高中數(shù)學(xué)解三角形.2第課時(shí)距離測(cè)量問題學(xué)案含解析新人教A版必修520203269

/07/7/1．2應(yīng)用舉例第1課時(shí)距離測(cè)量問題內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)正、余弦定理是解決測(cè)量問題的一種方法．2.運(yùn)用正、余弦定理等知識(shí)和方法解決測(cè)量距離和長(zhǎng)度的實(shí)際問題.運(yùn)用數(shù)學(xué)建模提升數(shù)學(xué)運(yùn)算發(fā)展邏輯推理運(yùn)用直觀想象授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第7頁[基礎(chǔ)認(rèn)識(shí)]知識(shí)點(diǎn)基線的概念與選擇原則圖1(1)如何測(cè)量一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到另一個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)之間的距離？如圖1，測(cè)量AB的距離．圖2提示：測(cè)出AC與∠BAC和∠ACB.(2)如何測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可到達(dá)點(diǎn)之間的距離？如圖2，測(cè)量AB的距離．提示：測(cè)出DC及∠ADB，∠BDC，∠DCA，∠ACB.知識(shí)梳理(1)基線的定義：在測(cè)量上，根據(jù)測(cè)量需要適當(dāng)確定的線段．(2)選擇基線的原則：在測(cè)量過程中，要根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線長(zhǎng)度，使測(cè)量具有較高的精確度，一般來說，基線越長(zhǎng)，測(cè)量的精確度越高．[自我檢測(cè)]1．輪船A和輪船B在中午12時(shí)同時(shí)離開海港O，兩船航行方向的夾角為120°，兩船的航行速度分別為25nmile/h,15nmile/h，則14時(shí)兩船之間的距離是()A．50nmile B．70nmileC．90nmile D．110nmile答案：B2．A，B兩點(diǎn)間有一小山，先選定能直接到達(dá)點(diǎn)A，B的點(diǎn)C，并測(cè)得AC＝60m，BC＝160m，∠ACB＝60°，則A，B兩點(diǎn)間的距離為________．答案：140m授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第7頁探究一測(cè)量一個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)的距離[閱讀教材P11例1]測(cè)量器材：米尺、測(cè)角儀方法步驟：(1)在河的一岸選基線AC.(2)測(cè)出基線長(zhǎng)AC.(3)測(cè)量角度∠BAC和∠ACB.(4)利用正弦定理計(jì)算AB.[例1]如圖，一名學(xué)生在河岸緊靠岸邊筆直行走，開始在A處，經(jīng)觀察，在河的對(duì)岸有一參照物C，與學(xué)生前進(jìn)方向成30°角，學(xué)生前進(jìn)200m后到達(dá)點(diǎn)B，測(cè)得該參照物與前進(jìn)方向成75°角．求點(diǎn)A與參照物C的距離．[解析]由題意得AB＝200m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°.由正弦定理得eq\f(AB,sin45°)＝eq\f(AC,sin105°)，∴AC＝eq\f(AB·sin105°,sin45°)＝eq\f(200×\f(\r(2)＋\r(6),4),\f(\r(2),2))＝100(1＋eq\r(3))，即A與C的距離為100(1＋eq\r(3))m.延伸探究如果本例條件不變，求河的寬度．解析：作CD⊥AB于D點(diǎn)(圖略)，由于∠CAB＝30°，∴CD＝eq\f(1,2)AC＝50(1＋eq\r(3))(m)．即河的寬度為50(1＋eq\r(3))m.方法技巧測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)與一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知兩個(gè)角和一條邊解三角形的問題，從而運(yùn)用正弦定理去解決．探究二測(cè)量不可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離[閱讀教材P11例1]測(cè)量器材：米尺、測(cè)角儀方法步驟：(1)選基線CD，并測(cè)量長(zhǎng)度．(2)測(cè)角度∠BCA，∠ACD，∠CDB，∠BDA.(3)用正弦定理計(jì)算AC，BC.(4)用余弦定理計(jì)算AB.[例2]某基地進(jìn)行實(shí)兵對(duì)抗演習(xí)，紅方為了準(zhǔn)確分析戰(zhàn)場(chǎng)形勢(shì)，從相距eq\f(\r(3),2)akm的軍事基地C和D處測(cè)得藍(lán)方兩支精銳部隊(duì)分別在A處和B處，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如圖所示，求藍(lán)方這兩支精銳部隊(duì)間的距離．[解析]∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°.∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AD＝CD＝eq\f(\r(3),2)akm.在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理eq\f(BD,sin∠BCD)＝eq\f(CD,sin∠DBC)，得BD＝CD·eq\f(sin∠BCD,sin∠DBC)＝eq\f(\r(3),2)a·eq\f(\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(2),2))＝eq\f(3＋\r(3),4)a(km)．在△ADB中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝eq\f(3,4)a2＋(eq\f(3＋\r(3),4)a)2－2·eq\f(3＋\r(3),4)a·eq\f(\r(3),2)a·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,8)a2，∴AB＝eq\f(\r(6),4)akm.故藍(lán)方這兩支精銳部隊(duì)間的距離為eq\f(\r(6),4)akm.方法技巧測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，一般是先把求距離問題轉(zhuǎn)化為應(yīng)用余弦定理求三角形的邊長(zhǎng)問題，再把求未知的邊長(zhǎng)問題轉(zhuǎn)化為只有一點(diǎn)不能到達(dá)的兩點(diǎn)距離測(cè)量問題，最后運(yùn)用正弦定理解決問題．其實(shí)質(zhì)是綜合應(yīng)用正、余弦定理求解邊長(zhǎng)．跟蹤探究1．如圖，對(duì)于河對(duì)岸A、B兩點(diǎn)，給出不同于本例題解法的另外一種測(cè)量方法．解析：測(cè)量者可以在河岸邊選定點(diǎn)E，C，D，使A，E，C及D，E，B三點(diǎn)共線，測(cè)得EC＝a，ED＝b，并且分別測(cè)得∠BEC＝∠AED＝α，∠BCA＝β，∠ADB＝γ，在△AED和△BEC中，應(yīng)用正弦定理得AE＝eq\f(bsinγ,sin[π－?α＋γ?])＝eq\f(bsinγ,sin?α＋γ?)，BE＝eq\f(asinβ,sin[π－?α＋β?])＝eq\f(asinβ,sin?α＋β?).在△ABE中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出A，B兩點(diǎn)間的距離AB＝eq\r(AE2＋BE2＋2AE×BEcosα).探究三測(cè)量不通、不可視的兩點(diǎn)間的距離[閱讀教材P24A組第3題]如圖，在鐵路建設(shè)中需要確定隧道的長(zhǎng)度和隧道兩端的施工方向．已測(cè)得隧道兩端的兩點(diǎn)A，B到某一點(diǎn)C的距離a，b及∠ACB＝α，求A，B兩點(diǎn)的距離，以及∠ABC，∠BAC.解析：AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosα)，cos∠ABC＝eq\f(a2＋AB2－b2,2a·AB)＝eq\f(2a2－2abcosα,2a\r(a2＋b2－2abcosα))＝eq\f(a－bcosα,\r(a2＋b2－2abcosα))，從而確定∠ABC的大小．則∠BAC＝π－α－∠ABC.[例3]如圖所示，為了開鑿隧道，要測(cè)量隧道上DE間的距離，為此在山的一側(cè)選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)C，測(cè)量AC＝400m，BC＝600m，∠ACB＝60°，又測(cè)得A，B兩點(diǎn)到隧道口的距離AD＝80m，BE＝40m(點(diǎn)A，D，E，B在同一直線上)，試計(jì)算隧道DE的長(zhǎng)(精確到1m)．[解析]在△ABC中，由余弦定理可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠＝4002＋6002－2×400×600×eq\f(1,2)＝，∴AB＝200eq\r(7)，∴DE＝AB－AD－EB＝200eq\r(7)－80－40≈409(m)．方法技巧此類問題是已知三角形的兩邊及夾角求第三邊問題，故直接用余弦定理．跟蹤探究2．