第1章-概率論與隨機(jī)過程1-3節(jié)課件

引言本課程在整個(gè)專業(yè)課程中的作用：

1、本課程之前的課程所涉及和討論的信號(hào)均為確定性信號(hào)：即，信號(hào)的波形或函數(shù)表示，其變量之間的關(guān)系一一對(duì)應(yīng)。

這些課程的設(shè)立主要目的是解決：分析確知電信號(hào)的組成分量，即信號(hào)時(shí)域，頻域表示，尤其是信號(hào)的付氏分析；電路或系統(tǒng)對(duì)一確定的輸入信號(hào)會(huì)產(chǎn)生什么樣的作用，即研究電路與系統(tǒng)的行為；設(shè)計(jì)電路或系統(tǒng)對(duì)確知電信號(hào)的處理，以達(dá)到預(yù)期的目的。上海大學(xué)通信學(xué)院2、研究非確定性或隨機(jī)性信號(hào)的重要性

實(shí)際意義：實(shí)際應(yīng)用中，隨機(jī)信號(hào)無處不在。

隨機(jī)信號(hào)的特征：不能先驗(yàn)確定的隨機(jī)性，即自變量與函數(shù)值非一一對(duì)應(yīng)；可無限持續(xù)性導(dǎo)致能量無限性，條件不滿足；可能具有互相影響的波及性或關(guān)聯(lián)性。

可采用的研究方法：統(tǒng)計(jì)學(xué)方法。本課程的目的:如何解決輸入為隨機(jī)量的系統(tǒng)分析？問題？何謂統(tǒng)計(jì)學(xué)方法？如何運(yùn)用該方法？方法:給定任意時(shí)刻,的統(tǒng)計(jì)描述方法,以及如何求解的統(tǒng)計(jì)特性;(概率論)時(shí)間量連續(xù)變化時(shí),隨機(jī)量的統(tǒng)計(jì)描述方法及其統(tǒng)計(jì)特性;如何描述的頻域及其基本特征;隨機(jī)量通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的響應(yīng).(其中2,3,4均為隨機(jī)過程內(nèi)容)學(xué)習(xí)本課程的方法統(tǒng)計(jì)的概念：以統(tǒng)計(jì)平均的思想描述信號(hào)的特征；模型的概念：研究一般化的系統(tǒng)與信號(hào)間的關(guān)系；物理的概念：注重?cái)?shù)學(xué)推演的思想方法以及結(jié)論的物理意義。第一章概率論自然界和社會(huì)上發(fā)生的現(xiàn)象是多種多樣的,其大體可分為兩類:

I.確定性現(xiàn)象:在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象。

II.隨機(jī)現(xiàn)象:

在相同條件下，每次試驗(yàn)或觀察的可能結(jié)果不止一個(gè)，且在每次試驗(yàn)或觀察之前無法預(yù)知確切的結(jié)果,即不確定性。但在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察下,它的結(jié)果卻呈現(xiàn)出規(guī)律性，即具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。這種在相同條件下，各試驗(yàn)結(jié)果均呈現(xiàn)不確定性，但在大量重復(fù)試驗(yàn)中又具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的現(xiàn)象，稱為隨機(jī)現(xiàn)象。概率論就是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門科學(xué)。上海大學(xué)通信學(xué)院§1隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)事件樣本空間(一)隨機(jī)試驗(yàn):E試驗(yàn)：各種科學(xué)實(shí)驗(yàn)，或?qū)δ骋皇挛锬硞€(gè)特征的觀察。隨機(jī)試驗(yàn)的例子：拋硬幣，擲骰子，袋中取不同顏色的球，測(cè)試一批產(chǎn)品的某項(xiàng)質(zhì)量。隨機(jī)試驗(yàn)的特征:

1.可以在相同條件下重復(fù)地進(jìn)行;2.每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但能事先明確試驗(yàn)所有可能結(jié)果的范圍;3.每次試驗(yàn)前不能確定那個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。滿足上述條件的試驗(yàn)，稱為隨機(jī)試驗(yàn)E。上海大學(xué)通信學(xué)院

(二)

隨機(jī)事件：在隨機(jī)試驗(yàn)中，每一次試驗(yàn)可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，而在大量重復(fù)試驗(yàn)中卻具有某種規(guī)律性的事件，稱為此隨機(jī)試驗(yàn)的隨機(jī)事件，記為A，B，…?；臼录弘S機(jī)試驗(yàn)中，由每一種可能結(jié)果所構(gòu)成的隨機(jī)事件，稱為基本事件。必然事件。例：擲骰子試驗(yàn)中,“點(diǎn)數(shù)不大于6”不可能事件。例：擲骰子試驗(yàn)中,“點(diǎn)數(shù)大于6”上海大學(xué)通信學(xué)院

