《機械工程測試技術》第五章課件

1重點：數(shù)字信號處理的初步概念。相關分析及其應用、功率譜分析及其應用。難點：信號數(shù)字化中出現(xiàn)的問題：采樣、混疊、截斷、泄漏和窗函數(shù)等概念。24七月2023機械工程測試技術基礎2測試的目的是獲取反映被測對象狀態(tài)和特征的信息。實際中有用的信息總是和各種噪聲混雜在一起，難于直接識別和利用。只有分離信號和噪聲并經過必要處理和分析，消除和修正系統(tǒng)誤差之后，才能準確提取信息中有用信息。信號處理目的:（1）分離信號和噪聲，提高信噪比。（2）從信號中提取有用的特征信號。（3）修正測試系統(tǒng)的某些誤差（如非線性誤差，溫度影響）。24七月2023機械工程測試技術基礎24七月2023機械工程測試技術基礎3

信號分析（Signalanalysis）：研究信號的構成和特征值（對信號結構無影響）。信號處理（Signalprocess）：把信號經過必要的變換，以獲得所需信息的過程（有可能改變信號本身結構）。二者密切相關，沒明確的界限，有時作同義語。信號處理類型模擬信號處理系統(tǒng)：由模擬濾波器、乘法器、微分放大器等實現(xiàn)模擬運算功能的電路組成。作為數(shù)字信號處理的前奏。數(shù)字信號處理系統(tǒng)：用數(shù)學方法處理信號，通常在計算機上實現(xiàn)，也可用專用信號處理機完成。優(yōu)點：穩(wěn)定，靈活，快速，高效，應用廣，設備輕。41）電壓幅值調理，以適宜采樣。2）濾波，以提高信噪比。3）隔離信號中的直流分量。4）調制信號的解調。模擬信號經采樣、量化并轉化為二進制。數(shù)字信號處理器或計算機預處理預處理A/D轉換x(t)y(t)A/D轉換結果顯示第一節(jié)

數(shù)字信號處理的基本步驟

圖5-1數(shù)字信號處理系統(tǒng)的簡圖對采集到的數(shù)字信號進行分析、計算。24七月2023機械工程測試技術基礎24七月2023機械工程測試技術基礎5x(t)xq(nTS)量化計算機x(n)編碼x(n)n001011100010010011tx(t)xq(nTS)tq2q3q4qTS2TS3TS…測試信號的數(shù)字化過程xS(nTS)采樣/保持txS(nTS)TS2TS3TS…TsｑHowLong時間離散化幅值離散化24七月2023機械工程測試技術基礎6模—數(shù)轉換（A／D）

指模擬信號經采樣、量化并轉換為二進制的過程。（1）采樣：是將連續(xù)信號變?yōu)殡x散時間序列信號的過程。（2）截斷：將采樣得到的離散時間序列乘以窗函數(shù)，使之成為有限時間序列的過程。（3）量化：是把采樣信號經過舍入變?yōu)橛邢迋€有效數(shù)字的數(shù)的過程。（4）編碼：將經過量化的值變?yōu)槎M制數(shù)字的過程。24七月2023機械工程測試技術基礎7第二節(jié)

信號數(shù)字化出現(xiàn)的問題

一概述（以計算一個模擬信號的頻譜為例）采樣圖5-2

原模擬信號及其幅頻譜圖5-3采樣函數(shù)及其幅頻譜Ts采樣間隔1/Ts=fs采樣頻率圖5-4采樣后信號及其幅頻譜若fm>1/2Tsfm-fm

采樣：就是用一個等時距的周期脈沖序列s(t)去乘x(t)，Ts

采樣間隔；1/Ts=fs采樣頻率；24七月2023機械工程測試技術基礎8圖5-5時窗函數(shù)及其幅頻譜T：窗寬圖5-6有限長離散信號及其幅頻譜N=T/Ts

：序列長度截斷截斷：就是再乘一個窗口函數(shù)（矩形），T為窗寬；N=T/Ts

所截取的時間序列數(shù)據(jù)點數(shù)（序列長度）；24七月2023機械工程測試技術基礎9離散頻率序列△f=fs/N=1/(TsN)=1/Ts(T/Ts)=1/T圖5-8DFT后的頻譜及其時域函數(shù)圖5-7

