微分方程的物理背景

微分方程的物理背景第1頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月1.質(zhì)點(diǎn)的彈性振動機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束F(t)yo已確定的自然規(guī)律：1.牛頓第二定律:F=ma

2.胡克(Hooke.R)定律:質(zhì)點(diǎn)受到的彈性回復(fù)力與位移成正比，即f2=-ky其它事實(shí)：質(zhì)點(diǎn)在介質(zhì)中運(yùn)動所受阻力與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速度成正比，即f1=-rv.令質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的距離為y(t),介質(zhì)中運(yùn)動所受阻力為f1，彈性回復(fù)力為f2，所受外力為F=f3，各力的數(shù)學(xué)表示代入牛頓第二定律得：即得再令得規(guī)范式第2頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月特例1：真空中落體運(yùn)動機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束當(dāng)r=k=0,即介質(zhì)阻尼與彈性約束為0，且F=mg,則微分方程為再若t=0時，v(0)=v0,y(0)=y0則得特例2：簡諧振動當(dāng)r=0，F(xiàn)=0,則微分方程為可以驗(yàn)證方程的解為第3頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.RLC交變電路CRU(t)L已確定的事實(shí)：1.歐姆定律：2.楞次定律:3.Kirchhoff定律:其它事實(shí)：令電流i=i(t)，電阻的電勢降uR=uR(t)，電感的電勢降uL=uL(t)，電容的電勢降uC=uC(t)，電容電荷Q=Q(t)，電路輸入電壓U=U(t),根據(jù)Kirchhoff定律有即得再令得規(guī)范式※這說明有阻尼的機(jī)械振動與RLC電路，其運(yùn)動變化機(jī)理，在數(shù)學(xué)上是統(tǒng)一的。第4頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.冷卻與衰變例1.1一溫度為500℃的物體置于20℃的環(huán)境中，2分鐘后溫度降為400℃，問10分鐘后溫度降至多少？冷卻定律：物體溫度下降速率和物體與環(huán)境溫差成正比令溫度為T=T(t),將冷卻定律表示成數(shù)學(xué)形式即得其中k為比例常數(shù)，從而得t與T的微元關(guān)系兩邊積分得根據(jù)初始數(shù)據(jù)t=0,T=500以及t=2,T=400即得C=480,在表達(dá)式中代入t=10得第5頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.2放射性衰變已確定規(guī)律：放射性物質(zhì)的放射速率與質(zhì)量本身成正比令放射性物質(zhì)的質(zhì)量為m=m(t),將放射律表示成數(shù)學(xué)形式即得其中k為比例常數(shù)，從而得t與m的微元關(guān)系兩邊積分得令初始數(shù)據(jù)為t=t0,m=m0即得從而放射過程為第6頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束4.人口增長（1）馬爾薩斯人口律：若人口的生存環(huán)境寬松，食物充裕，則其增長率與人口基數(shù)成正比。設(shè)某地區(qū)人口總數(shù)為N=N(t),由馬爾薩斯人口律得從而得t與N的微元關(guān)系兩邊積分得令初始數(shù)據(jù)t=t0,N=N0即得第7頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）Logistic人口律：在人口群體中，由于生存競爭而產(chǎn)生一個與人口平方成正比的負(fù)增長率。設(shè)某地區(qū)人口總數(shù)為N=N(t),由Logistic律得令a<<b,N(t0)=N0解得otNN0第8頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月5.溶液淡化例1.3.容器內(nèi)有100升濃度10﹪的鹽溶液，若以3升/秒的勻速往容器中注入凈水，同時又以2升/秒的速度將攪勻后的溶液排出，問過程開始后1分鐘時溶液的濃度？溶液淡化是一不均勻的過程，須用微元法來分析！設(shè)時刻為t時溶液的含鹽量為x=x(t),任選時間微元區(qū)間[t,t+dt],由于dt充分小，因此微元時間間隔內(nèi)過程可視為均勻的。根據(jù)微分的定義即得根據(jù)廚師數(shù)據(jù)x(0)=10,即得溶液淡化的數(shù)學(xué)模型：求解后得：，1分鐘后，濃度為第9頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月6.二體運(yùn)動（行星繞日運(yùn)動）Kepler三律（被稱為“太空憲法”）：（A）行星繞日運(yùn)動軌道是橢圓，太陽是軌道的一焦點(diǎn)上；（B）太陽與行星的連線（經(jīng)線）在相同時間間隔內(nèi)掃過相同的面積；（C）行星公轉(zhuǎn)周期的平方與它到太陽平均距離的立方成正比。精確解釋建立行星繞日運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型萬有引力定律：行星受到太陽的引力f與矢徑r的平方成反比，與行星質(zhì)量m與太陽質(zhì)量M的乘積成正比，引力方向與矢徑方向相反。運(yùn)用牛頓第二定律，表示成數(shù)學(xué)表達(dá)式得：其中ur表示單位矢徑。第10頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月xPo?令這里表示動點(diǎn)P的極坐標(biāo)此時矢徑為記表示矢徑方向的單位向量，表示與矢徑正交的單位矢量則有如下關(guān)系式：令v=v(t)表示U(t)的瞬時速度，則有令a=a(t)表示v(t)的瞬時加速度，則有簡記則有第11頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月代入牛頓第二定律得由于兩個單位向量的正交性即得這就是二體運(yùn)動方程——由極坐標(biāo)表示的行星繞日運(yùn)動的微分方程。第12頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月試建立具有下列性質(zhì)的曲線滿足的微分方程。1，曲線上任意點(diǎn)的切線與該點(diǎn)的徑向夾角為。2，曲線上任意點(diǎn)的切線介