第6章點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)練習(xí)題參考答案

14#使得xe瓦產(chǎn)B.證明：X是T空間，必為T的正規(guī)空間，對任意xeX,｛x｝為閉集.41對于BeB且xeB,B就是｛x｝的一個開鄰域.由于X為正規(guī)空間，必存在｛x｝的一個開鄰域U,使得UuB?U也是x的開鄰域，一定存在一個BeB，使得xeBuU,且有BuU，當(dāng)1ii然就有xeBuB?i6、設(shè)X是Hausdorff空間，f:XtX是連續(xù)映射?證明A二｛xeXIf(x)二x｝是X的閉子集.證明：對于VxeA，則f(x)主x，從而f(x),x有互不相交的開鄰域U和V，設(shè)W=f-1(U)nV，則W是x的開鄰域，并且xeWuA‘，故A‘是開集，從而A是閉集.7、設(shè)X和Y是兩個拓?fù)淇臻g，并且Y是Hausdorff空間，如果f,g:XtY是兩個連續(xù)映射.證明A二｛xeXIf(x)二g(x)｝是X中的閉集.證明：A二｛xeXIf(x)二g(x)｝是X中的閉集當(dāng)且僅當(dāng)X-A是開集.VxeX-A，則f(x)豐g(x).由于Y是Hausdorff空間，則f(x),g(x)在Y存在不相交的開鄰域U,V?再由的連續(xù)性，可知f-i(U),g-i(V)都是x的開鄰域，從而f-i(U)g-i(V)也是x的開鄰域.°但是(f-i(U)g-i(V))A=0，即(f-i(U)g-i(V))uX—A，因此X—A是開集.8、設(shè)x為Hausdorff空間,f:xtX是一個連續(xù)映射，且ff=f?證明：f(x)是X的閉集.證明：對VxgX一f(X),則f(x)豐x,由于X是Hausdorff空間，存在x和f(x)的鄰域UV，使得UcV二①?又因?yàn)閒連續(xù)，故存在x的鄰域U，使得112f(U)uV，令U=UcU，則U是x的鄰域，且UuX一f(X)?212事實(shí)上，若存在zgU使得zgf(X),即3ygX使得z=f(y)?于是f(z)=ff(y)=f(y)=z,而f(z)gf(U)uV,這樣，zgUcVuUcV二①，矛盾?所以UuX一f(X)，即f(X)是閉集.TOC\o"1-5"\h\zo19.設(shè)X是一個T空間，xgX。證明：如果X中由異于x的點(diǎn)構(gòu)成的一個序列i｛x｝收斂于x，則序列｛x｝有一個由兩兩不同的點(diǎn)構(gòu)成的一個子序列收斂于x。ii證明：設(shè)A=｛x,x,｝，由于｛x｝uA-｛x｝,且｛x｝收斂于x,從而xgd(A).12ii令N]=l,假設(shè)取得N],N2,…，Nk満足叫<比<???<7,且x^，xN2，…,xNk兩兩不同，由于X為T1空間，從而｛xN1,xN2，…，xNk｝為閉集，故X—｛xN1,xN2，…，xNJ是x的一個開領(lǐng)域，由xgd(A)且X為T]空間知X—｛xN1,xN2，…，xNJ中含有A的無限多個點(diǎn)，令Nk+]=min｛m|m>