=10，BC=6，則△ACE的周長是.【答案】14【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)【解析】【解答】解：∵AB=10，BC=6，∠C=90°，

∴AC==8.

∵DE為AB的垂直平分線，

∴AE=BE，

∴△ACE的周長=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=8+6=14.

故答案為：14.

【分析】首先根據(jù)勾股定理求出AC的長，然后由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AE=BE，進(jìn)而將△ACE的周長轉(zhuǎn)化為AC+BC.11．如圖，在中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線分別交，于點(diǎn)D，E.若，的周長為13，則的周長為.【答案】19【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)【解析】【解答】解：由題意可知，DE垂直平分線段AC，∴DA=DC，AE=EC=3，∵的周長為13，∴AB+AD+BD=13，∴AB+BD+DC=13，∴△ABC的周長=AB+BD+DC+AC=13+3+3=19，故答案為：19.【分析】由作法可知，DE垂直平分線段AC，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)“線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等”可得AD=CD，AE=CE，然后根據(jù)三角形的周長等于三邊之和可求解.12．如圖，△ABC中，線段BC的垂直平分線DP與∠BAC的角平分線相交于點(diǎn)D，垂足為點(diǎn)P，若∠BAC=84°，則∠BDC=°．【答案】96【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)【解析】【解答】如圖，做DM⊥AB延長線于M，做DN⊥AC于N

∵AD平分∠BAC，

∴DM=DN

∵DP垂直平分BC

∴BD=DC

∴Rt△BDM≌Rt△CDN

∴∠MDB=∠CDN

∠MDN=∠BDC

又∠DMA=∠DNA=90°，∠BAC=84°

∴∠MDN=96°；

∠BDC=96°【分析】做DM⊥AB延長線于M，做DN⊥AC于N，易由角平分線性質(zhì)和線段垂直平分線性質(zhì)得Rt△BDM≌Rt△CDN，從而得∠MDN=∠BDC，再利用四邊形內(nèi)角和為180°可得∠MDN=96°，因此∠BDC=96°三、解答題：13．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線DE交AC于D，垂足為E，若∠A=30°，CD=3．（1）求∠BDC的度數(shù)．（2）求AC的長度．【答案】解：（1）∵AB的垂直平分線DE交AC于D，垂足為E，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=30°，∴∠BDC=∠ABD+∠A=60°；（2）∵在△ABC中，∠C=90°，∠BDC=60°，∴∠CBD=30°，∴BD=ACD=2×3=6，∴AD=BD=6，∴AC=AD+CD=9．【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；含30°角的直角三角形【解析】【分析】（1）由AB的垂直平分線DE交AC于D，垂足為E，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，易得AD=BD，即可求得∠ABD的度數(shù)，又由三角形外角的性質(zhì)，即可求得答案；（2）易得△BCD是含30°角的直角三角形的性質(zhì)，繼而求得BD的長，則可求得答案．14．如圖，在ABC中，DE垂直平分BC，垂足為E，交AC于點(diǎn)D，連接BD．若∠A=100°，∠ABD=22°，求∠C的度數(shù)．【答案】解：∵DE垂直平分BC，∴DB=DC．∴∠DBC=∠C．∵∠A=100°，∠ABD=22°．∴∠BDC=∠A+∠ABD=122°．∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°，∴∠C=．【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；線段垂直平分線的性質(zhì)【解析】【分析】先求出DB=DC，再求出∠BDC=122°，最后計(jì)算求解即可。15．如圖，在△ABC中，ADBC，垂足是D，∠B=2∠C．求證：AB+BD=DC．【答案】證明：在線段DC上取一點(diǎn)E，使DE=DB，連接AE，∵AD⊥BC，∴AD垂直平分BE，∴AB=AE，∴∠AEB=∠B，∵∠B=2∠C，∴∠AEB=2∠C，∴∠EAC=∠AEB-∠C=2∠C-∠C=∠C，∴AE=CE，∴CE=AE=AB，∴DC=DE+CE=AB+BD，∴AB+BD=DC．【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)【解析】【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行作答即可。16．如圖，AB=AC，∠A=120o，BC=6cm，ED、FG分別是AB，AC的垂直平分線，求BE的長.【答案】解：連接AE、AG，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵DE、FG分別為線段AB、AC的垂直平分線，∴BE=AE，AG=CG，∴∠B=∠BAE=30°，∠C=∠CAG=30°，∵∠AEG與∠AGE分別是△AEB與△AGC的外角，∴∠AEG=∠B+∠BAE=30°+30°=60°，∠AGE=∠C+∠CAG=30°+30°=60°，∴△AEG是等邊三角形，∴AE=EG=AG，∵BE=AE，AG=CG，BC=6cm，∴BE=EG=CG=2cm.【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)【解析】【分析】連接AE、AG，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得：∠B=∠C=30°，然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得：BE=AE，AG=CG，從而得出：∠B=∠BAE=30°，∠C=∠CAG=30°，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得：∠AEG=∠AGE=60°，再根據(jù)等邊三角形的判定可得：△AEG是等邊三角形，從而得出：AE=EG=AG，即可求出BE=EG=CG=2cm.能力提升篇一、單選題:1．如圖，在銳角△ABC中，AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)M，N分別是AD和AB上的動點(diǎn)，則BM＋MN的最小值是（）A．4 B． C．5 D．6【答案】C【知識點(diǎn)】垂線段最短；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；軸對稱的應(yīng)用-最短距離問題【解析】【解答】如圖，∵AD是∠BAC的平分線，∴點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)B′在AC上，過點(diǎn)B′作B′N⊥AB于N交AD于M，由軸對稱確定最短路線問題，點(diǎn)M即為使BM+MN最小的點(diǎn)，B′N=BM+MN，過點(diǎn)B作BE⊥AC于E，∵AC=10，S△ABC=25，∴×10?BE=25，解得BE=5，∵AD是∠BAC的平分線，B′與B關(guān)于AD對稱，∴AB=AB′，∴△ABB′是等腰三角形，∴B′N=BE=5，即BM+MN的最小值是5．故答案為：C．【分析】本題關(guān)鍵是確定點(diǎn)M、N分別在什么位置時，BM+MN最小。首先根據(jù)AD是∠BAC平分線可知點(diǎn)B的對稱點(diǎn)B'必在AC上，再根據(jù)垂線段最短的原理從B'向AB邊引垂線段，與AD、AB的交點(diǎn)即為M、N，因?yàn)榇藭rB'N=MN+B'M=MN+MB。最后利用AB=AB'，結(jié)合等腰三角形兩腰上的高相等把求B'N的長轉(zhuǎn)化為求△ABC邊AC上的高BE，據(jù)此解答即可。2．如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分線AD與邊BC的垂直平分線MD相交于點(diǎn)D，DE⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，現(xiàn)有下列結(jié)論：①DE=DF;②DE+DF=AD;③DM平分∠EDF：④AB+AC=2AE．其中正確的有()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【知識點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；直角三角形全等的判定（HL）；角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴①正確；

又∵∠BAC=60°，∴∠DAE=∠DAF=30°，∴DE=DF=，∴DE+DF=AD，②正確；

連接DB、DC，∵DM垂直平分BC，∴DB=DC，∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL)，∴BE=CF，

同理Rt△ADE≌Rt△ADF，∴AE=AF，∴AB+AC=AE-BE+AF+FC=AE+AF=2AE，∴④正確。

故答案為：C

【分析】連接DB、DC，根據(jù)角平分線、線段中垂線的性質(zhì)定理可知DE=DF、DB=DC，故①正確；利用HL可得兩對全等三角形，從而有AE=AF、BE=CF，據(jù)此可判斷④正確；又由∠DAE=∠DAF=30°，利用含30°直角三角形的性質(zhì)可得DE=DF=，進(jìn)而又得②正確。3．如圖，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB=AD+2BE，則下列結(jié)論：①AB+AD=2AE；②∠DAB+∠DCB=180°；③CD=CB；④S△ACE﹣2S△BCE=S△ADC；其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【知識點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)【解析】【解答】解：①在AE取點(diǎn)F，使EF=BE，∵AB=AD+2BE=AF+EF+BE，EF=BE，∴AB=AD+2BE=AF+2BE，∴AD=AF，∴AB+AD=AF+EF+BE+AD=2AF+2EF=2（AF+EF）=2AE，∴AE=（AB+AD），故①正確；②在AB上取點(diǎn)F，使BE=EF，連接CF.在△ACD與△ACF中，∵AD=AF，∠DAC=∠FAC，AC=AC，∴△ACD≌△ACF，∴∠ADC=∠AFC.∵CE垂直平分BF，∴CF=CB，∴∠CFB=∠B.又∵∠AFC+∠CFB=180°，∴∠ADC+∠B=180°，∴∠DAB+∠DCB=360-（∠ADC+∠B）=180°，故②正確；③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD=CF，又∵CF=CB，∴CD=CB，故③正確；④易證△CEF≌△CEB，所以S△ACE-S△BCE=S△ACE-S△FCE=S△ACF，又∵△ACD≌△ACF，∴S△ACF=S△ADC，∴S△ACE-S△BCE=S△ADC，故④錯誤；即正確的有3個，故答案為：C.【分析】①在AE取點(diǎn)F，使EF=BE.利用已知條件AB=AD+2BE，可得AD=AF，進(jìn)而證出2AE=AB+AD；②在AB上取點(diǎn)F，使BE=EF，連接CF.先由SAS證明△ACD≌△ACF，得出∠ADC=∠AFC；再根據(jù)線段垂直平分線、等腰三角形的性質(zhì)得出∠CFB=∠B；然后由鄰補(bǔ)角定義及四邊形的內(nèi)角和定理得出∠DAB+∠DCB=180°；③根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得出CD=CF，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出CF=CB，從而CD=CB；④由于△CEF≌△CEB，△ACD≌△ACF，根據(jù)全等三角形的面積相等易證S△ACE-S△BCE=S△ADC.二、填空題：4．如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，D為BC的中點(diǎn)，連接AD，E是AB上的一點(diǎn)，P是AD上一點(diǎn)，連接EP、BP，AC=10，BC=12，則EP+BP的最小值是.【答案】9.6【知識點(diǎn)】垂線段最短；三角形的面積；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)【解析】【解答】解：連接PC，

