實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)的方差分析

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)的方差分析第1頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月試驗(yàn)設(shè)計(jì)在幾乎所有領(lǐng)域都有各種試驗(yàn)。比如如何對(duì)不同的土壤、氣候等各種條件找出最合適的作物，使得收益最大如何使得工業(yè)產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)、價(jià)廉什么環(huán)境下，兒童才能在心理上健康成長企業(yè)采取的什么主動(dòng)措施能夠增加收益第2頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月一個(gè)例子一個(gè)養(yǎng)蟹戶要遇到許多影響生產(chǎn)的因素或因子（factor），比如水溫，飼料，水質(zhì)，疾病等各種問題。要想穩(wěn)定高產(chǎn)，就要進(jìn)行各種因素的不同水平(level)的搭配（組合）試驗(yàn)。這里的“水平”就是一個(gè)因素可能取的值。比如對(duì)于飼料這個(gè)因素，每個(gè)水平就是一種飼料；如果有三種可供選擇的飼料，該因素就有三個(gè)水平。而如果水溫有四種水平，則水溫和飼料就有12種可能的搭配(組合)這里，因素就是變量，水平就是該變量的取值；這些名詞是屬性變量所特有的。第3頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月試驗(yàn)設(shè)計(jì)模型就是回歸模型在上面例子中，因變量是產(chǎn)量，自變量是水溫，飼料等。描述試驗(yàn)設(shè)計(jì)的模型就是回歸模型的一種但試驗(yàn)設(shè)計(jì)問題本身有很大一部分是如何設(shè)計(jì)試驗(yàn)，使得人們有可能用最少的資源得到最好的結(jié)果。當(dāng)然，我們不打算詳細(xì)討論如何設(shè)計(jì)試驗(yàn)，而把主要精力放在試驗(yàn)設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)的方差分析上。

第4頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月方差分析方差分析（analysisofvariance，ANOVA）是分析各個(gè)自變量對(duì)因變量影響的一種方法。這里的自變量就是定性變量的因子及可能出現(xiàn)的稱為協(xié)變量（covariate）的定量變量。分析結(jié)果是由一個(gè)方差分析表給出的。第5頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月方差分析分解因素貢獻(xiàn)的機(jī)理原理為：因變量的值隨著自變量的不同取值而變化。我們把總變化(差的平方和)按照自變量(因素)進(jìn)行分解，顯示每一個(gè)自變量的貢獻(xiàn)；最后剩下無法用已知的因素解釋的則看成隨機(jī)誤差的貢獻(xiàn)。然后用各自變量的貢獻(xiàn)和隨機(jī)誤差的貢獻(xiàn)進(jìn)行比較（F檢驗(yàn)），以判斷該自變量的不同水平是否對(duì)因變量的變化有顯著貢獻(xiàn)。輸出就是F-值和檢驗(yàn)的一些p-值。下面看一個(gè)例子。第6頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月單因素方差分析回顧

飼料比較數(shù)據(jù),n=19頭豬,用p=4種飼料喂養(yǎng)一段時(shí)間后的重量增加(data12.01)問題:四種飼料是否不同?

飼料ABCD133.8151.2193.4225.8125.3149.0185.3224.6143.1162.7182.8220.4128.9143.8188.5212.3135.7153.5198.6

第7頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月飼料例子(繼續(xù)):

飼料(fodder)為自變量(單因子),重量增加(weight)為因變量(一個(gè)數(shù)量變量)(SPSS計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)形式有所不同)飼料ABCD133.8151.2193.4225.8125.3149.0185.3224.6143.1162.7182.8220.4128.9143.8188.5212.3135.7153.5198.6

均值A(chǔ)=133.36均值B=152.04均值C=189.72均值D=220.78第8頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月各種SPSS輸出:

(ANOVA-CONTRASTS/POSTHOC-LSD,T2/OPTION-DES.,HOMO./MEANPLOT)