(三)

樣本空間：為了便于研究隨機(jī)試驗(yàn)E，我們將隨機(jī)試驗(yàn)E的所有基本事件所組成的集合稱作E的樣本空間，記為S。并將試驗(yàn)E中的基本事件稱為樣本空間S的元素，記為e。

隨機(jī)試驗(yàn)E

樣本空間S

E1：拋一枚硬幣,觀察正面H,方面T出S1:{H,T}

現(xiàn)的情況；

E2：將一枚硬幣拋兩次,觀察正反面的S2:{(H,T),(H,H),(T,H),(T,T)}

出現(xiàn)情況；

E3：擲一顆孤骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；S3:{1，2，3，4，5，6}E4：在一批燈泡中任意抽取一支,測(cè)試S4:{t︳t≥0}

它的壽命；

E5：記錄某一晝夜的最低溫度x和最高S5:{(x,y)︳T0<x<y<T1}

溫度y。設(shè)這一地區(qū)的溫度不會(huì)小于T0,不會(huì)大于T1。

樣本空間中的元素是由試驗(yàn)的內(nèi)容（或目的）確定的。

上海大學(xué)通信學(xué)院由于隨機(jī)事件是由基本事件，或由基本事件合成的事件，因此隨機(jī)試驗(yàn)E的隨機(jī)事件A可以與樣本空間S中的子集構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。例如：在E3試驗(yàn)中，“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”事件A的出現(xiàn),

則A={2,4,6}，A就是S3的子集。如事件B:“點(diǎn)數(shù)小于3”其子集為B={1,2}由此可知：試驗(yàn)E中的事件A是樣本空間S中的子集，而且事件A發(fā)生就是：當(dāng)且僅當(dāng)子集中的一個(gè)基本事件發(fā)生。同時(shí)可推知：必然事件就是樣本空間S；不可能事件就是空集,記為?。注意：?也是一個(gè)子集。上海大學(xué)通信學(xué)院事件之間的關(guān)系與事件之間的運(yùn)算：

設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S；A，B，Ak(k=1,2,…)是E的事件。1.

若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A，記為BA或AB。

若事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即BA且AB，則稱事件A與事件B相等，記為A=B.，

上海大學(xué)通信學(xué)院2.若事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生，則稱該事件為事件A與事件B的和，記為

。類似的,若事件A1，A2，

…，Ak，…中至少有一個(gè)發(fā)生，該事件稱為事件A1，A2，…，Ak，…

的和，記為3.若事件A與事件B同時(shí)發(fā)生，則稱該事件為事件A與事件B的積，記為A∩B或AB。

類似的,可定義Ak(k=1,2,…)的積為

ABS上海大學(xué)通信學(xué)院4.若事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生，這一事件稱為事件A與事件B的差，記為A-B。

注意：若B為一閉集，則A-B事件將不包含

B的邊界。5.若事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，則稱事件A與事件B是互不相容的，記為AB=Ф。例:基本事件就是互不相容的。推論:

若在試驗(yàn)中，事件A與事件B必然有一個(gè)發(fā)生，且僅有一個(gè)發(fā)生，即事件A與事件B滿足：，則稱事件A與事件B互逆,又稱A是B的對(duì)立事件,記為

(或)。ABSABS上海大學(xué)通信學(xué)院事件之間的運(yùn)算定律：設(shè)A，B，C為事件，則有：

1.交換律：A∪B=B∪A；A∩B=B∩A。

2.結(jié)合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C;A∩(B∩C)=(A∩B)∩C。

3.分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。

4.德·摩根定律:，。

概率論中事件之間的關(guān)系與運(yùn)算和集合論中集合之間的關(guān)系與運(yùn)算是一致的。因此可以對(duì)事件的分析轉(zhuǎn)化為對(duì)集合的分析，利用集合間的運(yùn)算來分析事件間的關(guān)系。例:

以A表示“燈亮”這一事件，以B，C，D分別表示開關(guān)I，II，III閉合的事件。由此可知：而,即事件與事件A互不相容。上海大學(xué)通信學(xué)院概率論中的事件與集合論中的集合關(guān)系

記號(hào)概率論集合論S樣本空間全集Ф不可能事件空集E基本事件元素A事件子集

A的對(duì)立事件A的余集事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生A是B的子集A=B事件A與事件B相等A與B相等事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生A與B的和集AB事件A與事件B同時(shí)發(fā)生A與B的交集A-B事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生A與B的差集AB=Ф事件A與事件互不相容A與B沒有相同元素上海大學(xué)通信學(xué)院§2頻率與概率(一)頻率

