矩陣論三角分解課件

3.3矩陣的三角分解法我們知道對矩陣進行一次初等變換，就相當于用相應的初等矩陣去左乘原來的矩陣。因此我們這個觀點來考察Gauss消元法用矩陣乘法來表示，即可得到求解線性方程組的另一種直接法：矩陣的三角分解。

Gauss消元法的矩陣形式

Doolittle分解Doolittle分解若矩陣A有分解：A=LU，其中L為單位下三角陣，U為上三角陣，則稱該分解為Doolittle分解，可以證明，當A的各階順序主子式均不為零時，Doolittle分解可以實現(xiàn)并且唯一。A的各階順序主子式均不為零，即Doolittle分解Doolittle分解Doolittle分解Doolittle分解Doolittle分解Doolittle分解例題例題例題例題例題Doolittle分解對稱矩陣的Cholesky分解在應用數(shù)學中，線性方程組大多數(shù)的系數(shù)矩陣為對稱正定這一性質(zhì)，因此利用對稱正定矩陣的三角分解式求解對稱正定方程組的一種有效方法，且分解過程無需選主元，有良好的數(shù)值穩(wěn)定性。對稱矩陣的Cholesky分解

A對稱：AT=AA正定：A的各階順序主子式均大于零。即對稱矩陣的Cholesky分解由Doolittle分解，A有唯一分解對稱矩陣的Cholesky分解定理3.2.4設A為對稱正定矩陣，則存在唯一分解A=LDLT，其中L為單位下三角陣，D=diag(d1,d2,…,dn)且di>0(i=1,…,n)對稱矩陣的Cholesky分解證明：對稱矩陣的Cholesky分解對稱矩陣的Cholesky分解對稱矩陣的Cholesky分解推論：設A為對稱正定矩陣，則存在唯一分解其中L為具有主對角元素為正數(shù)的下三角矩陣。證明：

Cholesky分解的求法Cholesky分解的求法Cholesky分解的求法Cholesky分解法Cholesky分解法缺點及優(yōu)點優(yōu)點：可以減少存儲單元。缺點：存在開方運算，可能會出現(xiàn)根號下負數(shù)。改進Cholesky分解法改進的cholesky分解A=LDLT改進Cholesky分解改進Cholesky分解改進的cholesky分解算法改進的cholesky分解算法例題例題例題例題A=LDLT分解，既適合于解對稱正定方程組，也適合求解A為對稱，而各階順序主子式不為零的方程組而對A=LLT只適合于對稱正定方程組追趕法追趕法追趕法追趕法例題例題3.5平方根法在應用數(shù)學中，線性方程組大多數(shù)的系數(shù)矩陣為對稱正定這一性質(zhì)，因此利用對稱正定矩陣的三角分解式求解對稱正定方程組的一種有效方法，且分解過程無需選主元，有良好的數(shù)值穩(wěn)定性。平方根法

A對稱：AT=AA正定：A的各階順序主子式均大于零。即平方根法由Doolittle分解，A有唯一分解平方根法定理3.2.4設A為對稱正定矩陣，則存在唯一分解A=LDLT，其中L為單位下三角陣，D=diag(d1,d2,…,dn)且di>0(i=1,…,n)平方根法證明：平方根法平方根法平方根法推論：設A為對稱正定矩陣，則存在唯一分解其中L為具有主對角元素為正數(shù)的下三角矩陣。證明平方根法平方根法平方根法平方根法Cholesky分解法缺點及優(yōu)點優(yōu)點：可以減少存儲單元。缺點：存在開方運算，可能會出現(xiàn)根號下負數(shù)。改進平方根法改進的平方根法分解A=LDLT改進平方根法改進平方根法改進的平方根法改進平方根法例題例題例題例題A=LDLT分解，既適合于解對稱正定方程組，也適合求解A為對稱，而各階順序主子式不為零的方程組而對A=LLT只適合于對稱正定方程組2.6范數(shù)與誤差估計用直接方法解n階線性方程組Ax=b，由于原始數(shù)據(jù)A、b的誤差及計算過程中的舍入誤差，一般得不到方程的精確解，往往得到它的近似解x，為了討論解的精度，即誤差向量x-，的大小，也為了討論用迭代法解線性方程組的收斂性問題，需要引入向量及矩陣的范數(shù)。向量的范數(shù)定義3.1設是n維向量空間，如果，實值函數(shù)‖x‖滿足條件

(1)正定性：‖x‖≥0，當且僅當x=0時，‖x‖＝０；

(2)齊次性：λ∈R,‖λx‖=|λ|‖x‖；

(3)三角不等式：‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖，則稱‖x‖為上的向量范數(shù)(或向量的模)。在數(shù)值計算中，常用的向量范數(shù)有三種。設，規(guī)定性質(zhì)證明：據(jù)式(3.25)，只要證明對“∞”范數(shù)結(jié)論成立即可。又據(jù)定義3.2知：矩陣的范數(shù)設常用的矩陣范數(shù)：(1)矩陣的列范數(shù)：(2)矩陣的行范數(shù)：(3)矩陣的歐氏范數(shù)：(4)矩陣的譜范數(shù)：例3.6已知，求A的常用范數(shù)。解：例題多元函數(shù)誤差估計3.7迭代法解線性方程組的直接法，如Gauss消去法、矩陣的三角分解等，適用于階數(shù)不高的線性方程組。而在實際應用中，常會遇到一類階數(shù)很高，非零元素很少的所謂高階稀疏方程組(零元素成片分布，數(shù)量上絕對占優(yōu))。對這類方程組用迭代法求解，可以充分利用稀疏矩陣的特性減少計算工作量，節(jié)省存貯量。迭代法所要解決的幾個主要問題是：

(1)構(gòu)造一種迭代格式，把所給方程組Ax=b化成同解的方程組x=Bx+d從而得迭代公式(k=0,1,2,…)只需要給出初始向量即可得一向量序列{},式中B叫迭代矩陣，B不同，則得不同的迭代方法。(2)研究迭代矩陣B滿足什么條件時，迭代序列必收斂于Ax=b的精確解。(3)討論如何估計誤差的大小以決定迭代次數(shù)N。Jacobi迭代法

Jacobi迭代法是最簡單的一種迭代法，是從方程組(3.1)的各個方程中分別解出同序號的未知數(shù)。設系數(shù)矩陣A非奇異，且，則因此，得迭代公式例3.7用Jacobi迭代法求解方程組解：從原方程組中分別解出因此得迭代格式K=1,2,3,…。若取初始向量計算所得向量列于表3.1，其中小結(jié)本章主要介紹了解線性方程組的直接法和迭代法，以及向量、矩陣的范數(shù)和病態(tài)方程組的基本概念。直接法的基礎(chǔ)是Gauss消去法及其矩陣形式的LU分解。選取主元素是保證消去法計算穩(wěn)定性及提高精度的有效方法，列主元Gauss消去法以其算法組織簡便，計算量不大等優(yōu)點見長，比較常用，必須熟練掌握。利用三對角矩陣(對角占優(yōu))及對稱正定矩陣的矩陣形式的特殊性，可以簡化LU分解，得到追趕法及平方根法，這兩個方法不需選主元便數(shù)值穩(wěn)定，具有較高的計算精度，是解決兩類