頻域采樣函數(shù)及其時域函數(shù)N點的離散頻率序列離散頻率序列：就是離散傅立葉變換；24七月2023機械工程測試技術基礎10計算機按照一定算法—離散傅立葉變換(DiscreteFourieTransform)將N點長的離散時間序列x(t)s(t)w(t)變換為N點的離散頻率序列，并輸出。輸出離散頻率序列的頻率間距△f=1/T。頻域采樣函數(shù)是計算機實際輸出是：

(5-1)頻域采樣形成的頻域函數(shù)離散化，把其時域函數(shù)周期化了。上述處理過程的每一個步驟：采樣、截斷、DFT計算都會引起失真或誤差。24七月2023機械工程測試技術基礎11二時域采樣、混疊和采樣定理長度為

T

的連續(xù)信號x(t)，采樣得到的離散時間序列為x(n)=x(nTs)=x(n/fs)

n=0,1,2,…N-1(5-2)Ts—采樣間隔；N—序列長度，N=T/Ts；fs—采樣頻率采樣間隔太小，其數(shù)字序列就長，效率低；采樣間隔太大，可能丟掉有用的數(shù)據(jù)，出現(xiàn)混疊現(xiàn)象。圖5-9混疊現(xiàn)象24七月2023機械工程測試技術基礎12圖5-4采樣后信號及其幅頻譜f1f2f1混疊必定出現(xiàn)在f=fs/2左右兩側的頻率處，稱為折疊頻率，高于折疊頻率的高頻成分f1和低于折疊頻率的低頻成分f2，它們之間的關系是(f1+f2)/2=fs/2。24七月2023機械工程測試技術基礎13抗混疊濾波預處理后，若采樣頻率fs大于帶限信號最高頻率

fh

的2倍，即(5-5)就不會發(fā)生混疊。實際上考慮高于截止頻率fc有過渡帶，采樣頻率fs常選用(3~4)fc。hfsTsf21>=圖5-10

不產生混疊的條件采樣定理，也稱香農（Shannon）定理24七月2023機械工程測試技術基礎14三量化和量化誤差(Quantizationerror)

若采樣點的電平落在兩相鄰量化之間，就必須含入到相近的一個量化電平上。一般認為，量化誤差ε(n)為()()()量化電平實際nxnxn-=eΔx/2-Δx/2-Δx/2<ε(n)<Δx/224七月2023機械工程測試技術基礎15可認為ε(n)在±Δx/2之間等概率分布。則?????????íì?=-=Δx.ΔxΔx方差標準差Δx均方值均值Δx概率密度29032012212201設A/D轉換器位數(shù)為b，允許的動態(tài)工作范圍D(±5V，0~10V)，相鄰量化電平之間差為

(5-6)-Δx/2<ε(n)<Δx/224七月2023機械工程測試技術基礎16A/D轉換器位數(shù)應視信號和量化精度而定，要適當。位數(shù)增加后，成本顯著增加，轉換速率下降。0024v.04096)(104096212?=V設有余弦信號x(t),用矩形窗函數(shù)w(t)與其相乘，得到截斷信號：y(t)=x(t)w(t)將截斷信號譜XT(ω)與原始信號譜X(ω)相比較可知，它已不是原來的兩條譜線，而是兩段振蕩的連續(xù)譜.原來集中在f0處的能量被分散到兩個較寬的頻帶中去了，這種現(xiàn)象稱之為頻譜能量泄漏。24七月202317機械工程測試技術基礎24七月2023機械工程測試技術基礎18圖5-5時窗函數(shù)及其幅頻譜T：窗寬圖5-6有限長離散信號及其幅頻譜N=T/Ts

：序列長度截斷24七月2023機械工程測試技術基礎19四截斷、泄漏和窗函數(shù)截斷就是將信號乘以時域的有限寬矩形窗函數(shù)。實際是取有限長的信號，從數(shù)學處理上看，就是乘以時域的有限寬矩形窗函數(shù)。x(t)是帶限信號，截斷后成為無限帶寬信號，信號能量在頻率軸分布擴展的現(xiàn)象稱為泄漏。窗函數(shù)優(yōu)劣評價：1、最大旁瓣峰值與主瓣峰值之比；