DescriptivesWEIGHT

NMeanStd.DeviationStd.Error95%ConfidenceIntervalforMean

MinimumMaximum

LowerBoundUpperBound

A5133.366.807943.04460124.9068141.8132125.3143.1B5152.046.957233.11137143.4015160.6785143.8162.7C5189.726.350352.83996181.8350197.6050182.8198.6D4220.786.105943.05297211.0591230.4909212.3225.8Total19171.5234.311377.87157154.9730188.0481125.3225.8第9頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月四種飼料的箱圖四種飼料的均值圖第10頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月假設(shè):檢驗(yàn):H0:m1=…=mp線性模型:第11頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月公式:總平方和=組間平方和+組內(nèi)平方和其中,SST有自由度n-1,SSB有自由度p-1,SSE有自由度n-p,在正態(tài)分布的假設(shè)下,如果各組增重均值相等(零假設(shè)),則

有自由度為p-1和n-p的F分布.第12頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月(比較一元總體的)ANOVAWEIGHT(重量)

由SPSS可以得到方差分析表:

SumofSquares(平方和)Df自由度MeanSquare(均方)FSig.BetweenGroups(處理)SSBP-1MSB=SSB/(p-1)F=MSB/MSEP(F>Fa)WithinGroups(誤差)SSEn-pMSE=SSE/(n-p)

Total(總和)SSTn-1

這里n為觀測(cè)值數(shù)目p為水平數(shù),Fa滿足P(F>Fa)=a.這是自由度為p-1和n-p的F-分布的概率第13頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月F0.05(3,15)面積=0.05F

(3,15)分布密度圖第14頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月ANOVAWEIGHT

由SPSS可以得到方差分析表:

SumofSquaresDfMeanSquareFSig.BetweenGroups20538.69836846.233157.467.000WithinGroups652.1591543.477

Total21190.85818

該表說明各飼料之間有顯著不同.第15頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月TestofHomogeneityofVariances(Arobusttest)這是SPSS輸出之一,明白即可,不用記住LeveneStatisticdf1df2Sig..024315.995第16頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月SPSS操作

CompareMeans→OneWayANOVA:

fodder(飼料)→Factor

Weight(重量)→DependentList

Options:

Descriptive

HomogeneityofVariance

MeanPlot第17頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月銷售數(shù)據(jù)(sales.sav)

研究這個(gè)數(shù)目的主要目的是看銷售額（因變量）是否受到促銷方式、售后服務(wù)和獎(jiǎng)金這三個(gè)自變量的影響（頭兩個(gè)是定性變量，亦稱為因子，分別有3個(gè)和2個(gè)水平；而定量變量獎(jiǎng)金是協(xié)變量）以及怎樣的影響。第18頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月Excel數(shù)據(jù)第19頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月第20頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月多因素方差分析

(只考慮主效應(yīng),不考慮交互效應(yīng)及協(xié)變量)首先假定自變量受到的僅僅有不同因素的主效應(yīng)（maineffect）而沒有交互效應(yīng)(interaction)和協(xié)變量(covariate)的影響。主效應(yīng)就是每個(gè)自變量對(duì)因變量的單獨(dú)影響，而交互效應(yīng)是當(dāng)兩個(gè)或更多的自變量的某些水平同時(shí)出現(xiàn)時(shí)除了主效應(yīng)之外的附加影響(“正面”或者“負(fù)面”的影響)。第21頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月多因素方差分析

(只考慮主效應(yīng),不考慮交互效應(yīng)及協(xié)變量)拿我們例子來說，當(dāng)單獨(dú)考慮時(shí)，假定主動(dòng)促銷比被動(dòng)促銷可以多產(chǎn)生8萬元效益，而有售后服務(wù)比沒有售后服務(wù)多產(chǎn)生9萬元效益。那么在沒有交互作用時(shí)，同時(shí)采取主動(dòng)促銷和售后服務(wù)會(huì)產(chǎn)生8＋9＝17萬元的效益（稱為可加的）。如存在交互效應(yīng)，那么同時(shí)采取主動(dòng)促銷和售后服務(wù)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)附加的效應(yīng)即交互效應(yīng)(可正可負(fù))，這時(shí)的總效應(yīng)就不是17萬元了。

