附錄1-平面圖形的幾何性質(zhì)課件

截面對于一個構(gòu)件或者結(jié)構(gòu)來說是非常重要的，下面我們列舉一下工程當(dāng)中常見的幾種截面：槽鋼角鋼工字型1標(biāo)題添加點擊此處輸入相關(guān)文本內(nèi)容點擊此處輸入相關(guān)文本內(nèi)容總體概述點擊此處輸入相關(guān)文本內(nèi)容標(biāo)題添加點擊此處輸入相關(guān)文本內(nèi)容2桿件的和截面是平面圖形，它的幾何性質(zhì)與強度、剛度計算密切相關(guān)，必須很好掌握。拉壓中的面積A，扭轉(zhuǎn)中的極慣性矩都屬于截面圖形的幾何性質(zhì)。在附錄1中我們還要學(xué)到靜矩、慣性矩和慣性積。平面圖形的幾何性質(zhì)3靜矩和形心極慣性矩、慣性矩、慣性積、慣性半徑平行移軸公式轉(zhuǎn)軸公式主慣性軸主慣性矩附錄I平面圖形的幾何性質(zhì)4靜矩（一次矩）oyzAdAyz平面圖形對z軸的靜矩（平面圖形對z軸的一次矩）平面圖形對z軸的靜矩（平面圖形對z軸的一次矩）1靜矩和形心5形心設(shè)截面的形心C的坐標(biāo)為Zc和Yc，則式中A為截面面積。oyzAC由靜矩和形心的計算公式可得到截面形心坐標(biāo)與靜矩之間的關(guān)系為：6（2）圖形對某軸的靜矩為零，則該軸一定過圖形的形心；（3）某軸過圖形的形心，則圖形對該軸的靜矩為零。（4）靜矩的常用單位：m3或mm3。靜矩的性質(zhì)：（1）截面圖形對不同的坐標(biāo)軸靜矩是不同的。靜矩的數(shù)值可正、可負(fù)、可為零。7組合截面的靜矩和形心

由若干個簡單截面（如矩形、三角形、半圓形等）所組成的截面稱為組合截面。組合截面的形心和靜矩的計算公式：

其中式中Ai、zci、yci—分別表示各個簡單截面的面積和形心坐標(biāo)。（注：被“減去”部分圖形的面積應(yīng)代入負(fù)值）82010010020A1A2yc1yc2zyo例題1求圖示圖形的形心C9例題2求圖示圖形的形心202002001010A1A3A2...yc1yc3yc2zy10oyzAdAyz極慣性矩單位：圖形對原點O的極慣性矩2二次矩：極慣性矩、慣性矩、慣性積

慣性半徑11oyzAdAyz慣性矩單位：圖形對y軸的慣性矩圖形對z軸的慣性矩極慣性矩和對軸慣性矩之間的關(guān)系：12截面圖形對y軸的慣性半徑：

截面圖形對z軸的慣性半徑：

慣性矩的性質(zhì)（1）截面圖形對不同坐標(biāo)軸的慣性矩是不同的，但慣性矩恒為正。（2）組合截面對某一軸的慣性矩等于各部分對該軸的慣性矩之代數(shù)和。慣性半徑13例1試計算圖(a)所示矩形截面對于其對稱軸（即形心軸）z和y的慣性矩。

解：取平行于x軸的狹長條，則dA=bdy同理yhCz

dyyb(a)14若截面是高度為h的平行四邊形（圖(b)），則其對形心軸z的慣性矩同樣為hzyb(b)C15b1b2hzb1+b2=bb1b2BhHzyy16例試計算圖示圓截面對于其形心軸（即直徑軸）的

慣性矩。

zdyyz解：由于圓截面有對稱性，所以所以r17圓形（空心）yzrdrR18oyzAdAyz慣性積單位：圖形對z、y軸的慣性積1、如果z或y是圖形的對稱軸，則Izy=02、其值可為正、負(fù)或0，單位:m4或mm43、組合截面對于某軸的慣性積等于其各組成部分對于同一軸的慣性積之和193平行移軸公式以形心為原點，建立與原坐標(biāo)軸平行的坐標(biāo)軸dAzyyzrabCzCyC20注意:C點必須為形心同理:dAzyyzrabCzCyC圖形對任意軸的慣性矩，等于圖形對于與該軸平行的形心軸的慣性矩加上圖形面積與兩平行軸間距平方的乘積；圖形對于形心的慣性矩最小，而由形心軸移軸后所得的慣性積有可能增加也有可能減少。21例求圖示圓對其切線AB的慣性矩。BAdzyO22303055CC2C1y221y1zC1zC2求T形截面對形心軸的慣性矩先求形心的位置：取參考坐標(biāo)系如圖，則：再求截面對形心軸的慣性矩：yCzyCzC23形心主軸、形心主慣性矩主軸、主慣性矩：若截面對于Z軸和Y軸的慣性積Izy=0，則這一對互相垂直的坐標(biāo)軸（Z、Y軸）稱之為截面的主慣性軸，簡稱為主軸；截面對于主軸的慣性矩稱為主慣性矩。形心主軸、形心主慣性矩：主軸如果通過形心則稱為形心主軸；截面對于形心主軸的慣性矩稱為形心主慣性矩。當(dāng)圖形有一根對稱軸時，對稱軸及與之垂直的任意軸即為過二者交點的主軸。若平面圖形有一個對稱軸,則該軸為一形心主軸,另一形心主軸過形心,且與該軸垂直.24

截面幾何性質(zhì)小結(jié)1.靜矩、慣性矩依賴坐標(biāo)系數(shù)值不同，但是不同坐標(biāo)系中的數(shù)值有一定的關(guān)系2.Iz、Iy恒為正，Sz、Sy、Iyz可正可負(fù)，與坐標(biāo)軸位置有關(guān)3.對形心軸靜矩為0，對稱軸Iyz

=0，對稱軸就是形心主慣性軸4.平行移軸公式中，對形心軸的慣性矩最小5.主慣性系不唯一，但主形心慣性系唯一；主形心慣性矩一個為最大，一個為最小25統(tǒng)一為m=0零次矩(或面積)m=1一次矩、線性矩(或靜矩)m=2二次矩(或慣性矩、積)實質(zhì)——數(shù)學(xué)，不是力學(xué)

264轉(zhuǎn)軸公式主慣性軸主慣性矩一、慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸定理dAxyyxax1y1x1y1的符號為：從舊軸x至新軸x1逆時針為正，順時針為負(fù)。27上式表明，截面對于通過同一點的任意一對相互垂直的坐標(biāo)軸的兩慣性矩之和為一常數(shù)，并等于截面對該坐標(biāo)原點的極慣性矩。28二、截面的形心主慣性軸和形心主慣性矩1.主慣性軸和主慣性矩：如坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)到=0時；恰好有則與

0對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)軸x0,y0稱為主慣性軸。

即平面圖形對其慣性積為零的一對坐標(biāo)軸.（慣性主軸）平面圖形對主軸之慣性矩稱為主慣性矩。292.形心主軸和形心主慣性矩：形心主慣性矩：*若平面圖形有三個或三個以上的對稱軸，如正三角形、正方形、正多邊形。則通過形心的任一軸均為形心主慣性軸，且主慣性矩都相等。

*若平面圖形有兩個對稱軸,此二軸均為形心主軸;*若平面圖形有一個對稱軸,則該軸為一形心主軸,另一形心主軸過形心,且與該軸垂直.主慣性軸過形心時，稱其為形心主軸（形心主慣性軸）。平面圖形對形心主軸之慣性矩，稱為形心主慣性矩.303.求截面形心主慣性矩的方法①建立坐標(biāo)系②計算面積和面積矩③求形心位置④建立形心坐標(biāo)系；求：IyC，IxC，IxCyC⑤求形心主軸方向—0

⑥求形心主慣性矩31例在矩形內(nèi)挖去一與上邊內(nèi)切的圓，求圖形的形心主軸。(b=1.5d)解：①建立坐標(biāo)系如圖。②求形心位置。③

建立形心坐標(biāo)系；求：IyC，IxC，IxCy

db2dxyOxCyCx132db2dxyOxCyCx133xyC10b10b40120a2080CCaⅠⅡⅠⅡⅠⅡ

例試計算截面的形心主慣性矩。解：作與上、左邊平行的形心坐標(biāo)軸xcyc。（1）求形心坐標(biāo)：（2）求對自身形心軸的慣性矩。（3）由平行移軸公式求整個截面的34xc0yc0°a=113.8（4）由轉(zhuǎn)軸公式得xyC10b10b40120a2080CCaⅠⅡⅠⅡⅠⅡ

35例求圖示截面對z軸的慣性矩。36正方形對任一形心軸的慣性矩也等于此結(jié)論可推廣到任意正多邊形，即正多邊形對任一形心軸的慣性矩為常量。3738例求圖示正方形對過形心的x1、y1軸的慣性矩和慣性積。xyaaCx1y1a解：由于：，則同理，39試求形心主軸的位置及形心主矩。解：1.確定形心位置2.在形心位置處建立Cxy坐標(biāo),先分別求出三個矩形對于x、y軸的慣性矩和慣性積,得整個圖形對于x,y軸的慣性矩和慣性積。3.根據(jù)上述結(jié)果確定主軸位置及形心主矩xyxcycc40200400401802040xycxcyc40200400401802041根據(jù)公式,圖形的形心主矩為xycxcyc42綴板zxyx0y0yyax0y0yy1bax0y0ya例題:1.計算（a）、（b）兩種組合方式下截面圖形的形心主矩；2.在圖（c）若使截面圖形形心主矩相等，a值為多少。解：（a）：槽鋼No.20（a）（b）（c）43其中,Iy+a2A=Iy1,亦由型鋼表查得。（b）所示截面，有其中，有關(guān)數(shù)據(jù)均由型鋼表查得：2.計算圖(c)中所示的組合截面中的a值及Ix0、Iy0x0y0yy1b44因為要求Ix0=Iy0，根據(jù)移軸定理a=z0=19.5mm。在這種組合情況下，截面圖形的形心主矩為x0y0ya45對稱軸一定是主軸，主軸不一定是對稱軸xycxcycxy20xyCC4647例3試確定下圖的形心坐標(biāo)。解：1.用正面積法求解，圖形分割 及坐標(biāo)如圖(a)801201010xyC2圖(a)C1C1(0,0)C2(-35,60)482.用負(fù)面積法求解，圖形分割及坐標(biāo)如圖(b)圖(b)C1（0,0）C2（5,5）C2負(fù)面積C1xy驗證：34.7+20.3+5=60495剛體的轉(zhuǎn)動慣量50剛體的轉(zhuǎn)動慣量的定義是：一、轉(zhuǎn)動慣量若剛體為連續(xù)體，則用積分代替求和：比較以下兩個式子：轉(zhuǎn)動慣量是表示轉(zhuǎn)動慣性的量。剛體的轉(zhuǎn)動慣量的定義是：若剛體為連續(xù)體，則用積分代替求和：51對于平面圖形，當(dāng)密度取單位值時，dm=dA，此時轉(zhuǎn)動慣量就等于極慣性矩dAxyyxr量鋼：L4極慣性矩：是面積對極點的二次矩。圖形對O點的極慣性矩:若剛體為連續(xù)體，其轉(zhuǎn)動慣量：52例1、長為l、質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿，繞與桿垂直的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量J。解：建立坐標(biāo)系，分割質(zhì)量元例2、長為l、質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿，繞細(xì)桿一端軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量J。解：J與剛體質(zhì)量、質(zhì)量分布、軸的位置有關(guān)53例3：在無質(zhì)輕桿的b處與3b

處各系質(zhì)量為2m和m

的質(zhì)點，可繞

o

軸轉(zhuǎn)動，求：質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量J。解：例4、半徑為R

質(zhì)量為

M的圓環(huán)，繞垂直于圓環(huán)平面的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量J。解：54RM例5、半徑為R質(zhì)量為M

的圓盤，繞垂直于圓盤平面的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量J。rdr解：分割圓盤為圓環(huán)55二、平行軸定理定理表述：剛體繞平行于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量J，等于繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量JC

加上剛體質(zhì)量與兩軸間的距離平方的乘積：

剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量最小如：56證明：三、垂直軸定理定理表述：質(zhì)量平面分布的剛體，繞垂直于平面軸的轉(zhuǎn)動慣量等于平面內(nèi)兩正交軸的轉(zhuǎn)動慣量之和：57例6、半徑為R質(zhì)量為M

的圓盤，求繞直徑軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量Jy。解：圓盤繞垂直于盤面的質(zhì)心z軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量為：58例7、長為l、質(zhì)量為m的細(xì)桿，初始時的角速度為0，由于細(xì)桿與桌面的摩擦，經(jīng)過時間t后桿靜止，求摩擦力矩M阻。解：由勻變速轉(zhuǎn)動公式:細(xì)桿繞一端的轉(zhuǎn)