一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有許多可能結(jié)果，常希望知道某些結(jié)果出現(xiàn)的可能性有多大，即用數(shù)字定量的描述隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小。例如“拋硬幣”試驗(yàn)，為了要知道正面H出現(xiàn)的可能性的大小，可將硬幣拋次，觀察次試驗(yàn)中H出現(xiàn)的次數(shù),用比值表示H出現(xiàn)可能性的大小.頻率定義:

事件A在

次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)

次，則

比值

稱為事件A在

次重復(fù)試驗(yàn)中

出現(xiàn)的頻率，記為。即

。上海大學(xué)通信學(xué)院表1拋硬幣試驗(yàn)1實(shí)驗(yàn)序號(hào)n=5n=50n=500120.4220.442510.502230.6250.502490.498310.2210.422560.512451.0250.502530.506510.2240.482510.502620.4210.422460.492740.8180.362440.488820.4240.482580.516930.6270.542620.5241030.6310.622470.494表2拋硬幣試驗(yàn)2實(shí)驗(yàn)者蒲豐404020480.5070K.皮爾遜1200060190.5016K.皮爾遜24000120120.5005表36只球，其中4白2紅，任取1只為白球的事件。100200300400500600691391982613374010.6900.6950.6600.6530.6740.668結(jié)論：一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)E的隨機(jī)事件A，在次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率,當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)逐漸增多時(shí)，它在一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，而逐漸穩(wěn)定于這個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)是客觀存在的。這個(gè)常數(shù)的客觀存在性揭示了隱藏在隨機(jī)現(xiàn)象中的規(guī)律性，這種規(guī)律性就是通常所說的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。(二)頻率的性質(zhì)設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E；A，B為E的二個(gè)隨機(jī)事件,則n次試驗(yàn)中的頻率具有下列性質(zhì):

(1)0

fn(A)1；

(2)fn(S)＝1；fn()=0。

(3)若A，B互不相容，即AB＝，則有

fn(A∪B)＝fn(A)＋fn(B)。上海大學(xué)通信學(xué)院

(三)概率概率定義:

對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)E所對(duì)應(yīng)的樣本空間S中的每一事件A均賦予一實(shí)數(shù)，記為P(A)，若P(A)滿足下列條件：

(1)非負(fù)性：1≥

P(A)≥0；

(2)規(guī)范性：P(S)＝1；

(3)可列可加性：設(shè)A1，A2，…,是一列兩兩互不相

容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有

P(A1∪A2∪…

)＝P(A1)＋P(A2)+….

則稱P(A)為事件A的概率。

概率與頻率的關(guān)系:上海大學(xué)通信學(xué)院概率的性質(zhì)

性質(zhì)1、

對(duì)于任一事件A，有。性質(zhì)2、。

性質(zhì)3、加法公式。對(duì)任意兩事件A、B，

有

。證明:由圖知:上海大學(xué)通信學(xué)院推論:設(shè)是n個(gè)事件,則有性質(zhì)4、單調(diào)不減性：設(shè)

A、B二事件，若事件

，

則

。證明：由可知：

且。故又推論：對(duì)任一事件，。上海大學(xué)通信學(xué)院§3等可能概型(古典概型)定義：

若試驗(yàn)E的樣本空間S＝{e1,e2,…,en}只有有限個(gè)不同的基本事件，且每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同，則稱試驗(yàn)E為等可能概型（或稱古典概型）。對(duì)于等可能概型，有:

1.2.若事件A中含有k個(gè)基本事件，則（1）由計(jì)算公式（1）可知：古典概型中事件發(fā)生的概率計(jì)算關(guān)鍵在于計(jì)算試驗(yàn)的基本事件總數(shù)與事件A所包含的基本事件數(shù)。而有關(guān)基本事件的計(jì)算可采用組合數(shù)學(xué)中排列和組合的計(jì)算方法。排列：從n個(gè)不同元素中任取m（m≤n)個(gè)元素的排列為：組合：從n個(gè)不同元素中任取m（m≤n)個(gè)元素的組合為：古典概型的概率計(jì)算：

古典概型的問題大致可分為三類：

I.抽球問題；

II.分房問題；

III.隨機(jī)取數(shù)問題。其計(jì)算步驟:

1.求出試驗(yàn)中基本事件的總數(shù)n；

關(guān)鍵:弄清基本事件是什么?（試驗(yàn)的目的）

2.求出所研究的事件A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)k。

例(I):設(shè)箱中有m個(gè)白球和n個(gè)黑球，從其中任意取a+b個(gè)球，求所取的球恰含a個(gè)白球和b個(gè)黑球的概率。

解:隨機(jī)試驗(yàn)E是從m+n個(gè)球中取出a+b個(gè)球,每

a+b個(gè)球構(gòu)成一個(gè)基本事件，故共有

個(gè)不同的基本事件。

事件A:“恰好取中a個(gè)白球b個(gè)黑球”，a個(gè)白球的組合種，b個(gè)黑球的組合有

種,故共有種組合抽取法.

