初等數(shù)學(xué)§93直線和平面的位置的關(guān)系課件

初等數(shù)學(xué)§93直線和平面的位置的關(guān)系36、如果我們國(guó)家的法律中只有某種神靈，而不是殫精竭慮將神靈揉進(jìn)憲法，總體上來(lái)說(shuō)，法律就會(huì)更好?！R克·吐溫37、綱紀(jì)廢棄之日，便是暴政興起之時(shí)。——威·皮物特38、若是沒(méi)有公眾輿論的支持，法律是絲毫沒(méi)有力量的。——菲力普斯39、一個(gè)判例造出另一個(gè)判例，它們迅速累聚，進(jìn)而變成法律。——朱尼厄斯40、人類法律，事物有規(guī)律，這是不容忽視的?！獝?ài)獻(xiàn)生初等數(shù)學(xué)§93直線和平面的位置的關(guān)系初等數(shù)學(xué)§93直線和平面的位置的關(guān)系36、如果我們國(guó)家的法律中只有某種神靈，而不是殫精竭慮將神靈揉進(jìn)憲法，總體上來(lái)說(shuō)，法律就會(huì)更好?！R克·吐溫37、綱紀(jì)廢棄之日，便是暴政興起之時(shí)?！ての锾?8、若是沒(méi)有公眾輿論的支持，法律是絲毫沒(méi)有力量的。——菲力普斯39、一個(gè)判例造出另一個(gè)判例，它們迅速累聚，進(jìn)而變成法律?！炷岫蛩?0、人類法律，事物有規(guī)律，這是不容忽視的?！獝?ài)獻(xiàn)生§9.3直線和平面的位置關(guān)系一.直線和平面的三種位置關(guān)系3、下圖是一個(gè)長(zhǎng)方體，則B′B所在的直線與D′D所在的直線的位置關(guān)系是，則A′A所在的直線與C′D′所在的直線所成的角是度；若∠BA′B′=30o,則A′B所在的直線與D′D所在的直線所成的夾角是度。一、課前練習(xí)1、空間中兩條直線的位置關(guān)系有、、。2、相交直線的特點(diǎn)是①共面；②有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則平行直線的特點(diǎn)是：①②；異面直線的特點(diǎn)是：①②。ABCDA′B′C′D′30o相交平行異面共面沒(méi)有公共點(diǎn)異面沒(méi)有公共點(diǎn)平行9060③直線與平面平行——沒(méi)有公共點(diǎn)；1、交流歸納:直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種：①直線在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)（交點(diǎn)）；②直線與平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；α2、如何用圖形語(yǔ)言表示直線與平面的三種位置關(guān)系?aa①α③二、新課aα②錯(cuò)誤畫法：αaα②①aaα③3、如何用符號(hào)語(yǔ)言表示直線與平面的位置關(guān)系。①直線a在平面α內(nèi)，記作aα；②直線a與平面α相交于A點(diǎn)，記作a∩α=A；③直線a與平面α平行，記作a∥α；④若直線L與平面α平行，則L與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒(méi)有公共點(diǎn)；()②若直線L與平面α平行，則L與平面α內(nèi)的任意一條直線都平行；()4、判斷正誤①若直線L上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則L∥α；()③如果兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行；()lααlbcαlb⊙如果平面外的兩條平行直線中的一條直線與平面平行，那么另一條直線也與這個(gè)平面平行；（）××√√×三、隨堂練習(xí)1、若直線a不平行于平面α

，且aα，則下列結(jié)論成立的是（）：(A)α內(nèi)的所有直線與a異面(B)α內(nèi)不存在與a平行的直線；(C)α內(nèi)存在唯一的直線與a平行；(D)α內(nèi)的直線與a都相交；2、判斷題：（1）a∥α，bα，則a∥b；（）（2）aα，則a∥α或a和α相交；（）（3）a∩α=A，aα；（）（4）若aα，bα，則a、b無(wú)公共點(diǎn)。（）B×√√×aαbαbabaαc四、小結(jié)：1、空間中直線與平面的三種位置關(guān)系：直線在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)（交點(diǎn)）；直線在平面外相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行——沒(méi)有公共點(diǎn)；2、用圖形語(yǔ)言表示空間中直線與平面的三種位置關(guān)系：3、用符號(hào)語(yǔ)言表示空間中直線與平面的三種關(guān)系：①aα②a∩α=A③a∥αααa①②aα③a二、直線與平面平行