2、最大旁瓣10倍頻程衰減率；

3、主瓣寬度；常見窗函數(shù)：矩形窗；三角窗；漢寧窗；指數(shù)窗；24七月2023機械工程測試技術基礎20選擇窗函數(shù)應使頻譜的主瓣寬度窄、旁瓣幅度小。窄的主瓣可提高頻率的分辨力，小的旁瓣可以減小泄漏。（一）、矩形窗特點：主瓣最窄2/T，旁瓣較高T，泄漏較大。應用：適合于要獲得精確主峰的頻率，而對幅值精度要求不高的場合。圖5-5時窗函數(shù)及其幅頻譜24七月2023機械工程測試技術基礎21（二）、三角窗

特點：主瓣寬度約為矩形窗的2倍，但旁瓣低且不會出現(xiàn)負值。24七月2023機械工程測試技術基礎22（三）、漢寧窗（余弦窗)

特點：旁瓣明顯降低，有抑制泄漏的作用，但主瓣較寬，致使頻率分辨能力較差。應用：在截斷隨機信號或非整周期截斷周期函數(shù)時，為了平滑或削弱截取信號的兩端，減小泄漏，宜加漢寧窗。24七月2023機械工程測試技術基礎23（四）、指數(shù)窗

特點：無旁瓣，主瓣很寬，其頻率分辨力低。應用：對脈沖響應類信號宜加指數(shù)窗，若適當選擇衰減函數(shù)，可起到抑制噪聲的作用。

24七月2023機械工程測試技術基礎24常用窗函數(shù)24七月2023機械工程測試技術基礎25五頻域采樣、時域周期延拓和柵欄效應頻域采樣—頻率離散化，無疑是將時域信號“改造”成周期信號。相當于在時域中將窗內的信號波形在窗外進行周期延拓。采樣就是“摘取”采樣點上對應的函數(shù)值，如透過柵欄的縫隙看景，不全面，此現(xiàn)象稱之為柵欄效應（picket-fenceeffect）。擋住或丟失的頻率成分有可能是重要的或具有特征的成分，以至于整個處理失去意義。24七月2023機械工程測試技術基礎26六頻率分辨率、整周期截斷

從DFT的原理看，譜線落在某頻率f0處的條件是：考慮到△f=1/T，簡諧信號的周期T0=1/f0，因此即，只有截取的信號長度T正好等于信號周期的整數(shù)倍時，才能使分析譜線落在簡諧信號的頻率上。整數(shù)=Dff0整數(shù)=T0T

頻率采樣間隔△f也是頻率分辨率的指標。此間隔越小，頻率分辨率越高。利用DFT變換時：24七月2023機械工程測試技術基礎27離散傅立葉變換的圖解推演a)模擬信號及其傅立葉變換b)采樣信號及其傅立葉變換c)離散信號及其傅立葉變換d)矩形窗函數(shù)及其傅立葉變換e)矩形窗函數(shù)采樣信號及其傅立葉變換f)頻域采樣函數(shù)及其傅立葉逆變換g)離散信號傅立葉變換離散傅立葉變換步驟：1）時域采樣2）時域截斷3）頻域采樣時域采樣引起頻域周期化頻域采樣引起時域周期化當窗函數(shù)的寬度T→∞時，sinc函數(shù)就變成δ函數(shù)。由于T不夠寬帶來誤差從而產生波紋和泄漏信號時域、頻域的離散化導致時域、頻域的周期化24七月2023機械工程測試技術基礎28待變換時域信號時域采樣：Ts

采樣間隔；1/Ts=fs采樣頻率；T為窗寬；N=T/Ts

所截取的時間序列數(shù)據(jù)點數(shù)（序列長度）△f=fs/N=1/(TsN)=1/Ts(T/Ts)=1/T輸出離散頻率序列的頻率間距△f=1/T折疊頻率，高于折疊頻率的高頻成分f1和低于折疊頻率的低頻成分f2，它們之間的關系是(f1+f2)/2=fs/2hfsTsf21>=24七月2023機械工程測試技術基礎29第三節(jié)

