2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)第8節(jié)：函數(shù)與方程（學(xué)生版）

2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)

第8節(jié)函數(shù)與方程

考試要求結(jié)合二次函數(shù)的圖像，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二

次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù).

I知識(shí)診斷?基礎(chǔ)夯實(shí)

知以梳理

.函數(shù)的零點(diǎn)

⑴函數(shù)零點(diǎn)的概念

函數(shù)y=/(x)的圖像與橫軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn).

(2)函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

方程_/(x)=0有實(shí)數(shù)根Q函數(shù)y=/(x)的圖像與x軸有交點(diǎn)=>函數(shù)了=Ax)有零點(diǎn).

(3)零點(diǎn)存在性定理

若函數(shù)y=/(x)在閉區(qū)間口，切上的圖像是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符

號(hào)相反即人“)負(fù)6)<0,則在區(qū)間@④內(nèi),函數(shù)歹=/(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即相應(yīng)方

程/(x)=0在區(qū)間(a,6)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解.

2.二次函數(shù)y="2+bx+c(a>0)的圖像與零點(diǎn)的關(guān)系

/=〃-4acJ>0J=0J<0

二次函數(shù)

”2/.

V4

y=ax2-\-bx+c

O\x=xx

(a>0)的圖像{2

與X軸的交點(diǎn)3，0),(孫0)8,0)無交點(diǎn)

零點(diǎn)個(gè)數(shù)210

|常用結(jié)論

1.若連續(xù)不斷的函數(shù)段)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則方)至多有一個(gè)零點(diǎn).函數(shù)的零

點(diǎn)不是一個(gè)“點(diǎn)”，而是方程外)=0的實(shí)根.

2.由函數(shù)y=/U)(圖像是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間［a,切上有零點(diǎn)不一定能推出

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y(a)^)<0,如圖所示，所以人0負(fù)6)<0是y=/(x)在閉區(qū)間口，切上有零點(diǎn)的充分

不必要條件.

斗后㈤

\/

6aWi>x

3.周期函數(shù)如果有零點(diǎn)，則必有無窮多個(gè)零點(diǎn).

|［診斷自測(cè)

1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“J”或“義”)

(1)函數(shù)/(x)=lgx的零點(diǎn)是(1,0).()

(2)圖像連續(xù)的函數(shù)y=/a)(xe。)在區(qū)間(。，內(nèi)有零點(diǎn)，則人07(6)<0.()

(3)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aW0)在b2~4ac<Q時(shí)沒有零點(diǎn).()

2.函數(shù)/(x)=x+lnx—3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()

A.(0,1)B.(l,2)

C.(2,3)D.(3,4)

3.(2019?全國III卷)函數(shù)次》)=2皿11》一5m2%在［0,2兀］的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

4.(易錯(cuò)題)若二次函數(shù)/(x)=x2—2x+〃?在區(qū)間(0,4)上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃?的取

值范圍是.

2V,x<0,i

5.(易錯(cuò)題)設(shè)函數(shù)/(x)=-則g(x)=/a)—：的零點(diǎn)的集合為_______.

jlogzxl，x>0,2

6.(2021?唐山檢測(cè))方程2、+3'=左的解在［1,2)內(nèi)，則左的取值范圍是.

考點(diǎn)突破?題型剖析

考點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定

1.函數(shù)大幻=^一|一一上一1的零點(diǎn)所在區(qū)間是()

x+1

A.(-l,0)B.(0,1)

C.(l,2)D.(2,3)

2.(2021?西安調(diào)研)函數(shù)_/(x)=logRX-F的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

5X

A.(0,1)B.(l,2)C.(2,3)D.(3,4)

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3.若a<b<c,則函數(shù)y(x)=(x—a)(x—b)+(x—b)(x—c)+(x—c)(x—a)的兩個(gè)零點(diǎn)分

別位于區(qū)間()

A.(a,b)和(b,c)內(nèi)

B.(—8,q)和g,°)內(nèi)

C.(b,c)和(c,+8)內(nèi)

D.(—8,°)和(c,+8)內(nèi)

4.設(shè)函數(shù)歹=%3與夕=8"的圖像的交點(diǎn)為(xo，yo)>若x()W(〃，n+1),〃WN,則

n的值為.

考點(diǎn)二確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

(21%12,x0,

例1⑴函數(shù)犬x)=,，'、’的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

—1+lnx,x>0

A.3B.2C.lD.O

(2)函數(shù)人x)=2、+x3—2在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.OB.lC.2D.3

(3)(2021?蘭州診斷)已知函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，滿足/(x+l)=-/(x),

當(dāng)xd[0,1]時(shí)，/(x)=cos},則函數(shù)y=/(x)—|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.2B.3C.4D.5

[nx--J-x>0

訓(xùn)練1(1)(2022?太原模擬)函數(shù)/(》)=,'''的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

4x+1,xWO

A.lB.2C.3D.4

(2)函數(shù)y=lg|x|—sinx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

考點(diǎn)三函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用

角度1根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)

加，xWl,

例2(1)(2021?湖南雅禮中學(xué)檢測(cè))已知函數(shù)段)=?,(aGR),若關(guān)于

X2—3x+3,x>l

x的方程;(x)=2a(aeR)恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.L1]B?

C.Glu(l,+°°)D.R

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(2)設(shè)次x)是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)任意的xWR,都有人2—幻=人2+幻，且當(dāng)

xG[—2,0]時(shí)，/(刈二日^一1,若關(guān)于X的方程y(x)—log"(x+2)=0(a>l)在區(qū)間

(-2,6]內(nèi)恰有三個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

角度2根據(jù)零點(diǎn)范圍求參數(shù)

例3函數(shù)｛x)=N+bx+c的兩個(gè)零點(diǎn)為2,3.

⑴求b,c的值；

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)+加x的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(1,2),(2,4)內(nèi)，求機(jī)的取值范

圍.

QX-axWO

訓(xùn)練2(1)已知函數(shù)Hx)=,‘’(aGR),若函數(shù)人x)在R上有兩個(gè)零點(diǎn),

2x~afx>0

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(0,1]B.[l,+°°)

C.(0,1)D.(-8,1]

(2)設(shè)實(shí)數(shù)a,b是關(guān)于x的方程|lgx|=c的兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，且a<X10,則He

的取值范圍是.

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微點(diǎn)突破/嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問題

函數(shù)的零點(diǎn)是命題的熱點(diǎn)，常與函數(shù)的性質(zhì)和相關(guān)問題交匯.對(duì)于嵌套函數(shù)的零點(diǎn),

通常先“換元解套”，將復(fù)合函數(shù)拆解為兩個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)，借助函數(shù)的圖像、

性質(zhì)求解.

例1函數(shù)人x)=,''若函數(shù)g(x)=X/(x))—。有三個(gè)不同的零點(diǎn)，

2x+1?x^-1>

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

例2(2021?長(zhǎng)沙質(zhì)檢)已知函數(shù)/(》)=,二:其中e為自然對(duì)數(shù)的底

4x3—6x2+l,x20,

數(shù)，則函數(shù)g(x)=3[/(x)]2—lQ/(x)+3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.4B.5C.6D.3

I分層訓(xùn)練?鞏固提升

A級(jí)基礎(chǔ)鞏固

1.已知函數(shù)/(X)的圖像是連續(xù)不斷的，且有如下對(duì)應(yīng)值表:

X12345

段)-4-2147

在下列區(qū)間中，函數(shù)外)必有零點(diǎn)的區(qū)間為()

A.(l,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

2.函數(shù)/(x)=a?—x—1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為()

A.--B.O

4

D.0或一」

c.-

44

2-r-[xV]

3.已知函數(shù)/(x)=,,'''則函數(shù)/(x)的零點(diǎn)為()

,l+10g2X,X>1,

A.~,0B-2,0c.-D.0

22

4.(2021?青島模擬)已知x=a是函數(shù)/(x)=2*—log5的零點(diǎn)，若O<xo<a,則/(xo)

的值滿足()

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AKxo）=O

B;/（xo）＞O

C:/（xo）＜O

D＜xo）的符號(hào)不確定

5.函數(shù)Xx）=x-cos2x在區(qū)間[0,2無]上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

6.（2022?成都診斷）曲線^=6與歹=《的交點(diǎn)橫坐標(biāo)所在區(qū)間為（）

7.(2022?渭南調(diào)研)設(shè)函數(shù)4x)=e》+x—2,g(x)=lnx+x2-3.若實(shí)數(shù)a,b滿足火a)

=0,g(b)=0,則()

A.g(a)<0</(/))B：他0<<g(a)

C.0<g(a)</3)D必)<g(“)<0

8.（2021?惠州模擬）若定義在R上的偶函數(shù)外）滿足Xx+2）=/（x）,且當(dāng)x￡[0,1]

時(shí)，/（x）=x,則函數(shù)N=/（X）—log3|x|的零點(diǎn)有（）

A.多于4個(gè)B.4個(gè)

C.3個(gè)D.2個(gè)

2

9.已知函數(shù)加）=e+。的零點(diǎn)為1,則實(shí)數(shù)“的值為.

10.（2021?汕頭質(zhì)檢）若函數(shù)/）=/—原+1在區(qū)間g力上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取

值范圍是.

11.已知函數(shù)月幻=，"+'若函數(shù)y=/（/（x）+加）有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)用的