1、直線和平面有哪幾種位置關(guān)系？平行、相交、直線在平面內(nèi)

2、反映直線和平面三種位置關(guān)系的依據(jù)是什么？公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)復(fù)習(xí)1：直線和平面的位置關(guān)系1.直線在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；2.直線與平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；3.直線與平面平行——沒(méi)有公共點(diǎn)。定義：一條直線和一個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，叫做直線與平面平行.

怎樣判定直線與平面平行呢？怎樣判定直線與平面平行呢？問(wèn)題引入新課

根據(jù)定義，判定直線與平面是否平行，只需判定直線與平面有沒(méi)有公共點(diǎn)．但是，直線無(wú)限延長(zhǎng)，平面無(wú)限延展，如何保證直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)呢？a二、

門扇轉(zhuǎn)動(dòng)的一邊與門框所在的平面之間的位置關(guān)系．操作確認(rèn)觀察操作確認(rèn)

將一本書平放在桌面上，翻動(dòng)書的硬皮封面，封面邊緣AB所在直線與桌面所在平面具有什么樣的位置關(guān)系？如果平面內(nèi)有直線與直線平行，那么直線與平面的位置關(guān)系如何？是否可以保證直線與平面平行？思考操作確認(rèn)抽象概括：直線與平面平行的判定定理：

若平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.簡(jiǎn)述為：線線平行線面平行ababa//b//a直線與直線平行關(guān)系直線與平面間平行關(guān)系平面問(wèn)題空間問(wèn)題判定定理的證明已知：,，求證：證明：所以經(jīng)過(guò)a、b確定一個(gè)平面．

與是兩個(gè)不同的平面．

所以=b因?yàn)閎，b

下面用反證法證明a與沒(méi)有公共點(diǎn)：假設(shè)a與有公共點(diǎn)P，而=b，得Pb，所以點(diǎn)P是a、b的公共點(diǎn)，這與a//b矛盾.所以a//a

（1）定義法：證明直線與平面無(wú)公共點(diǎn)；

（2）判定定理：證明平面外直線與平面內(nèi)直線平行．直線與平面平行判定怎樣判定直線與平面平行？例1.如圖正方體中，P是棱

的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P畫一條直線使之與截面平行.A1AB1D1CBPC1D應(yīng)用鞏固：1．如圖，長(zhǎng)方體中，（1）與AB平行的平面是

；（2）與平行的平面是

；（3）與AD平行的平面是

；平面平面平面平面平面平面隨堂練習(xí)B2.如圖，四面體ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，AD的中點(diǎn).試指出圖中滿足線面平行位置關(guān)系的情況.BADEFGHC例2.空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，試判斷EF與平面BCD的位置關(guān)系，并予以證明.AEFBDC解：EF∥平面BCD。證明：如圖，連接BD。在△ABD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，∴EF∥BD,∴EF∥平面BCD。解后反思：通過(guò)本題的解答，你可以總結(jié)出什么解題思想和方法？BD平面BCD,又EF平面BCD，反思1：要證明直線與平面平行可以運(yùn)用判定定理；線線平行線面平行反思2：能夠運(yùn)用定理的條件是要滿足六個(gè)字，“面外、面內(nèi)、平行”。反思3:運(yùn)用定理的關(guān)鍵是找平行線。找平行線又經(jīng)常會(huì)用到三角形中位線定理。aba//a//b3、如圖，在正方體ABCD——A1B1C1D1中，E、F分別是棱BC與C1D1的中點(diǎn)。求證：EF//平面BDD1B1.MNM隨堂練習(xí)如何證明線面平行？線線平行線面平行關(guān)鍵：找平行線條件面內(nèi)面外平行(1)平行公理(2)三角形中位線(3)平行四邊形對(duì)邊平行(4)平行線分線段成比例4、如圖，在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)。試判斷BD1與平面AEC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由。

