數(shù)字濾波器的設(shè)計方法

數(shù)字濾波器的設(shè)計方法1第1頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月說明：巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)表有多種形式2第2頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月3第3頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月4第4頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月作業(yè)第6章習題135第5頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月

該映射變換須滿足以下要求：S平面虛軸jΩ必須映射到Z平面的單位圓ejω上S平面的左半平面必須映射到Z平面單位圓的內(nèi)部|z|<1

利用模擬濾波器來設(shè)計數(shù)字濾波器

常用的變換方法有：脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法使穩(wěn)定的模擬系統(tǒng)映射為具有相同幅頻特性的穩(wěn)定的數(shù)字系統(tǒng)6第6頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月6.4用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列h(n)與相應(yīng)的模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)，在采樣點處的量值相等，即h(n)=ha(nT)6.4.1變換原理

因采樣序列的Z變換與模擬信號拉氏變換的關(guān)系：脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器的S平面變換成數(shù)字濾波器的Z平面。7第7頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月脈沖響應(yīng)不變法的映射關(guān)系

8第8頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)字濾波器與模擬濾波器的頻率響應(yīng)間的關(guān)系為：數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓只有當模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的，且滿足采樣定理時，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)才不產(chǎn)生混疊失真

提高采樣頻率為fs，可減小頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)

6.4.2混疊失真9第9頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月脈沖響應(yīng)不變法中的頻響混疊現(xiàn)象10第10頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計中，由一個較為復(fù)雜的模擬系統(tǒng)函數(shù)求出數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)是一個很麻煩的變換過程；因為乘積的z變換并不等于各部分變換的乘積，所以不宜采用級聯(lián)分解；但各項和的z變換是線性關(guān)系，因而用部分分式表達系統(tǒng)函數(shù)，特別適合于對復(fù)雜模擬系統(tǒng)函數(shù)的變換。6.4.3模擬濾波器的數(shù)字化方法11第11頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)只有單階極點，且分母的階次大于分子的階次，將Ha(s)用部分分式表示數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)等于對ha(t)的采樣，因此將Ha(s)拉氏反變換u(t)是單位階躍函數(shù)

模擬濾波器與數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)的關(guān)系12第12頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月對h(n)求Z變換，得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)S平面的單極點s=sk對應(yīng)于Z平面上z=eskT處的單極點Ha(s)與H(z)的部分分式的系數(shù)相同，都是Ak模擬濾波器因果穩(wěn)定，則數(shù)字濾波器也因果穩(wěn)定脈沖響應(yīng)不變法只能保證極點有這種代數(shù)對應(yīng)關(guān)系與模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)相比較13第13頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月

Ha(s)與H(z)間的變換關(guān)系為

脈沖響應(yīng)不變法的設(shè)計步驟，可直接將Ha(s)寫成單極點的部分分式和的形式，然后將各部分分式用上式關(guān)系替代，即得到H(z)。14第14頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月

由于數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)幅度與采樣間隔T成反比|ω|<π為使數(shù)字濾波器增益不隨采樣頻率變化，通常令h(n)=Tha(nT)此時:

15第15頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月將上式代入到16第16頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月17第17頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月【例】設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

試利用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)

【解】

數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為設(shè)T=1，則有

18第18頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月模擬濾波器的頻響Ha(jΩ)以及數(shù)字濾波器的頻響H(ejω)分別為:

由于Ha(jΩ)不是限帶的，所以H(ejω)產(chǎn)生了頻譜混疊失真19第19頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，因此時域特性逼近好；頻率坐標變換是線性的，即ω=ΩT。因此該數(shù)字濾波器可以很好重現(xiàn)原模擬濾波器的頻率特性；會產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象（從S平面到Ｚ平面為多值映射關(guān)系），適合低通、帶通濾波器的設(shè)計，而不適合高通、帶阻的設(shè)計。6.4.4優(yōu)缺點20第20頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月6.5用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器

