1.2 空間向量基本定理 教學(xué)課件

第一章

空間向量與立體幾何1.2空間向量基本定理人教A版2019高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)我們知道，平面內(nèi)的任意一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來(lái)表示(平面向量基本定理).類(lèi)似地，任意一個(gè)空間向量能否用任意三個(gè)不共面的向量來(lái)表示呢?共面向量定理:

如果兩個(gè)向量不共線，則向量與向量共面的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)x,y，使

我們先從空間中三個(gè)不共面的向量?jī)蓛纱怪边@一特殊情況開(kāi)始討論.如圖示,設(shè)是空間中三個(gè)兩兩垂直的向量,且表示它們的有向線段有公共起點(diǎn)O.對(duì)于任意一個(gè)空間向量,設(shè)為在所確定的平面上的投影向量.

因此，如果是空間三個(gè)兩兩垂直的向量,那么對(duì)任意一個(gè)空間向量,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得OQP探究在空間中，如果用任意三個(gè)不共面的向量代替兩兩垂直的向量你能得出類(lèi)似的結(jié)論嗎?一、空間向量基本定理：定理如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，使得(1)任意不共面的三個(gè)向量都可做為空間的一個(gè)基底;(3)一個(gè)基底是指一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)連的不同概念.其中叫做空間的一個(gè)基底，叫做基向量.說(shuō)明:對(duì)于基底，除了應(yīng)知道

不共面，還應(yīng)明確:(2)由于與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面，所以三個(gè)向量不共面，就隱含著它們都不是;1.已知向量是空間的一個(gè)基底，從中選哪一個(gè)向量，一定可以與向量構(gòu)成空間的另一個(gè)基底?－－

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－練習(xí)2.已知O,A,B,C為空間的四個(gè)點(diǎn)，且向量不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么點(diǎn)O,A,B,C是否共面?－－

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－練習(xí)二、單位正交基底：如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪?，且長(zhǎng)度都為1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用表示.由空間向量基本定理可知，對(duì)空間中的任意向量，均可以分解為三個(gè)向量使像這樣，把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解.由空間向量基本定理可知，如果把三個(gè)不共面的向量作為空間的一個(gè)基底，那么所有空間向量都可以用三個(gè)基向量表示出來(lái).進(jìn)一步地，所有空間向量間的運(yùn)算都可以轉(zhuǎn)化為基向量間的運(yùn)算，這為解決問(wèn)題帶來(lái)了方便.OBA例1如圖示，M是四面體OABC的棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OM上，點(diǎn)P在線段AN上，且

用向量表示COBAMNP解：3.如圖，已知平行六面體OABC-O′A′B′C′.點(diǎn)G是側(cè)面BB′C′C的中心，且(1)是否構(gòu)成空間的一個(gè)基底?(2)如果構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么用它表示下列向量:ACOBC′O′B′A′G－－

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－練習(xí)例2如圖示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=4,AA1=5,∠DAB=60°,∠BAA1=60°,∠DAA1=60°,M,N分別為D1C1,C1B1的中點(diǎn).求證：MN⊥AC1.ACDBC1D1B1A1NM例3如圖示,正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長(zhǎng)為1，E,F,G分別為C'D′,A'D',D'D的中點(diǎn).(1)求證：EF//AC；(2)求CE與AG所成角的余弦值.BDCA′B′C′D′AGFE－－

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－練習(xí)1.已知四面體OABC，OB=OC,∠AOB=∠AOC=θ.求證:

OA⊥BC.COBA－－

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－練習(xí)2.如圖，在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中，AB=2，AD=2，AA'=3，∠BAD=∠BAA'=∠DAA'=60°.求BC'與CA'所成角的余弦值.ACDBC′D′B′A′3.如圖，已知正方體ABCD-A′B′C′D′，CD