F隨堂練習(xí)五、小測(cè)：（一）填空。1、如果一條直線和一個(gè)平面

，那么我們就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面平行。2、直線a在平面α外，是指直線a和平面α

或

。3、直線與平面的位置關(guān)系按三種分為

或

或

。按兩種分為

或

。（二）判斷正誤。1、直線l平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則l∥α；（）2、若直線a在平面α外，則a∥α；（）3、若直線a∥b，直線bα，則a∥α；（）4、若直線a∥b，bα，那么直線a就平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線；（）（三）畫出滿足下列條件的圖形。aα，A∈α，A∈a，b∩α=A沒(méi)有公共點(diǎn)相交平行相交平行直線在平面內(nèi)直線在平面內(nèi)直線在平面外×

×

×

√A1.練習(xí)。P49-p501．證明直線與平面平行的方法：（1）利用定義；（2）利用判定定理．2.數(shù)學(xué)思想方法：轉(zhuǎn)化的思想空間問(wèn)題平面問(wèn)題知識(shí)小結(jié)線線平行線面平行直線與平面有沒(méi)有公共點(diǎn)三、直線與平面垂直

將書頁(yè)打開(kāi)直立在桌面上，觀察書脊AB和桌面的位置關(guān)系，給人以什么感覺(jué)？AB

書脊AB和每頁(yè)書與桌面的交線的位置關(guān)系如何？

此時(shí)，書脊AB和桌面內(nèi)的每條直線都垂直嗎？如果直線l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線l和平面互相垂直，記作l⊥

。直線與平面垂直的定義Pl直線

l叫做平面的垂線，平面叫做直線l的垂面。直線和平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足。思考：如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則嗎？問(wèn)題討論：

1、根據(jù)定義判定直線與平面垂直方便嗎？為什么？

2、若直線與平面內(nèi)的一條直線垂直，能保證嗎？

3、若直線與平面內(nèi)的兩條直線垂直，能保證嗎？動(dòng)手探究準(zhǔn)備一塊三角形的紙片，做實(shí)驗(yàn)（1）折痕AD與桌面垂直嗎？（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？容易發(fā)現(xiàn)：直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。APl(1)、若一條直線與一個(gè)三角形的兩條邊垂 直，則這條直線垂直于三角形所在的 平面。()(2)、若一條直線與一個(gè)平行四邊形的兩條 邊垂直，則這條直線垂直于平行四邊 形所在的平面。()(3)、若一條直線與一個(gè)梯形的兩腰垂直， 則這條直線垂直于梯形所在的平面。 ()√×

√判斷下列命題是否正確？想一想例題1如圖，已知,求證：因?yàn)橹本€,根據(jù)直線與平面垂直的定義知:證明:在平面內(nèi)作兩條相交直線又因?yàn)樗杂质莾蓷l相交直線所以證明ABCDE例2.在空間四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,求證:AC⊥BD

練習(xí):已知平面，是⊙的直徑，是⊙上的任一點(diǎn)，求證：．

直線與平面的夾角四、直線和平面所成的角異面直線所成角的范圍：

思考：結(jié)論：1、線線角：斜線與平面所成的角平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角AOB2、線面角當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，直線與平面所成的角是90°當(dāng)直線在平面內(nèi)或與平面平行時(shí)，直線與平面所成的角是0°斜線與平面所成的角（0°,90°）直線與平面所成的角〔0°,90°〕異面直線所成的角（0°,90°〕若斜線段AB的長(zhǎng)度是它在平面內(nèi)的射影長(zhǎng)的2倍，則AB與所成的角為

