【2022蘇教數(shù)學(xué)優(yōu)化方案】《算法案例》優(yōu)化

1．4算法案例學(xué)習(xí)目標(biāo)1.體會三個案例的算法思想；2．會用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個正數(shù)的最大公約數(shù)．

課堂互動講練知能優(yōu)化訓(xùn)練1.4算法案例課前自主學(xué)案課前自主學(xué)案溫故夯基1．三種循環(huán)語句的一般形式分別是什么？當(dāng)型語句WhileP

循環(huán)體EndWhile直到型語句Do

循環(huán)體Until

PEndDoFor語句ForIfrom“初值”To“終值”SteP“步長”

循環(huán)體EndFor2．當(dāng)型循環(huán)與直到型循環(huán)語句的區(qū)別(1)當(dāng)型循環(huán)是先判斷(條件)，后執(zhí)行(循環(huán)體)，而直到型循環(huán)則是先執(zhí)行(循環(huán)體)，后判斷(條件)．(2)當(dāng)型循環(huán)是當(dāng)條件滿足時執(zhí)行循環(huán)體，不滿足時結(jié)束循環(huán)，而直到型循環(huán)則是條件不滿足時執(zhí)行循環(huán)體，條件滿足時結(jié)束循環(huán)．(3)直到型循環(huán)至少執(zhí)行一次循環(huán)體，而當(dāng)型循環(huán)可能一次也不執(zhí)行循環(huán)體．知新益能1．輾轉(zhuǎn)相除法所謂輾轉(zhuǎn)相除法，就是對于給定的兩個數(shù)，用較大的數(shù)除以較小的數(shù)，若余數(shù)不為零，則將余數(shù)和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對數(shù)，繼續(xù)上面的除法，直到大數(shù)被小數(shù)除盡，則這時的較小的數(shù)就是原來兩個數(shù)的________________最大公約數(shù)．2．更相減損術(shù)所謂更相減損術(shù)就是對于給定的兩個數(shù)，以兩數(shù)中較大的數(shù)減去較小的數(shù)，然后將差和較小的數(shù)構(gòu)成一對新數(shù)，再用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，反復(fù)執(zhí)行此步驟直到差和較小的數(shù)相等，此時相等的兩數(shù)便為原來兩數(shù)的______________最大公約數(shù)．3．中國剩余定理(或?qū)O子剩余定理)其最早出現(xiàn)在我國《算經(jīng)十書》之一的《孫子算經(jīng)》中．原文是：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二．問物幾何？答曰：二十三．”自從《孫子算經(jīng)》中提出這個“物不知數(shù)”問題之后，它便引起了人們很大的興趣．《孫子算經(jīng)》中給出了求解的關(guān)鍵步驟，南宋數(shù)學(xué)家秦九韶對該問題加以推廣，又發(fā)現(xiàn)了一種新的算法，叫“大衍求一術(shù)”．人們將這種問題的通用解法稱為“_____________”或“中國剩余定理”．孫子剩余定理4．秦九韶算法課堂互動講練考點(diǎn)突破求兩個數(shù)的最大公約數(shù)考點(diǎn)一求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)可用輾轉(zhuǎn)相除法或更相減損術(shù)．二者的主要區(qū)別在于輾轉(zhuǎn)相除法進(jìn)行的是除法運(yùn)算，即輾轉(zhuǎn)相除；而更相減損術(shù)進(jìn)行的是減法運(yùn)算，即輾轉(zhuǎn)相減，它們在步驟上雖然略有不同，但在理論上是一致的，都是一個不斷的遞歸過程．用輾轉(zhuǎn)相除法求612與468的最大公約數(shù)，并用更相減損術(shù)檢驗(yàn)所得結(jié)果．【思路點(diǎn)撥】將612作大數(shù)，468作小數(shù)，執(zhí)行輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)即可．【解】用輾轉(zhuǎn)相除法：612＝468×1＋144,468＝144×3＋36,144＝36×4，即612和468的最大公約數(shù)是36.用更相減損術(shù)：612和468為偶數(shù)，∴兩次用2約簡得153和117,153－117＝36,117－36＝81,81－36＝45,45－36＝9,36－9＝27,27－9＝18,18－9＝9，所以612和468的最大公約數(shù)為9×2×2＝36.例1【思維總結(jié)】輾轉(zhuǎn)相除法是當(dāng)大數(shù)被小數(shù)除盡時，結(jié)束除法運(yùn)算，較小的數(shù)就是最大公約數(shù)．更相減損術(shù)是先判斷兩個數(shù)是否均為偶數(shù)，若是，用2約簡，否則用大數(shù)減小數(shù)，當(dāng)大數(shù)減小數(shù)的差等于小數(shù)時減法停止，則這個數(shù)(等數(shù))或這個數(shù)與約簡的數(shù)的乘積就是所求的最大公約數(shù)．自我挑戰(zhàn)1用輾轉(zhuǎn)相除法、更相減損術(shù)求228,1995的最大公約數(shù)．解：用輾轉(zhuǎn)相除法：1995＝8×228＋171228＝1×171＋57171＝3×57＋0所以：57就是228和1995的最大公約數(shù)．用更相減損術(shù)：1995－228＝17671767－228＝15391539－228＝13111311－228＝10831083－228＝855855－228＝627627－228＝399399－228＝171228－171＝57171－57＝114114－57＝5757－57＝0則57就是228,1995的最大公約數(shù)．秦九韶算法考點(diǎn)二秦九韶算法適用于一般的多項(xiàng)式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0的求值問題，秦九韶算法的特點(diǎn)在于把求一個n次多項(xiàng)式的值轉(zhuǎn)化為求n個一次多項(xiàng)式的值，即把求f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0的值轉(zhuǎn)為求遞推公式：通過一次式的反復(fù)計(jì)算，逐步得出高次多項(xiàng)式的值，對于一個n次多項(xiàng)式，只需做到n次乘法和n次加法運(yùn)算即可，從而提高了運(yùn)算效率．用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)＝3x5＋8x4－3x3＋5x2＋12x－6，當(dāng)x＝2時的值．【思路點(diǎn)撥】秦九韶算法的關(guān)鍵在于把n次多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為求一次多項(xiàng)式的值，注意體會遞推的實(shí)現(xiàn)過程．例2【解】根據(jù)秦九韶算法，把多項(xiàng)式改寫成如下形式：f(x)＝((((3x＋8)x－3)x＋5)x＋12)x－6.按照從內(nèi)到外的順序，依次計(jì)算一次多項(xiàng)式當(dāng)x＝2時的值v0＝3，v1＝v0×2＋8＝3×2＋8＝14，v2＝v1×2－3＝14×2－3＝25，v3＝v2×2＋5＝25×2＋5＝55，v4＝v3×2＋12＝55×2＋12＝122，v5＝v4×2－6＝122×2－6＝238，∴當(dāng)x＝2時，多項(xiàng)式的值為238.【思維總結(jié)】