。

例:(II)

有n個(gè)人,每個(gè)人都以同樣的概率1/N被分配在N(n≤N)間房中的每一間中,試求下列事件的概率:A:某指定n間房中各有一人;B:恰有n間房,其中各有一人;C:某指定房中恰有m(m≤n)人.解:因?yàn)椤灏岩蝗朔峙涞絅間房中之一去″的分法有N

種，故對(duì)n個(gè)人進(jìn)行同樣的分法，則共有個(gè)不同的基本事件。

A:固定某n間房，第一人分配到其中任一間的分法有n種分法；第二人將有(n-1)種分法；…。因此，事件A共含有n!個(gè)不同的基本事件。故A事件的概率為：。B:從N間房中任選n間房,共有種選法，因而事件B共含有個(gè)不同的基本事件，故B事件的概率為：C:從n個(gè)人中任意取定m個(gè)人,共有種選法;其余n-m個(gè)人可任意分配在其余N-1間房里，共有種分法，因而事件Ｃ共有個(gè)不同的基本事件，故C事件的概率為：上海大學(xué)通信學(xué)院例:(III)

從1,2,…,10共十個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)數(shù),假定每個(gè)數(shù)字都以1/10的概率取中，取后還原，先后取出7個(gè)數(shù)字，試求下列各事件的概率:A1:7個(gè)數(shù)字全不相同;A2:不含10與1;A3:10恰好出現(xiàn)兩次;A4:至少出現(xiàn)兩次10;解:

基本事件：因?yàn)樵囼?yàn)是“取后還原”，所以每次取數(shù)都有10種可能，取7次共有個(gè)不同的基本事件。故:

A3：出現(xiàn)10的兩次可以是7次中的任意二次，故有種選擇；其余5次中，每次只能在剩余的9個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)，所以

A4：“至少出現(xiàn)兩次10”=

“10恰好出現(xiàn)k次(k=2,3,4,5,6,7)”的6個(gè)互不相容的事件的和,故有:上海大學(xué)通信學(xué)院例(補(bǔ)充):有三個(gè)子女的家庭,設(shè)每個(gè)孩子是男是女的概率相等,則至少有一個(gè)男孩的概率是多少?解:設(shè)A為“至少有一個(gè)男孩”的事件,以H表示某個(gè)孩子是男孩。n(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}k(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}例(補(bǔ)充)：30名學(xué)生中有3名運(yùn)動(dòng)員，將這30名學(xué)生平均分成3組，求：（1）每組有一名運(yùn)動(dòng)員的概率；（2）3名運(yùn)動(dòng)員集中在一個(gè)組的概率。解:設(shè)A:每組有一名運(yùn)動(dòng)員;B:3名運(yùn)動(dòng)員集中在一組。感興趣的學(xué)生可參閱王梓坤《概率論基礎(chǔ)及其應(yīng)用》p.5-9:

復(fù)合隨機(jī)試驗(yàn)的概念;

幾何型隨機(jī)試驗(yàn).上海大學(xué)通信學(xué)院古典概型計(jì)算的例題(補(bǔ)充)例1：十只螺絲釘中有三只是壞的，從中隨機(jī)取四只。求：(1)恰有兩個(gè)是壞的概率；

(2)四只全是好的概率。

解：設(shè)事件A={四只中恰有二只是壞的}；事件B={四只全是好的}，則：

例2：袋中有50個(gè)乒乓球，其中20個(gè)是黃球，30個(gè)是白球。今有兩人依次隨機(jī)地從袋中各取一球，取后不放回，求第二人取得黃球的概率。

解：設(shè)事件A={第二人取得黃球}。

因?yàn)閮扇艘来坞S機(jī)地從袋中各取一球，取后不放回的取法有

而第一人取得白球，第二人取得黃球得取法共有：；

第一人取得黃球，第二人也取得黃球得取法共有：。

故例3：從五雙不同的鞋子中任取四只，求這四只鞋子中至少有兩只配成一雙的概率。

解法一：從五雙(10只)中任取四只的取法有10*9*8*7種取法。

設(shè)事件A={四只鞋子中至少有兩只成雙}，則A的對(duì)立事件