6.5.1變換原理為克服頻率混疊現(xiàn)象，可采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸的頻率范圍壓縮到-π/T～π/T之間，再用z=esT轉(zhuǎn)換到Z平面上使S平面與Z平面建立起一一對應(yīng)的單值關(guān)系21第21頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月將此關(guān)系解析延拓到整個S平面和S1平面，令jΩ=s，jΩ1=s1，得再將S1平面通過標準變換z=es1T映射到Z平面

實現(xiàn)步驟得到兩平面的單值映射關(guān)系

利用正切變換實現(xiàn)頻率壓縮，將S平面的虛軸壓縮至S1平面的-π/T到π/T段22第22頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月雙線性變換符合映射變換應(yīng)滿足的兩點要求：6.5.2逼近的情況S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)穩(wěn)定模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的

說明：所謂“雙線性”變換，僅僅是指變換公式中s與z的關(guān)系無論是分子部分，還是分母部分都是“線性”的23第23頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月

由于S平面與Z平面的單值對應(yīng)關(guān)系，避免了頻率混疊現(xiàn)象；6.5.3優(yōu)缺點

S平面Ω與Z平面ω的嚴重非線性關(guān)系影響DF頻響對模擬頻響的模仿；該方法適于分段常數(shù)型的濾波器設(shè)計，一般設(shè)計濾波器通帶與阻帶均要求是分段常數(shù)(非線性的正切關(guān)系)24第24頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射分段常數(shù)的濾波器，在雙線性變換后各個分段邊緣的臨界頻率點將會產(chǎn)生畸變，這種畸變可以預(yù)處理加以校正。25第25頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可通過s到z之間的簡單代數(shù)關(guān)系得到頻率響應(yīng)也可用直接代換的方法得到

6.5.4模擬濾波器的數(shù)字化方法26第26頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月階數(shù)較高時，H(z)的形式可通過查表得到設(shè)模擬系統(tǒng)函數(shù)的表達式為

數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)雙線性變換法中Ｈa(s)的系數(shù)與H(z)的系數(shù)間關(guān)系

27第27頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月雙線性變換時頻率的預(yù)畸變

總結(jié)：雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的步驟假設(shè)設(shè)計帶通濾波器(右圖)

頻率預(yù)畸變已知帶通的數(shù)字域頻率與采樣頻率時利用下式計算相應(yīng)的模擬域頻率28第28頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月雙線性變換時頻率的預(yù)畸變

總結(jié)：雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的步驟

頻率預(yù)畸變已知帶通的模擬域頻率與采樣頻率時先將模擬頻率轉(zhuǎn)為數(shù)字域頻率ω=2πfT

1）2）再按先前步驟處理29第29頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月

總結(jié)：雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的步驟

按模擬頻率指標設(shè)計模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)

將代入Ha(s)，得H(z)與頻率響應(yīng)

30第30頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月

說明雙線性變換法后，模擬濾波器與數(shù)字濾波器仍為同種類型（低通、高通、帶通等）的濾波器。當強調(diào)模仿濾波器的瞬態(tài)響應(yīng)時，通常采用脈沖響應(yīng)不變法;其余則采用雙線性變換法。31第31頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月例

設(shè)計一階數(shù)字低通濾波器，3dB截止頻率為ωc=0.25π，將雙線性變換應(yīng)用于模擬巴特沃思濾波器頻率預(yù)畸變模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)設(shè)計

已知數(shù)字低通ωc=0.25π，則巴特沃思模擬低通Ωc為32第32頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)由上題可知，T不參與設(shè)計，即雙線性變換法中用 設(shè)計與用 設(shè)計得到的結(jié)果一致。33第33頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月例

用雙線性變換法設(shè)計三階巴特沃思數(shù)字低通，采樣頻率為fs=4kHz，其3dB截止頻率為fc=1kHz。三階模擬巴特沃思濾波器為已知截止頻率fc=1kHz解：1.頻率預(yù)畸變2.確定預(yù)畸變的模擬濾波器的截止頻率先轉(zhuǎn)化成數(shù)字頻率ωc=2πfcT=0.5π34第34頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月將Ωc代入三階模擬巴特沃思濾波器Ha