隨機信號

一概述隨機信號—不能用確定數(shù)學公式描述，不能預測其未來瞬時值，任何一次觀察結果不能代表全部，其值變動服從統(tǒng)計規(guī)律。樣本函數(shù)—對隨機信號按時間歷程所作的各次長時間觀測記錄稱為樣本函數(shù)，記為xi(t)。樣本記錄—樣本函數(shù)在有限時間區(qū)間上的部分稱為樣本記錄。（1-61）

隨機過程—全部樣本函數(shù)的集合（總體）就是隨機過程，記為{x(t)}，即

將集合中所有樣本函數(shù)對同一時刻ti的觀測值取平均稱為（ti時刻的）集合平均。（隨機過程的平均）按單個樣本的時間歷程進行平均的計算稱為（該樣本的）時間平均。24七月2023機械工程測試技術基礎30{x(t)}={x1(t),x2(t),x3(t),…,xn(t),…}圖5-1

隨機過程與樣本函數(shù)任意時刻ti的統(tǒng)計特征參數(shù)都相同的隨機過程。在平穩(wěn)隨機過程中，若任一單個樣本函數(shù)的時間平均統(tǒng)計特征等于該過程集合平均統(tǒng)計特征24七月2023機械工程測試技術基礎31隨機過程分類:

（1）平穩(wěn)隨機過程—其統(tǒng)計特征參數(shù)不隨時間而變化的隨機過程。（2）非平穩(wěn)隨機過程—與上述相反則為非平穩(wěn)隨機過程。

（3）各態(tài)歷經隨機過程—在平穩(wěn)隨機過程中，若任一單個樣本函數(shù)的時間平均統(tǒng)計特征等于該過程集合平均統(tǒng)計特征，這樣的平穩(wěn)隨機過程叫各態(tài)歷經隨機過程。

24七月2023機械工程測試技術基礎32

工程中很多隨機信號具有各態(tài)歷經性，即使不嚴格遵守各態(tài)歷經性，也按各態(tài)歷經隨機過程處理。也就是說在測試工作中常以一個或幾個有限長度的樣本記錄來推斷整個隨機過程。以時間平均來估計集合平均。在測試中確定性信號一般是在一定條件下出現(xiàn)的特殊情況，或者是忽略了信號的隨機性部分，實際中測試信號總是受到環(huán)境噪聲污染的，故研究隨機信號具有普遍意義。

24七月2023機械工程測試技術基礎33二．隨機信號的主要特征參數(shù)各態(tài)歷經隨機信號主要特征參數(shù)：（1）均值、方差和均方值（2）概率密度函數(shù)

（3）自相關函數(shù)（4）功率譜密度函數(shù)（一）均值μx、方差σ2x和均方值ψ2x

1．均值μx

（1-62）T—觀測時間;x(t)—樣本函數(shù);均值μx表示信號的常值分量2．方差σ2x

（1-63）描述隨機信號的波動分量，它是

x(t)偏離均值

μx的平方的均值，方差的正平方根叫標準偏差

σx。

24七月2023機械工程測試技術基礎343．均方值ψ2x

描述隨機信號的強度，它是x(t)平方的均值，即

（1-64）均方值的正平方根稱為均方根值χrms4．均值μx、方差σ2x和均方值ψ2x的關系

（1-65）（當μx=0時，）5．集合平均，

t1時刻的均值μx,t1和均方值ψ2x,t1為（1-66）

（1-67）M—樣本記錄總數(shù);

i—樣本記錄序號;

t1—觀察時刻24七月2023機械工程測試技術基礎35（二）概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)—表示信號幅值落在指定區(qū)間內的概率。見圖1-22所示，圖1-22

概率密度函數(shù)的計算24七月2023機械工程測試技術基礎36x(t)值落在(x,x+Δx)區(qū)間內的時間為

Tx

（1-68）當樣本函數(shù)的記錄時間T→∞時，Tx/T的比值就是x(t)的幅值落在(x,x+Δx)區(qū)間內的概率，即（1-69）幅值概率密度函數(shù)p(x)為（1-70）概率密度函數(shù)提供了隨機信號幅值分布的信息，不同的隨機信號有不同的概率密度圖形。圖1-23是四種常見的隨機信號（假設μx=0）的概率密度函數(shù)圖形。當不知道所處理的隨機數(shù)據(jù)服從何種分布時，可用統(tǒng)計概率分布圖來估計概率密度函數(shù)。24七月2023機械工程測試技術基礎37圖1-23四種隨機信號a)正弦函數(shù)（初始相角為隨機量）b)正弦函數(shù)加隨機信號c)窄帶隨機信號d)寬帶隨機信號通過概率密度函數(shù)的圖形特征可以定性的判斷原信號中是否含有周期成分，若原信號中周期成分越多，則p(x)-x曲線的“馬鞍形”現(xiàn)象就越明顯。24七月2023機械工程測試技術基礎38第四節(jié)