∵∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

∵D為BC的中點(diǎn)，

∴AD垂直平分BC，BD=BC=6

∴BP=CP，

∴EP+BP=EP+CP

要使EP+BP的值最小，利用兩點(diǎn)之間線段最短和垂線段最短，可知當(dāng)點(diǎn)E，P，C在同一直線上時，且CE⊥AB時，EP+BP的值最小，最小值為EC的長；

∵，

∴10CE=12×8

解之：CE=9.6.

故答案為：9.6.

【分析】連接PC，利用已知易證△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)可求出BD的長，利用勾股定理求出AD的長，利用垂直平分線的性質(zhì)可證得BP=PC；由此可得到EP+BP=EP+CP，要使EP+BP的值最小，利用兩點(diǎn)之間線段最短和垂線段最短，可知當(dāng)點(diǎn)E，P，C在同一直線上時，且CE⊥AB時，EP+BP的值最小，最小值為EC的長；然后三角形的面積公式可求出CE的長.5．如圖所示，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，分別作出點(diǎn)關(guān)于、的對稱點(diǎn)，，連接交于，交于，，則的周長為，.【答案】15；96°【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；軸對稱的性質(zhì)【解析】【解答】解：∵P點(diǎn)關(guān)于OA的對稱是點(diǎn)P1，P點(diǎn)關(guān)于OB的對稱點(diǎn)P2，∴PM=P1M，PN=P2N．∴△PMN的周長為PM+PN+MN=MN+P1M+P2N=P1P2=15．∵P點(diǎn)關(guān)于OA的對稱是點(diǎn)P1，P點(diǎn)關(guān)于OB的對稱點(diǎn)P2，∴OA垂直平分PP1，OB垂直平分PP2∴PM=P1M，PN=P2N．∴∠PMN=2∠P1，∠PNM=2∠P2，∵PP1⊥OA,PP2⊥OB,，∴∠P2PP1=180°-∠AOB=138°,∴∠P1+∠P2=42°∴∠MPN=180°-42°×2=96°故答案為：15,96°.【分析】利用軸對稱的性質(zhì)，可得到PM=P1M，PN=P2N，就可證得△PMN的周長就等于P1P2的長；利用線段垂直平分線的性質(zhì)，可證得PM=P1M，PN=P2N，利用等邊對等角及三角形的外角的性質(zhì)，易證∠PMN=2∠P1，∠PNM=2∠P2，再求出∠P1+∠P2的值，然后利用三角形內(nèi)角和定理就可求出結(jié)果。6．在△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交邊BC于點(diǎn)D、E，若∠DAE=40°，則∠BAC的度數(shù)為.【答案】20°或110°【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；線段垂直平分線的性質(zhì)【解析】【解答】（1）當(dāng)△ABC為銳角三角形時，易知∠ABE=∠BAE，∠DAC=∠DCA，∠ACE=∠ADE–∠DAC，∠EBA=2∠ACB+∠DAB，求得∠BAC=∠BAD+∠DAC=20°.（2）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，∠DAB=∠B，∠C=∠EAC，所以，2（∠B+∠C）+40°=180°，求得∠BAC=110°.【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段的兩個端點(diǎn)的距離相等，再由等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理，求出∠BAC的度數(shù).7．如圖，△ABC中（AB＞BC），G在CB的延長線上，邊AC的垂直平分線DE與∠ABG的角平分線交于點(diǎn)M，與AB交于點(diǎn)D，與AC相交于E，MN⊥AB于N.已知AB=13，BC=9，MN=3，則△BMN的面積是.【答案】3【知識點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)【解析】【解答】解：如圖，連接AM，CM，做MK⊥CG，垂足為K，∵M(jìn)E為AC的垂直平分線，∴AM=MC，∵BM平分∠ABG，MN⊥AB，MK⊥CG，∴∠MBK=∠MBN，∠MKB=∠MNB=90°，又∵M(jìn)B=MB，∴△MBK≌△MBN，∴MN=MK，BK=BN，∴Rt△AMN≌Rt△CMK，∴AN=CK，∴AN=CK=BC+BK=BC+BN，∴BN=AN-BC=AB-BN-BC，∴2BN=AB-BC=13-9=4，