廣義振動(dòng)任一物理量如位移電流等在某一數(shù)值附近反課件

廣義振動(dòng)：任一物理量(如位移、電流等)在某一數(shù)值附近反復(fù)變化。

振動(dòng)分類(lèi)非線性振動(dòng)線性振動(dòng)受迫振動(dòng)自由振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)：物體在一定位置附近作來(lái)回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)。例如交流電中的電流強(qiáng)度、電壓等.4-1

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征最簡(jiǎn)單最基本的線性振動(dòng)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)：一個(gè)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)的物體，如果其偏離平衡位置的位移x（或角位移）隨時(shí)間t按余弦（或正弦）規(guī)律變化的振動(dòng)。xto簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)復(fù)雜振動(dòng)合成分解一、彈簧振子模型彈簧振子：彈簧—物體系統(tǒng)平衡位置：彈簧處于自然狀態(tài)的穩(wěn)定位置輕彈簧—質(zhì)量忽略不計(jì)，形變滿足胡克定律物體—可看作質(zhì)點(diǎn)彈性力F和位移x恒反向，始終指向平衡位置，稱(chēng)為回復(fù)力。如某力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可歸結(jié)為上式的形式，且其中ω僅決定于振動(dòng)系統(tǒng)本身的性質(zhì)，則該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)即為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的微分方程這個(gè)方程的解為：?jiǎn)螖[結(jié)論：?jiǎn)螖[的小角度擺動(dòng)振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。角頻率,振動(dòng)的周期分別為：當(dāng)時(shí)二、微振動(dòng)的簡(jiǎn)諧近似擺球?qū)點(diǎn)的力矩復(fù)擺：繞不過(guò)質(zhì)心的水平固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體結(jié)論：復(fù)擺的小角度擺動(dòng)振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。當(dāng)時(shí)任何一個(gè)物理量（例如長(zhǎng)度、角度、電流等）的變化規(guī)律凡滿足上式，且其中ω僅決定于振動(dòng)系統(tǒng)本身的性質(zhì)，則該物理量作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。其通解為：一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程4-2

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的微分方程簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程因此，簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律既可以用正弦也可以用余弦函數(shù)表示。二、描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征量1、振幅A簡(jiǎn)諧振動(dòng)物體離開(kāi)平衡位置的最大位移（或角位移）的絕對(duì)值。初始條件振幅A是由初始條件決定的。頻率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)。2、周期、頻率、圓頻率對(duì)彈簧振子角頻率固有角頻率、固有周期、固有頻率周期T：物體完成一次全振動(dòng)所需時(shí)間。單擺復(fù)擺0

是t=0時(shí)刻的位相—初位相3、位相和初位相—位相，決定諧振動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)位相差=2k

,k=0,±1,±2…,兩振動(dòng)步調(diào)相同,稱(chēng)同相=(2k+1)

,k=0,±1,±2...兩振動(dòng)步調(diào)相反,稱(chēng)反相2

超前于1

或1滯后于

2

位相差反映了兩個(gè)振動(dòng)不同程度的參差錯(cuò)落兩個(gè)振動(dòng)在同一時(shí)刻的相位之差或同一振動(dòng)在不同時(shí)刻的相位之差。對(duì)于同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)、同時(shí)刻的相位差對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，若振幅、周期和初相位已知，就可以寫(xiě)出完整的運(yùn)動(dòng)方程，即掌握了該運(yùn)動(dòng)的全部信息，因此我們把振幅、周期和初相位叫做描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的三個(gè)特征量。三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法0t=0xt+0t=toX用旋轉(zhuǎn)矢量表示相位關(guān)系同相反相諧振動(dòng)的位移、速度、加速度之間的位相關(guān)系toTavxT/4T/4由圖可見(jiàn)：xt+o·例:如圖m=2×10-2kg,彈簧的靜止形變?yōu)閘=9.8cm,

t=0時(shí)x0=-9.8cm,v0=0⑴

取開(kāi)始振動(dòng)時(shí)為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，寫(xiě)出振動(dòng)方程；（2）若取x0=0，v0>0為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，寫(xiě)出振動(dòng)方程,并計(jì)算振動(dòng)頻率。XOmx解：⑴確定平衡位置

mg=kl

取為原點(diǎn)

k=mg/l

令向下有位移x,則f=mg–k(l+x)=-kx作諧振動(dòng)設(shè)振動(dòng)方程為由初條件得由x0=Acos0=-0.098<0cos0<0,取0=振動(dòng)方程為：x=9.810-2cos(10t+)mXOmx(2)按題意t=0

