微分方程的物理背景

微分方程的物理背景第1頁(yè)，課件共13頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.質(zhì)點(diǎn)的彈性振動(dòng)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束F(t)yo已確定的自然規(guī)律：1.牛頓第二定律:F=ma

2.胡克(Hooke.R)定律:質(zhì)點(diǎn)受到的彈性回復(fù)力與位移成正比，即f2=-ky其它事實(shí)：質(zhì)點(diǎn)在介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)所受阻力與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度成正比，即f1=-rv.令質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的距離為y(t),介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)所受阻力為f1，彈性回復(fù)力為f2，所受外力為F=f3，各力的數(shù)學(xué)表示代入牛頓第二定律得：即得再令得規(guī)范式第2頁(yè)，課件共13頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月特例1：真空中落體運(yùn)動(dòng)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束當(dāng)r=k=0,即介質(zhì)阻尼與彈性約束為0，且F=mg,則微分方程為再若t=0時(shí)，v(0)=v0,y(0)=y0則得特例2：簡(jiǎn)諧振動(dòng)當(dāng)r=0，F(xiàn)=0,則微分方程為可以驗(yàn)證方程的解為第3頁(yè)，課件共13頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.RLC交變電路CRU(t)L已確定的事實(shí)：1.歐姆定律：2.楞次定律:3.Kirchhoff定律:其它事實(shí)：令電流i=i(t)，電阻的電勢(shì)降uR=uR(t)，電感的電勢(shì)降uL=uL(t)，電容的電勢(shì)降uC=uC(t)，電容電荷Q=Q(t)，電路輸入電壓U=U(t),根據(jù)Kirchhoff定律有即得再令得規(guī)范式※這說(shuō)明有阻尼的機(jī)械振動(dòng)與RLC電路，其運(yùn)動(dòng)變化機(jī)理，在數(shù)學(xué)上是統(tǒng)一的。第4頁(yè)，課件共13頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.冷卻與衰變例1.1一溫度為500℃的物體置于20℃的環(huán)境中，2分鐘后溫度降為400℃，問(wèn)10分鐘后溫度降至多少？冷卻定律：物體溫度下降速率和物體與環(huán)境溫差成正比令溫度為T=T(t),將冷卻定律表示成數(shù)學(xué)形式即得其中k為比例常數(shù)，從而得t與T的微元關(guān)系兩邊積分得根據(jù)初始數(shù)據(jù)t=0,T=500以及t=2,T=400即得C=480,在表達(dá)式中代入t=10得第5頁(yè)，課件共13頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.2放射性衰變已確定規(guī)律：放射性物質(zhì)的放射速率與質(zhì)量本身成正比令放射性物質(zhì)的質(zhì)量為m=m(t),將放射律表示成數(shù)學(xué)形式即得其中k為比例常數(shù)，從而得t與m的微元關(guān)系兩邊積分得令初始數(shù)據(jù)為t=t0,m=m0即得從而放射過(guò)程為第6頁(yè)，課件共13頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束4.人口增長(zhǎng)（1）馬爾薩斯人口律：若人口的生存環(huán)境寬松，食物充裕，則其增長(zhǎng)率與人口基數(shù)成正比。設(shè)某地區(qū)人口總數(shù)為N=N(t),由馬爾薩斯人口律得從而得t與N的微元關(guān)系兩邊積分得令初始數(shù)據(jù)t=t0,N=N0即得第7頁(yè)，課件共13頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）Logistic人口律：在人口群體中，由于生存競(jìng)爭(zhēng)而產(chǎn)生一個(gè)與人口平方成正比的負(fù)增長(zhǎng)率。設(shè)某地區(qū)人口總數(shù)為N=N(t),由Logistic律得令a<<b,N(t0)=N0解得otNN0第8頁(yè)，課件共13頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月5.溶液淡化例1.3.容器內(nèi)有100升濃度10﹪的鹽溶液，若以3升/秒的勻速往容器中注入凈水，同時(shí)又以2升/秒的速度將攪勻后的溶液排出，問(wèn)過(guò)程開始后1分鐘時(shí)溶液的濃度？溶液淡化是一不均勻的過(guò)程，須用微元法來(lái)分析！設(shè)時(shí)刻為t時(shí)溶液的含鹽量為x=x(t),任選時(shí)間微元區(qū)間[t,t+dt],由于dt充分小，因此微元時(shí)間間隔內(nèi)過(guò)程可視為均勻的。根據(jù)微分的定義即得根據(jù)廚師數(shù)據(jù)x(0)=10,即得溶液淡化的數(shù)學(xué)模型：求解后得：，1分鐘后，濃度為第9頁(yè)，課件共13頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.二體運(yùn)動(dòng)（行星繞日運(yùn)動(dòng)）Kepler三律（被稱為“太空憲法”）：（A）行星繞日運(yùn)動(dòng)軌道是橢圓，太陽(yáng)是軌道的一焦點(diǎn)上；（B）太陽(yáng)與行星的連線（經(jīng)線）在相同時(shí)間間隔內(nèi)掃過(guò)相同的面積；（C）行星公轉(zhuǎn)周期的平方與它到太陽(yáng)平均距離的立方成正比。精確解釋建立行星繞日運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型萬(wàn)有引力定律：行星受到太陽(yáng)的引力f與矢徑r的平方成反比，與行星質(zhì)量m與太陽(yáng)質(zhì)量M的乘積成正比，引力方向與矢徑方向相反。運(yùn)用牛頓第二定律，表示成數(shù)學(xué)表達(dá)式得：其中ur表示單位矢徑。第10頁(yè)，課件共13頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月xPo?令這里表示動(dòng)點(diǎn)P的極坐標(biāo)此時(shí)矢徑為記表示矢徑方向的單位向量，表示與矢徑正交的單位矢量則有如下關(guān)系式：令v=v(t)表示U(t)的瞬時(shí)速度，則有令a=a(t)表示v(t)的瞬時(shí)加速度，則有簡(jiǎn)記則有第11頁(yè)，課件共13頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月代入牛頓第二定律得由于兩個(gè)單位向量的正交性即得這就是二體運(yùn)動(dòng)方程——由極坐標(biāo)表示的行星繞日運(yùn)動(dòng)的微分方程。第12頁(yè)，課件共13頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月試建立具有下列性質(zhì)的曲線滿足的微分方程。1，曲線上任意點(diǎn)的切線與該點(diǎn)的徑向夾角為。2，曲線上任意點(diǎn)的切線介