不定積分(刑科)教學課件

第四章不定積分一元函數(shù)的積分學分成不定積分和定積分兩部分，這兩種積分密切相關(guān)。函數(shù)的不定積分運算實質(zhì)上是函數(shù)的微分運算的逆運算。第一節(jié)原函數(shù)和不定積分概念問題的引入

已知s=s(t),求v(t)，這是微分學中的問題

若已知v=v(t),求s(t)，這是相反的問題

從數(shù)學的角度說，它的實質(zhì)是：要找函數(shù)s=s(t)，使它的導數(shù)等于已知函數(shù)v(t)為此，我們引入原函數(shù)的概念一、原函數(shù)

定義：已知是一個定義在某一區(qū)間內(nèi)的函數(shù)，如果存在函數(shù)使得在該區(qū)間內(nèi)的任意一點都有

或那么，在該區(qū)間內(nèi)稱是的一個原函數(shù)例問題：1具備什么條件，保證其原函數(shù)存在？2的原函數(shù)有多少個？相互之間什么關(guān)系？3是否包含了所有的原函數(shù)？回答：1存在定理：若在某區(qū)間內(nèi)連續(xù)，則在該區(qū)間內(nèi)原函數(shù)一定存在(連續(xù)是原函數(shù)存在的充分條件）是的一個原函數(shù)，一定是的一族原函數(shù)，顯然，原函數(shù)有無窮多個3設(shè)和是的任意兩個原函數(shù)，所以，包含了的所有原函數(shù)任意常數(shù)積分號被積函數(shù)被積表達式積分變量若F(x)是f(x)在區(qū)間I內(nèi)的一個原函數(shù),則f(x)在區(qū)間I內(nèi)的全體原函數(shù)稱為f(x)在區(qū)間I內(nèi)的不定積分,二、不定積分

1常數(shù)C的任意性應(yīng)特別強調(diào)，如，，等都是的原函數(shù)，但只有才是的不定積分2由于中隱含了常數(shù)C，所以稱積分為“不定”積分，因此當不定積分符號消失后，一定要加上不定常數(shù)C

說明：由此可知，求已知函數(shù)的不定積分，歸結(jié)為找它的一個原函數(shù)后，再加上任意常數(shù)C例1求解：例2求解：例3設(shè)曲線過點(1,2)，且其上任一點的切線斜率等于這一點橫坐標的兩倍，求此曲線方程。解：設(shè)曲線方程為即為的一個原函數(shù)是中的一條，它過(1,2)是全體原函數(shù)故：曲線方程為三、不定積分的幾何意義不定積分稱為積分曲線族,且在橫坐標相同的每條曲線上的切線斜率相等.為平面上的一條曲線.為平面上的一族曲線.設(shè)F(x)是f(x)的一個原函數(shù)第二節(jié)不定積分的性質(zhì)和基本積分表一、不定積分的性質(zhì)

實例啟示能否根據(jù)求導公式得出積分公式？結(jié)論既然積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據(jù)求導公式得出積分公式.二、基本積分表基本積分表⑴是常數(shù));例1例2（可用除法得到）例3例4例5例6例7例8例9例10例11例12已知解:例13設(shè)解:第三節(jié)換元積分法一、第一類換元法（湊微分法）問題？定理1第一類換元法實質(zhì)是復合函數(shù)微分法則的逆用說明被積函數(shù)的特征例1求下列不定積分例小結(jié)：1利用第一類換元法求不定積分，如何選擇無一般規(guī)律可循，應(yīng)熟悉一些典型的例子，多練習。2同一函數(shù)的不定積分，用不同的方法可得到形式不同的結(jié)果，但可以證明它們之間僅相差一個任意常數(shù)。3利用第一類換元法時，若設(shè)，求出結(jié)果后，應(yīng)將代入結(jié)果中。而相差一個常數(shù)而相差一個常數(shù)二、第二類換元法設(shè)是單調(diào)、可導函數(shù)，且，則換元對t積分還原事實上例1（1）解：設(shè)

（2）（3）解（2）設(shè)

原式

（3）設(shè)

原式

新增公式

例2解：設(shè)

原式

第四節(jié)分部積分法乘積的微分公式

于是或當不容易計算，而