相關分析及應用

通常兩個變量之間若存在一一對應的確定關系，則稱兩者之間存在著函數(shù)關系。而當兩個隨機變量之間具有某種關系，隨著一個變量數(shù)值的確定

，另一變量卻可能取許多不同值，但取值有一定的概率統(tǒng)計規(guī)律，這時稱兩個隨機變量存在著相關關系。

一．兩個隨機變量的相關系數(shù)圖5-14表示由兩個隨機變量x和y組成的數(shù)據(jù)點分布情況。0xy0xya)x與y無關b)線性關系圖5-14兩隨機變量的相關性24七月2023機械工程測試技術基礎39變量x和y之間的相關程度常用相關系數(shù)

ρxy

表示：（5-16）

離散:連續(xù):

式中E—數(shù)學期望μx—隨機變量x的均值μx=E[x]μy—隨機變量y的均值μy=E[y]σx—隨機變量x的標準差σ2x=E[(x–μx)2]σy—隨機變量y的標準差σ2y=E[(y–μy)2]òT￥?=0)(1lim][dttxTxET各態(tài)歷經隨機過程用柯西—許瓦茲不等式

E[(x-μx)(y-μy)]2≦E[(x-μx)

2]

E[(y-μy)2]（5-17）故知:┃ρxy┃≦124七月2023機械工程測試技術基礎40xyxyxyxy當數(shù)據(jù)點分布越接近于一條直線時，ρxy

的絕對值越接近1，x和y的線性相關性程度越好，將這樣的數(shù)據(jù)回歸成直線才越有意義。ρxy的正付號表示一變量隨另一變量增加而增加或減少。當ρxy接近零時，則認為x和y之間完全無關。但仍可能存在某種非線性的相關關系甚至函數(shù)關系。24七月2023機械工程測試技術基礎41在任何t=ti

時刻，從兩個樣本上分別得到兩個量值x(ti)和x(ti+τ)，而且x(t)和x(t+τ)具有相同的均值和標準差。假如把

簡寫成

，那么有

假如x(t)是某各態(tài)歷經隨機過程的一個樣本記錄。x(t+τ)是x(t)時移τ后的樣本記錄，見圖5-15。二．信號的自相關函數(shù)0tx(t)0tx(t+τ)τtiti圖5-15自相關24七月2023機械工程測試技術基礎42將分子展開并注意到

從而

（5-18）

定義各態(tài)歷經隨機信號自相關函數(shù)為

（5-19）

則

（5-20）

24七月2023機械工程測試技術基礎43顯然，和均隨τ而變化，且兩者成線性關系。如果隨機過程均值，則自相關函數(shù)性質：（1）由式（5-20）有（5-21）因為，所以（5-22）（2）自相關函數(shù)在τ=0時為最大值，并等于該隨機信號的均方值

ψ2x

（5-23）

24七月2023機械工程測試技術基礎44（3）當τ足夠大或τ→∞時，x(t)和x(t+τ)不存在內在聯(lián)系，彼此無關。

（4）自相關函數(shù)為偶函數(shù)，即（5-24）

（5）周期函數(shù)的自相關函數(shù)仍為同頻率的周期函數(shù)，其幅值與原周期信號幅值有關，而丟失了原信號的相位信息。

2)(xxmtRt?￥?24七月2023機械工程測試技術基礎45τRx(τ)0μ2xμ2x+σ2xμ2x-σ2x圖5-16自相關函數(shù)的性質24七月2023機械工程測試技術基礎46例5-1求正弦函數(shù)

x(t)=x0sin(ωt+φ)的自相關函數(shù)。初相角φ為一隨機變量。式中為正弦函數(shù)周期令

則

，于是

解：此正弦函數(shù)是一個零均值的各態(tài)歷經隨機過程，其平均值可用一個周期內平均值表示。該函數(shù)的自相關函數(shù)為:24七月2023機械工程測試技術基礎47由