第22頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月方差分析(只考慮主效應(yīng),不考慮交互效應(yīng)及協(xié)變量)如要分析的只是因變量銷售額和自變量促銷和售后服務(wù)的主效應(yīng)。用y表示銷售額，ai表示促銷（下標(biāo)表示不同水平），bj表示售后服務(wù)；則相應(yīng)的只有主效應(yīng)的線性模型為：

這里的下標(biāo)i代表促銷的水平，下標(biāo)j代表是否有售后服務(wù)，下標(biāo)k代表每種ij組合中的第幾個(gè)觀測(cè)值。這里的最后一項(xiàng)eijk為隨機(jī)誤差項(xiàng)。第23頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月公式:總平方和=組間平方和+組內(nèi)平方和其中,SSA有自由度p-1,SSB有自由度q-1,SSE有自由度(p-1)(q-1),在正態(tài)分布的假設(shè)下,如果各組增重均值相等(零假設(shè)),則

分別有自由度為p-1

和(p-1)(q-1)

及自由度為q-1

和(p-1)(q-1)的F分布.第24頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月TestsofBetween-SubjectsEffectsDependentVariable:XXX

SPSS:

GLM-GeneralFactorial-Model,custom(maineffect)

Note:SS.c=SSA+SSB

SourceTypeIIISumofSquaresdfMeanSquareFSig.CorrectedModelSS.cP+q-2MSS.cMSS.c/MSEIntercept…1……EffectASSAp-1MSAMSA/MSEEffectBSSBq-1MSBMSB/MSEErrorSSE(p-1)(q-1)MSE

Total…pq

CorrectedTotalSST=SSA+SSB+SSEPq-1

第25頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于這個(gè)模型，SPSS輸出為促銷(promot)的F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(其自由度來自promot和error的自由度:2,20)取值為13.880,p-值為0.000(更精確些是0.0001658).而售后服務(wù)的F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為25.497，p-值為0.000(更精確些是0.00006135).

R2為0.981.第26頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月這里的估計(jì)只有相對(duì)意義。一定要放在模型中，或者考慮同一因子水平之間的差，比如a1-a3、a2-a3、b1-b2等等。上面的模型還可以有截距有截距時(shí)的SPSS默認(rèn)約束是固定a3=b2=0；而目前的沒有截距的a1，a2，a3的估計(jì)實(shí)際上等于截距的估計(jì)加上有截距時(shí)的a1，a2，a3的估計(jì)。由于約束條件不一樣，所以各種軟件的各種選項(xiàng)的估計(jì)不盡相同，但相對(duì)大小是不會(huì)變的。對(duì)于這個(gè)模型，參數(shù)估計(jì)為第27頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)上面估計(jì)，我們的模型為（各個(gè)參數(shù)僅有相對(duì)意義，常數(shù)項(xiàng)混合在其中）第28頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月沒有交互作用的模型可以從下面點(diǎn)圖中直觀看出。圖10.1中下面一條折線連接了沒有售后服務(wù)時(shí)三種促銷狀況的銷售均值，而上面一條連接了有售后服務(wù)時(shí)三種促銷狀況的銷售均值。由于模型選擇為無交互作用，所以這兩條線是平行的。從該圖可以看出，兩個(gè)因子效應(yīng)綜合效應(yīng)是簡(jiǎn)單的加法。第29頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月SPSS實(shí)現(xiàn)(只有因子主效應(yīng)的方差分析)拿sales.sav為例，在SPSS中選Analyze－GeneralLinearModel－Univariate進(jìn)入主對(duì)話框；然后把sales選入DependentVariable，把promot和service選入FixedFactors；然后點(diǎn)擊Model，選擇Custom，在BuildTerms中選擇Mainef