利用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式的值，關(guān)鍵是正確地將所給多項(xiàng)式改寫，然后由內(nèi)向外逐次計(jì)算，由于后項(xiàng)計(jì)算需要用到前項(xiàng)的結(jié)果，故應(yīng)認(rèn)真、細(xì)心，確保中間結(jié)果的準(zhǔn)確性．利用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式的值，通過列表則能簡化書寫．自我挑戰(zhàn)2

用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1當(dāng)x＝2時的值．解：根據(jù)秦九韶算法，把多項(xiàng)式改寫成如下形式：f(x)＝8x7＋5x6＋0·x5＋3·x4＋0·x3＋0·x2＋2x＋1＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1.按照從內(nèi)到外的順序，依次計(jì)算一次多項(xiàng)式當(dāng)x＝2時的值：v0＝8；v1＝8×2＋5＝21；v2＝21×2＋0＝42；v3＝42×2＋3＝87；v4＝87×2＋0＝174；v5＝174×2＋0＝348；v6＝348×2＋2＝698；v7＝698×2＋1＝1397.∴當(dāng)x＝2時，多項(xiàng)式的值為1397.進(jìn)位制考點(diǎn)三進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和運(yùn)算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng)，約定滿二進(jìn)一，就是二進(jìn)制；滿十進(jìn)一，就是十進(jìn)制；滿十二進(jìn)一，就是十二進(jìn)制；滿六十進(jìn)一，就是六十進(jìn)制，等等．也就是說，“滿幾進(jìn)一”就是幾進(jìn)制，幾進(jìn)制的基數(shù)就是幾．把十進(jìn)制數(shù)化為k進(jìn)制數(shù)用“除k取余法”，即把所給十進(jìn)制數(shù)除以k，得到商和余數(shù)，再對商除以k，得到商數(shù)和余數(shù)，直到商數(shù)為0，把上面各步所得的余數(shù)從下到上排列，即得到k進(jìn)制數(shù)．(本題滿分14分)(1)把二進(jìn)制數(shù)11011(2)化為十進(jìn)制數(shù)；(2)把十進(jìn)制數(shù)281化為二進(jìn)制數(shù)．【思路點(diǎn)撥】按公式或步驟進(jìn)行．例3【規(guī)范解答】

(1)11011(2)＝1×24＋1×23＋0×22＋1×2＋1＝16＋8＋2＋1＝27.6分

(2)

∴281化為二進(jìn)制數(shù)為100011001(2).14分【名師點(diǎn)評】

(1)把二進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)的方法：anan－1…a1a0(2)＝an×2n＋an－1×2n－1＋…＋a1×2＋a0.(2)把十進(jìn)制數(shù)化為二進(jìn)制數(shù)的方法：把十進(jìn)制數(shù)連續(xù)除以2，直到商為0為止．同時將各步的余數(shù)寫出，將各步所得的余數(shù)倒序?qū)懗觯礊樗蟮亩M(jìn)制數(shù)，稱為除2取余法．自我挑戰(zhàn)3

(1)110010(2)化為十進(jìn)制數(shù)為________．(2)93化為二進(jìn)制數(shù)為________．解析：(1)110010(2)化為十進(jìn)制數(shù)為1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×2＋0＝32＋16＋2＝50.(2)

∴93化為二進(jìn)制數(shù)是1011101(2)．答案：(1)50

(2)1011101(2)1．用輾轉(zhuǎn)相除法求兩數(shù)最大公約數(shù)時，是當(dāng)大數(shù)恰好被小數(shù)整除時停止除法，這時的小數(shù)就是兩數(shù)的最大公約數(shù)．用更相減損術(shù)求兩數(shù)最大公約數(shù)時，是當(dāng)大數(shù)減小數(shù)恰好等于小數(shù)時停止減法，這時的小數(shù)就是兩數(shù)的最大公約數(shù)．求三個以上(含三個數(shù))的數(shù)的最大公約數(shù)時，可依次通過求兩個數(shù)的最大