實驗四：數(shù)列與級數(shù)()教學(xué)課件

實驗四：數(shù)列與級數(shù)(.ppt)46、法律有權(quán)打破平靜。——馬·格林47、在一千磅法律里，沒有一盎司仁愛?！?8、法律一多，公正就少?！小じ焕?9、犯罪總是以懲罰相補(bǔ)償；只有處罰才能使犯罪得到償還。——達(dá)雷爾50、弱者比強(qiáng)者更能得到法律的保護(hù)?！ざ驙枌嶒炈模簲?shù)列與級數(shù)(.ppt)實驗四：數(shù)列與級數(shù)(.ppt)46、法律有權(quán)打破平靜?！R·格林47、在一千磅法律里，沒有一盎司仁愛?！?8、法律一多，公正就少?！小じ焕?9、犯罪總是以懲罰相補(bǔ)償；只有處罰才能使犯罪得到償還?！_(dá)雷爾50、弱者比強(qiáng)者更能得到法律的保護(hù)?！ざ驙枖?shù)學(xué)實驗之四

數(shù)列與級數(shù)陳發(fā)來

中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)系2021/3/241、數(shù)列與級數(shù)數(shù)列

級數(shù)數(shù)列與級數(shù)的關(guān)系給定數(shù)列（1），令 ，則數(shù)列（1）等價于級數(shù)（2）。反之，給定級數(shù)（2）令則級數(shù)（2）等價于數(shù)列（1）。2021/3/24為研究Fibonacci數(shù)列的規(guī)律，我們在二維平面上畫出順次連接點列的折線圖。2023/7/23易知故有的階在與之間。為進(jìn)一步研究的特性，在平面坐標(biāo)系中畫連接

的折線圖。然后用直線去擬合之.2023/7/232023/7/23猜測將上式代入遞推公式中得由此然而,上式并不滿足進(jìn)一步猜測2023/7/23由此得可以驗證上式是Fibonacci數(shù)列的通項.由此，F(xiàn)ibonacci數(shù)列趨于無窮的階為2023/7/23一般地,給定數(shù)列的遞推關(guān)系假設(shè)則滿足2023/7/23因此的通項為其中是上述方程的根。2023/7/233、調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù)研究數(shù)列的極限階.2023/7/23首先研究的折線圖.2023/7/23由于

下面研究的極限.從上圖猜測,極限存在.實際上,易知2023/7/23故知極限存在.進(jìn)而由此猜測用數(shù)據(jù)擬合發(fā)現(xiàn),稱為Euler常數(shù).2023/7/23也可以直接從數(shù)列出發(fā).猜測2023/7/234、3N+1問題問題：任給自然數(shù)n，如果n是偶數(shù)，則將n除2；如果n是奇數(shù)，則將n乘3加1。重復(fù)上述過程得到一個無窮數(shù)列。例如，上述數(shù)列可遞歸地定義為如果n為偶如果n為奇

2023/7/23我們來研究上述數(shù)列的規(guī)律。先從簡單的示例開始。2023/7/23用Mathematica編程驗證：1、是否對任意n，從n開始產(chǎn)生的數(shù)列最后都落于421的循環(huán)中？2、數(shù)列在落于421循環(huán)之前，有什么規(guī)律？2023/7/23對n=27得2023/7/232023/7/23該問題起源于20世紀(jì)50年代，被稱為Syracuse猜想，角谷猜想，Collatz問題，Hasse算法問題，Ulam問題，Thwaites猜想，簡稱3x+1問題。目前有人驗證到猜想仍然成立。2023/7/23一些觀察：如果，則對，為奇數(shù)，則2023/7/23如果對每個n,數(shù)列中有某一項小于n,則猜想成立。對n=4k+1,有對n=16k+3,有2023/7/23如果猜想不成立，則只有下列兩種情況之一1、數(shù)列落于有別于421的循環(huán)中；2、不存在循環(huán)。此時，數(shù)列總趨勢會越來越大。2023/7/23引入一些概念：航班：從n開始迭代產(chǎn)生的數(shù)列（直至1為止）。如第5次航班為5168421航程：航班的長度。如航班5168421的長度為5最大飛行高度：一個航班中的最大數(shù)字。如第5航班的最大飛行高度為162023/7/23保持高度航程：從起點起連續(xù)不小于起點的數(shù)字的個數(shù)。如3105168421的保持高度航程為5。如果所有航班的保持高度航程有限，則3n+1問題成立。航程記錄航班：航程大于所有它前面的航班的航程。如第7航班，它的航程為16。保持高度航程記錄航班：保持高度航程大于所有前面航班的保持高度航程。2023/7/23最大飛行高度記錄航班：最大飛行高度大于所有它前面的航班的最大飛行高度。對于一個固定航班N,考慮它著陸前的表示奇變換。其中除2的變換稱為偶變換，乘3加1的變換成為奇變換。用E(N)表示偶變換數(shù)，O(N)表示奇變換數(shù)。2023/7/23一些記錄：保持高度航程：N=118303688851791519,G(N)=1471留數(shù)：N=993,R(N)=1.253142航程：N=1269884180266527,F(N)=20392023/7/23顯然3N+1問題與下列問題等價：1）所有航班的航程有限；2）所有航班的保持高度航程有限；3）對所有N,E(N)有限；4）對所有N,O(N)有限。2023/7/23一些探索：1）航程與起點的關(guān)系。2023/7/23上述圖形中有沒有規(guī)律？用f(n)表示航班n的航程。f(n)的上界與n存在什么樣的函數(shù)關(guān)系？例如，當(dāng)n適當(dāng)大后，是否有f(n)<n？一些航程記錄：2023/7/232）保持高度航程與起點關(guān)系。2023/7/23上述圖形中能看出什么規(guī)律？用G(N)表示保持高度航程。G(N)的上界是否與不超過c*log(N)?對N=2^p-1,a_2=3*2^p-2,a_4=3^2*2^p-1,a_2p=3^p-1.于是，G(2^p-1)>2p.一些保持高度航程記錄：G(3)=6,G(7)=11,G(27)=96,G(703)=132.2023/7/233）最大飛行高度與起點的關(guān)系。2023/7/23用t(n)表示航班n的最高飛行高度。上述圖形中有什么規(guī)律？t(n)與n的關(guān)系如何？例如，是否有t(n)<K*n*n?2023/7/23偶變換與奇變換的關(guān)系：2023/7/23O(N)/E(N)的上界是什么？當(dāng)N趨于無窮時，O(N)/E(N)的極限是什么？簡單分析：其中R(N)稱為留數(shù)，它是所有形如的項的積，這里a_i是航程中的奇數(shù)。例如，2023/7/23對于航班3105168421,E(3)=5,O(3)=2,R(3)=(1+1/9)(1+1/15)取對數(shù)得故2023/7/23且如果則2023/7/23一些猜測：（1）R(N)<=R(993)(2)令C(N)=O(N)/E(N),則C(N)<C,C<log2/log3為常數(shù)。

2023/7/23啟發(fā)式論證：注意每一次奇變換后必然是偶變換，但每一次偶變換后可以是奇變換，也可能是偶變換。假設(shè)這種可能性是一樣的。從某一個N開始，我們考察航班高度的變化：（1）奇變換后做偶變換的結(jié)果為奇數(shù)，可能性1/2，高度變換3/2；（2）奇變換后做偶變換的結(jié)果為偶數(shù)，可能2023/7/23性為1/4，高度變化3/4；奇變換后再作三次偶變化，可能性1/8，高度變化3/8；………………..平均變化高度：高度最終下降。2023/7/23用c表示保持高度航程中奇變換的次數(shù)的平均值。利用上述模型可以證明，c=3.49265….對3到2000000000之間航班的保持高度航程中奇次變換取平均值，可得到3.4926…。這兩個結(jié)果的驚人的一致性使我們相信上述啟發(fā)式模型的正確性。2023/7/23一些理論結(jié)果：（1）R.Terra和C.Evertt證明了：幾乎所有的航班都會下降到它的起點以下。（2）存在常數(shù)c,當(dāng)n足夠大時，在比n小的航班中，能夠在1上著陸的航班個數(shù)大于或等于n^c.1978年，R.Crandal首先給出c=0.05;1989年I.Krasikov得到c=0.43;1993年G.Wirsching給出c=0.48;1995年D.Applegate和J.Lagarias得到c=0.81.2023/7/23會不會永遠(yuǎn)證不出來？自從哥德爾發(fā)表他的著名的不完備定理以來，每次數(shù)學(xué)家碰到一個困難的問題，都會疑神疑鬼—這會不會證不出來？哥德爾的不完備定理，在包含皮亞諾的自然數(shù)公理的系統(tǒng)中，總有不可證明的命題存在。因而3N+1問題有可能不能證明，即使它是錯誤的。比如，我們可能發(fā)現(xiàn)一個航班，2023/7/23它非得越來越高，但無論如何不能證明它永遠(yuǎn)也不會著陸到1。數(shù)學(xué)家J.Conway（發(fā)明了生命游戲）定義了一個類似3N+1問題的不可證明的命題。但他的方法仍然不能說明3N+1是否可以證明。2023/7/23各種變化與推廣（1）推廣到負(fù)數(shù)?？梢杂腥齻€不同循環(huán)：

-1-2-1-5-14-7-20-10-5-17-50-25-74-37-110-55-164-82-41-122-61-182-91-272-136-68-34-17

是否有更多的循環(huán)？2023/7/23（2）5N+1問題。又存在幾個循環(huán)：63164216136633166834162081045226131786432161085427136683417但是第７航班似乎老實在往上飛，誰也不知道它是否會降落下來。2023/7/23

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