可見正弦函數(shù)的自相關函數(shù)是一個余弦函數(shù)，在τ=0時具有最大值，它不隨τ的增加而衰減至零。保留了原正弦信號的幅值和頻率信息，而丟失了相位信息。

上式為24七月2023機械工程測試技術基礎48（1）由于μx=0；

（2）

（4）

（5）

丟失相位信息。

性質討論：24七月2023機械工程測試技術基礎490tRx(τ)0tx(t)0tRx(τ)0tx(t)0tx(t)0tRx(τ)0tx(t)0tRx(τ)圖5-17四種典型信號的自相關函數(shù)正弦波正弦波加隨機噪聲窄帶隨機噪聲寬帶隨機噪聲信號中含有周期成分，其自相關函數(shù)在τ很大時都不會衰減，并具有明顯周期性。不包含周期成分，當τ稍大時Rx(τ)→0。窄帶隨機噪聲的Rx

(τ)有較慢衰減特性。寬帶隨機噪聲的Rx(τ)很快衰減為零。自相關函數(shù)是區(qū)別信號類型的一個非常有效的手段24七月2023機械工程測試技術基礎50例：自相關分析測量轉速理想信號干擾信號實測信號自相關系數(shù)提取周期性轉速成分自相關分析的主要應用：用來檢測混淆在干擾信號中的確定性周期信號成分。24七月2023機械工程測試技術基礎51三．信號的互相關函數(shù)

兩個各態(tài)歷經隨機過程的隨機信號x(t)和y(t)的互相關函數(shù)Rxy(τ)定義為（5-25）

由式（5-16）

24七月2023機械工程測試技術基礎52當時移τ足夠大或τ→∞時，x(t)和

y(t)互不相關，

Rxy(τ)最大變動量范圍在之間，即（5-26）

如果x(t)和y(t)兩信號是同頻率的周期信號或者包含有同頻率的周期成分，那么，即使τ→∞，互相關函數(shù)也不收斂并出現(xiàn)該頻率的周期成分。如果兩信號含有頻率不等的周期成分，則兩者不相關。結論：

同頻相關，異頻無關。24七月2023機械工程測試技術基礎53例

5-2設有兩個周期信號

式中：θ--

x(t)相對t=0的相位角

j--x(t)與y(t)的相位差試求其互相關函數(shù)

Rxy(τ)

解：因為信號是周期信號,可用一個周期T0代替整個歷程T24七月2023機械工程測試技術基礎54令

由此可見，兩個均值為零，且具有相同頻率的周期信號，其互相關函數(shù)中保留了這兩個信號的圓頻率ω，對應的幅值

x0和y0以及相位差j的信息。

24七月2023機械工程測試技術基礎55例5-3若兩個周期

信號圓頻率不等,

試求其互相關函數(shù)

根據(jù)正（余）弦函數(shù)的正交性，可知

可見，兩個非同頻周期信號是不相關的。

解：24七月2023機械工程測試技術基礎56第五章作業(yè)教科書175頁，思考題與習題5-15-25-3下次課交作業(yè)24七月2023機械工程測試技術基礎57互相關函數(shù)性質：（1）互相關函數(shù)不是偶函數(shù)

證明：

令令

可見

24七月2023機械工程測試技術基礎58τRxy(τ)0μxμyμxμy

+σxσyμxμy

-σxσy圖5-19互相關函數(shù)的性質τ0

（2）圖中表明τ=τ0時呈現(xiàn)最大值，時移τ0反映

x(t)和y(t)之間的滯后時間。互相關函數(shù)的性質，使它在工程應用中有重要價值。它是在噪聲背景下提取有用信息的一個非常有效的手段。24七月2023機械工程測試技術基礎59相關濾波：例如在線性系統(tǒng)中測振。根據(jù)頻率保持性，只有和激振頻率相同的成分才能是由激振而引起的響應，而其它成分是干擾。因此將激振信號與所測得的響應信號進行互相關（τ=0不用時移），就可得到由激振引起的響應的幅值和相位差，消除了噪聲干擾的影響

。這種處理方法叫相關濾波。互相關技術廣泛應用于各種測試中。24七月2023機械工程測試技術基礎60