4D104重積分的應(yīng)用課件

1.能用重積分解決的實際問題的特點所求量是

對區(qū)域具有可加性

從重積分定義出發(fā)建立積分式

用微元分析法(元素法)分布在有界閉域上的整體量3.解題要點

畫出積分域、選擇坐標(biāo)系、確定積分序、

定出積分限、計算要簡便2.用重積分解決問題的方法

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、平面區(qū)域的面積設(shè)D是xy平面上的有界區(qū)域，則其面積對直角坐標(biāo)，若D是x型區(qū)域：y1(x)≤y≤y2(x),a≤x≤b,則有若在極坐標(biāo)下D表示為：二、立體體積

曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為

占有空間有界域

的立體的體積為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束任一點的切平面與曲面所圍立體的體積V.解:

曲面的切平面方程為它與曲面的交線在xoy面上的投影為(記所圍域為D)在點例1.求曲面機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.求半徑為a的球面與半頂角為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解:在球坐標(biāo)系下空間立體所占區(qū)域為則立體體積為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、曲面的面積設(shè)光滑曲面則面積A可看成曲面上各點處小切平面的面積dA無限積累而成.設(shè)它在D上的投影為d

,(稱為面積元素)則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即機動目錄上頁下頁返回結(jié)束若光滑曲面方程為若光滑曲面方程為隱式則則有且機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.計算雙曲拋物面被柱面所截解:

曲面在xoy面上投影為則出的面積A.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.計算半徑為a的球的表面積.（P137—例4）解:設(shè)球面方程為

球面面積元素為方法2利用直角坐標(biāo)方程.(見書P138)方法1利用球坐標(biāo)方程.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束四、物體的質(zhì)量具有面密度的平面薄板的總質(zhì)量M為類似地，若一立體V的密度為則其總質(zhì)量M可表示為例5.設(shè)V是曲面所圍區(qū)域，V中任一點的密度等于該點到z軸的距離，求其質(zhì)量M。（P139—例6）解:

由題設(shè)知密度函數(shù)為在柱面坐標(biāo)下，V的邊界曲面為z=r與z=6–r2,r=6–r2解出r=2，于是有五、物體的質(zhì)心設(shè)空間有n個質(zhì)點,其質(zhì)量分別由力學(xué)知,該質(zhì)點系的質(zhì)心坐標(biāo)設(shè)物體占有空間域,有連續(xù)密度函數(shù)則

公式,分別位于為為即:采用“大化小,常代變,近似和,取極限”可導(dǎo)出其質(zhì)心

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束將分成n小塊,將第k塊看作質(zhì)量集中于點例如,令各小區(qū)域的最大直徑系的質(zhì)心坐標(biāo)就近似該物體的質(zhì)心坐標(biāo).的質(zhì)點,即得此質(zhì)點在第k塊上任取一點機動目錄上頁下頁返回結(jié)束同理可得則得形心坐標(biāo)：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束若物體為占有xoy面上區(qū)域D的平面薄片,(A為D的面積)得D的形心坐標(biāo):則它的質(zhì)心坐標(biāo)為其面密度—對x軸的

靜矩—對y軸的

靜矩機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.求位于兩圓和的質(zhì)心.解:

利用對稱性可知而之間均勻薄片機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.一個煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形,剖面壁線的方程為內(nèi)儲有高為

h的均質(zhì)鋼液,解:利用對稱性可知質(zhì)心在z

軸上，采用柱坐標(biāo),則爐壁方程為因此故自重,求它的質(zhì)心.若爐不計爐體的其坐標(biāo)為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束四、物體的轉(zhuǎn)動慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域,有連續(xù)分布的密度函數(shù)該物體位于(x,y,z)處的微元

因此物體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量:對z軸的轉(zhuǎn)動慣量為因質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量等于各質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量之和,故連續(xù)體的轉(zhuǎn)動慣量可用積分計算.

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束類似可得:對x軸的轉(zhuǎn)動慣量對y軸的轉(zhuǎn)動慣量對原點的轉(zhuǎn)動慣量機動目錄上頁下頁返回結(jié)束如果物體是平面薄片,面密度為則轉(zhuǎn)動慣量的表達式是二重積分.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例8.求半徑為a的均勻半圓薄片對其直徑解:建立坐標(biāo)系如圖,半圓薄片的質(zhì)量的轉(zhuǎn)動慣量.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:

取球心為原點,z軸為l軸,則球體的質(zhì)量例9.求均勻球體對于過球心的一條軸

l的轉(zhuǎn)動慣量.設(shè)球

所占域為(用球坐標(biāo))機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

G

為引力常數(shù)五、物體的引力設(shè)物體占有空間區(qū)域,物體對位于原點的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力利用元素法,在上積分即得各引力分量:其密度函數(shù)引力元素在三坐標(biāo)軸上的投影分別為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束對xoy面上的平面薄片D,它對原點處的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力分量為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束更一般地，設(shè)立體的密度一質(zhì)量為m的質(zhì)點位于點P0(x0,y0,z0),則立體對質(zhì)點的引力為例10.設(shè)面密度為μ,半徑為R的圓形薄片求它對位于點解:由對稱性知引力處的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力.。機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例11.求半徑R的均勻球?qū)ξ挥诘膯挝毁|(zhì)量質(zhì)點的引力.解:

利用對稱性知引力分量點機動目錄上頁下頁返回結(jié)束為球的質(zhì)量機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(t為時間)的雪堆在融化過程中,其側(cè)面滿足方程設(shè)長度單位為厘米,

時間單位為小時,設(shè)有一高度為已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比(比例系數(shù)0.9),問高度為130cm的雪堆全部融化需要多少小時?(2019考研)機動目錄上