時(shí)x0=0，v0>0

x0=Acos0=0,cos0=00=/2,3/2

v0=-Asin>0,sin0

<0,取0=3/2x=9.810-2cos(10t+3/2)m對(duì)同一諧振動(dòng)取不同的計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同，但、A不變固有頻率例:如圖所示，振動(dòng)系統(tǒng)由一倔強(qiáng)系數(shù)為k的輕彈簧、一半徑為R、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I的定滑輪和一質(zhì)量為m的物體所組成。使物體略偏離平衡位置后放手，任其振動(dòng)，試證物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求其周期T.mm解：取位移軸ox，m在平衡位置時(shí)，設(shè)彈簧伸長(zhǎng)量為l，則mm當(dāng)m有位移x時(shí)聯(lián)立得物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)例已知某簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度與時(shí)間的關(guān)系曲線如圖所示，試求其振動(dòng)方程。解：方法1設(shè)振動(dòng)方程為故振動(dòng)方程為方法2：用旋轉(zhuǎn)矢量法輔助求解。v的旋轉(zhuǎn)矢量與v軸夾角表示t時(shí)刻相位由圖知以彈簧振子為例諧振動(dòng)系統(tǒng)的能量=系統(tǒng)的動(dòng)能Ek+系統(tǒng)的勢(shì)能Ep某一時(shí)刻，諧振子速度為v，位移為x諧振動(dòng)的動(dòng)能和勢(shì)能是時(shí)間的周期性函數(shù)4-3

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量動(dòng)能勢(shì)能情況同動(dòng)能。機(jī)械能簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒xtTEEpoEtEk(1/4)kA2由起始能量求振幅實(shí)際振動(dòng)系統(tǒng)系統(tǒng)沿x軸振動(dòng)，勢(shì)能函數(shù)為Ep(x)，勢(shì)能曲線存在極小值，該位置就是系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡位置。在該位置（取x=0）附近將勢(shì)能函數(shù)作級(jí)數(shù)展開(kāi)微振動(dòng)系統(tǒng)一般可以當(dāng)作諧振動(dòng)處理4-4簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成一、兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成某質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)同頻率且在同一條直線上的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合振動(dòng)1、應(yīng)用解析法令2、應(yīng)用旋轉(zhuǎn)矢量法xy合成振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)演示3、討論合振幅最大情況1稱(chēng)為干涉相長(zhǎng)，當(dāng)情況2合振幅最小稱(chēng)為干涉相消，當(dāng)情況3：一般情況合振動(dòng)不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)式中隨t緩變隨t快變合振動(dòng)可看作振幅緩變的簡(jiǎn)諧振動(dòng)二.同方向相同振幅、不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成分振動(dòng)合振動(dòng)當(dāng)21時(shí),拍

合振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象拍頻:單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù)

=|2-1|

xtx2tx1t一、阻尼振動(dòng)能量隨時(shí)間減小的振動(dòng)稱(chēng)阻尼振動(dòng)或減幅振動(dòng)。4-5

阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)共振1、阻尼振動(dòng)的概念2、阻尼振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程（系統(tǒng)受到弱介質(zhì)阻力而衰減）弱介質(zhì)阻力是指振子運(yùn)動(dòng)速度較低時(shí)，介質(zhì)對(duì)物體的阻力僅與速度的一次方成正比振子受阻力—阻力系數(shù)振子動(dòng)力學(xué)方程振子受阻力系統(tǒng)固有角頻率阻尼系數(shù)方程的解與阻尼的大小有關(guān)，下面我們討論三種情況。弱阻尼1.弱阻尼每一周期內(nèi)損失的能量越小，振幅衰減越慢，周期越接近于諧振動(dòng)。阻尼振動(dòng)的振幅按指數(shù)衰減阻尼振動(dòng)的準(zhǔn)周期可見(jiàn)，阻尼振動(dòng)的周期比系統(tǒng)的周期長(zhǎng)2.臨界阻尼臨界阻尼系統(tǒng)不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而是較快地回到平衡位置并停下來(lái)過(guò)阻尼3.過(guò)阻尼系統(tǒng)不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而是非常緩慢地回到平衡位置二、受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)振動(dòng)系統(tǒng)在周期性外力作用下的振動(dòng)。弱阻尼諧振子系統(tǒng)在策動(dòng)力作用下的受迫振動(dòng)的方程令周期性外力——策動(dòng)力設(shè)：穩(wěn)定解(1)頻率:等于策動(dòng)力的頻率(2)振幅: