實驗數(shù)學(xué)十三標尺刻度的設(shè)計

實驗數(shù)學(xué)十三標尺刻度的設(shè)計1第1頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月

由于經(jīng)常注油和取油，有時很難知道油罐中剩油的數(shù)量。這給現(xiàn)有儲油量的統(tǒng)計帶來很大的麻煩。顯然，將剩油取出計量是不現(xiàn)實的。因此，希望能設(shè)計一個精細的標尺：工人只需將該尺垂直插入使尺端至油罐的最底部，就可以根據(jù)標尺上的油痕位置的刻度獲知剩油量的多少。這是一個來自油田的問題。

2第2頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月13.3數(shù)學(xué)模型設(shè)圓柱的底面半徑為R，長度為L；而圓錐的底面半徑也是R，高為A。若標尺被油浸濕位置的高度為H，而此時罐內(nèi)的油量為V。那么我們的問題歸結(jié)為求出函數(shù)換言之，要求油量函數(shù)的反函數(shù)。3第3頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月由于對稱性，我們只要研究的情形就行了。13.4問題的解法Ⅰ．求油量函數(shù)的解析方法其中和分別為相應(yīng)圓柱和圓錐（一側(cè)部分）中的儲油量。先求。

4第4頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)圓柱體截面中儲油部分對應(yīng)的弓形區(qū)域面積為S(H)，弓形對應(yīng)的圓心角的一半為

那么易得利用三角函數(shù)表達式，就有5第5頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月6第6頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月再求

設(shè)與圓錐體底面平行且距底面x處的截面上表示儲油部分的弓形區(qū)域面積為Q，那么和前面S不同的是：Q不僅與H有關(guān)，而且與x有關(guān)。設(shè)該弓形的半徑為r高為h，由幾何關(guān)系（見圖13.3）不難看出：

從而得到7第7頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月于是類似于S的求法，有通過作變換8第8頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月

這個積分雖然比較復(fù)雜，但還是可以積出來，建議讀者自己進行計算，也可以借助數(shù)學(xué)軟件。具體結(jié)果為從而可知9第9頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月綜合（13.4）、（13.6）和（13.11）三式，就有10第10頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月Ⅱ．刻度位置函數(shù)的求法

顯然，要由油量函數(shù)的解析表達式（13.12）來解析地求出反函數(shù)H(V)的顯式表示是不可能的。介紹兩種近似方法。1．插值法將區(qū)間[0，R]作如上等分：

那么由式（13.12）可以求得V在各分點的值：現(xiàn)在的問題是：如果給出油量V*，如何確定（求出）相應(yīng)的標尺刻度位置H*？而這實際上是求方程的根。11第11頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）線性插值

設(shè)，在此區(qū)間上用線性函數(shù)近似H(V)，則有（2）二次插值先找出最接近的V*的用二次函數(shù)近似H(V)，則有，然后在插值方法還有多種，這里介紹的是最簡單的。

12第12頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月2．二分法綜上所述，可以將標尺刻度設(shè)計的過程歸納為：步驟一把區(qū)間[0，R]依精度需要分成n等份，得剖分點；其中利用公式（13.12）算出刻度位置處相應(yīng)的油量。

步驟二根據(jù)所需的各油量讀數(shù)所在上一步驟中的某一油量區(qū)間，通過插值或二分逼近法獲得相應(yīng)的刻度位置值。13第13頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月五、數(shù)值實例現(xiàn)在我們以（單位：m）為例進行實際計算。（1）求油量函數(shù)的值取，由油量表達式（16.12）可得計算結(jié)果如表13.1所示。

00.00.00000.00000.000010.10.29360.00230.298220.20.81750.01280.843130.31.47750.03431.546140.42.23650.06822.372950.53.07090.11533.301560.63.96340.17544.314270.74.89960.24815.395880.85.86740.33206.531490.96.85570.42497.7055101.07.85400.52368.901214第14頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）用插值法求刻度位置的值

這里我們僅求對應(yīng)的H*的值。

由式（13.14）得線性插值近似值為而由式（13.15）得二次插值近似值為兩種插值得到的結(jié)果有相同的兩位有效數(shù)字，說明線性插值在此已有了相當(dāng)?shù)木取?5第15頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）用二分法