。60°ABO最小角原理AOBM斜線與平面所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角。AOBM如圖,直線OA與平面所成的角為1,平面內(nèi)一條直線OM與OA的射影OB所成的角為2,設(shè)∠AOM為求證:cos=cos1×cos2若直線l1與平面所成的角為60°，則這條直線與平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角為

，最大的角為

。90°60°Ol1例題、如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求A1B與平面A1B1CD所成的角ABCDA1B1C1D1OSACBOFE如圖，ACB=90，S為平面ABC外一點(diǎn)，SCA=SCB=60，求SC與平面ACB所成的角例：

的棱長(zhǎng)為1.正方體xyz直線與平面所成角的范圍：

思考：結(jié)論：2、線面角：例1：

的棱長(zhǎng)為1.正方體xyz設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，例2如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC底面ABCD。已知AB=2，BC=2，SA=SB=.(1)求證(2)求直線SD與平面SAB所成角的正弦值。SABCDOxyzSABDOC證明：(1)取BC中點(diǎn)O，連接OA、OS。(2)求直線SD與平面SAB所成角的正弦值。SABCOxyzD所以直線SD與平面SAB所成角的正弦值為例3、如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)。(1)證明：PA//平面EDB；(2)求EB與底面ABCD所成的角的正切值。ABCDPEGxyzABCDPEGxyz(1)證明：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，則PD=DC=DA=1.連AC、BD交于G點(diǎn)3.三垂線定理及其逆定理PCBAA1B1C1ADD1BC如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥平面AC,DD1為平面AC的垂線，BD1為平面AC的斜線。思考：1、直線BD,AC和BD1之間有怎樣的位置關(guān)系？2、總結(jié)：三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。OaAP已知：PO、PA分別是平面的垂線、斜線，AO是PO在平面上的射影。a，a⊥AO。求證：a⊥pAOaAP證明：a⊥PAa⊥平面PAOPA平面PAOPO⊥

a

AO⊥aPO⊥aPO∩AO=O小結(jié)：OaAP定理中需要“一面、四線、三垂直”三垂線定理的實(shí)質(zhì)是空間兩直線垂直的判定定理（思想的轉(zhuǎn)化）垂線最重要線射垂直線斜垂直PAOaα問(wèn)題：三垂線定理中包含那些垂直關(guān)系？線面垂直線斜垂直線射垂直

注意：直線a一定要在平面內(nèi)，如果a不在平面內(nèi)，定理就不一定成立。a例如：當(dāng)b⊥時(shí)，

b⊥OA探討：如果將定理中“在平面內(nèi)”的條件去掉，結(jié)論仍然成立嗎？b但

b不垂直于OP

bPAOαPCBA例1已知P是平面ABC外一點(diǎn)，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，

求證：PC⊥BC證明：∵P是平面ABC外一點(diǎn)

PA⊥平面ABC

∴PC是平面ABC的斜線∴AC是PC在平面ABC上的射影∵BC平面ABC且AC⊥BC∴由三垂線定理得

PC⊥BC三垂線定理解題的關(guān)鍵：找“三垂”一、找線面垂直二、找平面的斜線在平面內(nèi)的射影和平面內(nèi)的一條直線垂直解題回顧PAOaα線射垂直線斜垂直PAOaαPAOaα平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線垂直三垂線定理的逆定理？在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么，它也和這條斜線的射影垂直。PAOaα

已知：PA，PO分別是平面的垂線和斜線，AO是PO在平面的射影,a,a⊥PO求證：a

⊥AO三垂線定理的逆定理三垂線定理的逆定理

在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么，它也和這條斜線的射影垂直。三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。線射垂直線斜垂直定理逆定理線射垂直

線斜垂直定理逆定理⑴若a是平面α的斜線，直線b垂直于a在平面α內(nèi)的射影，則a⊥b（）⑷若a是平面α的斜線,b∥α,直線b垂直于a在平面α內(nèi)的射影，則a⊥b