人教版八年級(jí)上冊(cè)1三角形全等的判定-HL

三角形全的判定——HL問(wèn)題如圖，舞臺(tái)背景的形狀是兩個(gè)直角三角形，為了美觀，工作人員想知道這兩個(gè)直角三角形是否全等，但每個(gè)三角形都有一條直角邊被花盆遮住無(wú)法測(cè)量．你能幫工作人員想個(gè)辦法嗎？分析：已知一組相等的直角，還需添加什么條件，才能判定全等呢？（1）如果用直尺和量角器兩種工具，你能解決這個(gè)問(wèn)題嗎？測(cè)量任意一組對(duì)應(yīng)角以及未被遮擋的任意一組對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度.ASA、AAS（2）如果只用直尺，你能解決這個(gè)問(wèn)題嗎？測(cè)量未被遮擋的直角邊以及斜邊如果兩個(gè)直角三角形的一條直角邊和斜邊分別相等，這兩個(gè)直角三角形全等嗎？

操作

任意畫(huà)一個(gè)Rt△ABC，使∠C=90°，再畫(huà)一個(gè)Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB，然后把畫(huà)好的Rt△A′B′C′剪下來(lái)放到Rt△ABC上，你發(fā)現(xiàn)了什么？ABC現(xiàn)象：兩個(gè)三角形放在一起能完全重合．說(shuō)明：這兩個(gè)三角形全等．條件：∠C=∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB“HL”判定方法:斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)寫(xiě)為“斜邊、直角邊”或“HL”）．NMC′ABCA′

B′

用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá):在Rt△ABC與Rt△A′B′C′中，∴

Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）．AB=A′B′，

BC=B′C′，

∵

NMC′ABCA′

B′

例

如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD．求證：BC=AD．ABCD證明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C=∠D=90°.在Rt△ABC和Rt△BAD

中，AB=BA，AC=BD，∴

Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）.∴

BC=AD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）．變式.如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，要證△ABC≌△BAD，需要添加一個(gè)什么條件？請(qǐng)說(shuō)明理由．ABCD（1）AD=BC

理由：HL（2）AC=BD

理由：HL（3）∠DBA

=

∠CAB

理由：AAS（4）∠DAB

=

∠CBA

理由：AAS

例

如圖，C

是路段AB的中點(diǎn)，兩人從C同時(shí)出發(fā)，

以相同的速度分別沿兩條直線行走，并同時(shí)到達(dá)D，E兩地．DA⊥AB，EB⊥AB．D，E與路段AB的距離相等嗎？

為什么？ABCDE分析：CA=CBCD=CE∠A=∠B=90°？？解：D,E與線段AB的距離相等.理由：∵C是路段AB的中點(diǎn)，∴AC=BC.∵DA⊥AB，EB⊥AB，∴∠A=∠B=90°.CD=CE，AC=CB，在Rt△ADC

和Rt△BEC

中，∴

Rt△ADC

≌

Rt△BEC

(HL).∴

AD

=BE.∴

D,E與線段AB的距離相等.例

如圖，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，CE=BF．求證：（1）AE=DF

;

（2）CD//AB.ABCDEF分析：

CE-EF=BF-EF,即CF=BERt△ABE

≌

Rt△DCF（HL）

AE=DF∠B=∠C

CD//AB證明：∵CE=BF，∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEB=∠DFC=90°.AB=DC，CF=BE，在Rt△ABE

和Rt△DCF中，∴

Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）．∴

AE=DF，∠B=∠C.∴

CD//AB.∴CE-EF=BF-EF，即CF=BE.例

如圖，已知AB=AC，AE=AF，AE⊥EC，AF⊥BF，垂足分別是點(diǎn)E、F.求證：∠1=∠2.ABCEF12分析：Rt△AEC≌Rt△AFB（HL）∠EAC=∠BAF∠1=∠2證明：∵

AE⊥EC，AF⊥BF，∴∠E=∠F=90°.在Rt△AEC

和Rt△AFB中，AC=AB，AE=AF，∴

Rt△AEC≌Rt△AFB（HL）.∴

∠EAC=∠FAB（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）.∴∠EAC-∠BAC=∠FAB-∠BAC.∴∠1=∠2.ABCEF12變式.在上題的基礎(chǔ)上，設(shè)EC與AB交于點(diǎn)M，BF與AC交于點(diǎn)N，那么EM和FN相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.MN？？解：EM=FN.理由：在Rt△AEM

與Rt△AFN中，∴Rt△AEM≌Rt△AFN（ASA）.∴EM=FN(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).∠1

=∠2，AE=AF，∠E=∠F=90o

，

ABCEF12MN課堂小結(jié)

課堂小結(jié)判定兩個(gè)直角三角形全等有哪些方法？SSS、SAS、ASA、AAS、HL由于已有直角條件，我們多使用后4個(gè)有角的條件的判定方法.

課堂小結(jié)

“HL”判定方法應(yīng)滿足什么條件？

與之前所學(xué)的四種判定方法有什么不同？“HL”判定方法：

斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等．

此判定方法只適用于直角三角形，而之前所學(xué)的判定適用于任意三角形.

課堂小結(jié)

“HL”判定方法應(yīng)滿足什么條件？

與之前所學(xué)的四種判定方法有什么不同？“HL”判定方法：

斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等．

此判定方法在直角三角形的前提下，只需滿足兩條邊（斜邊與一直角邊）相等即可；之前的判定方法都需滿足三個(gè)條件.課后作業(yè)

1.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是高.求證：（