如圖所示，為了測(cè)量某湖泊兩側(cè)A，B間的距離，李寧同學(xué)首先選定了與A，B不共線的一點(diǎn)C，然后給出了三種測(cè)量方案：(△ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別記為a，b，c)①測(cè)量A，B，b②測(cè)量a，b，C③測(cè)量A，B，a.則一定能確定A，B間距離的所有方案的個(gè)數(shù)為()A．3B．2C．1D．0解析：①AB＝eq\f(bsin?A＋B?,sinB)；②AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosC)；③AB＝eq\f(asin?A＋B?,sinA).答案：A探究四海平面上兩點(diǎn)間的距離[閱讀教材P19習(xí)題A組第1題]如圖，貨輪在海上以35nmile/h的速度沿著方位角為148°的方向航行．為了確定船位，在B點(diǎn)觀察燈塔A的方位角是126°，航行半小時(shí)后到達(dá)C點(diǎn)，觀察燈塔A的方位角是78°.求貨輪到達(dá)C點(diǎn)時(shí)與燈塔A的距離．解析：在△ABC中，∠ABC＝148°－126°＝22°，∠BAC＝126°－78°＝48°，BC＝eq\f(35,2).由正弦定理eq\f(BC,sin48°)＝eq\f(AC,sin22°)，故AC＝eq\f(35sin22°,2sin48°).[例4]一商船行至索馬里海域時(shí)，遭到海盜的追擊，隨即發(fā)出求救信號(hào)．正在該海域執(zhí)行護(hù)航任務(wù)的海軍“黃山”艦在A處獲悉后，即測(cè)出該商船在方位角(從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角)為45°距離10海里的C處，并沿方位角為105°的方向，以9海里/時(shí)的速度航行．“黃山”艦立即以21海里/時(shí)的速度前去營(yíng)救并在B處追上商船．求“黃山”艦追上商船所需要的最短時(shí)間及所經(jīng)過的路程．[解析]如圖所示，A，B，C構(gòu)成一個(gè)三角形．設(shè)所需時(shí)間為t小時(shí)，則AB＝21t，BC＝9t.又已知AC＝10，依題意知，∠ACB＝120°.由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos∠ACB，所以(21t)2＝102＋(9t)2－2×10×9tcos120°，所以(21t)2＝100＋81t2＋90t，即360t2－90t－100＝0.所以t＝eq\f(2,3)或t＝－eq\f(5,12)(舍去)．所以AB＝21×eq\f(2,3)＝14(海里)．即“黃山”艦需要用eq\f(2,3)小時(shí)追上商船，共航行14海里．方法技巧根據(jù)題意，畫出適合的三角形，找出已知與所求，結(jié)合余弦定理解三角形．授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第9頁[課后小結(jié)](1)運(yùn)用正弦定理就能測(cè)量“一個(gè)可到達(dá)點(diǎn)與一個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)間的距離”，而測(cè)量“兩個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)間的距離”要綜合運(yùn)用正弦定理和余弦定理．測(cè)量“一個(gè)可到達(dá)點(diǎn)與一個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)間的距離”是測(cè)量“兩個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)間的距離”的基礎(chǔ)，這兩類測(cè)量距離的題型間既有聯(lián)系又有區(qū)別．(2)正弦、余弦定理在實(shí)際測(cè)量中的應(yīng)用的一般步驟①分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖．②建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解三角形的數(shù)學(xué)模型．③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解．④檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解．[素養(yǎng)培優(yōu)]1．對(duì)題意理解不清或定理記憶不準(zhǔn)確致誤如圖所示，為了在一條河上建一座橋，施工前先要在河兩岸打上兩個(gè)橋位樁A，B，若要測(cè)量A，B兩點(diǎn)之間的距離，需要測(cè)量人員在岸邊定出基線BC，現(xiàn)測(cè)得BC＝50米，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°，則A，B兩點(diǎn)的距離為________米．易錯(cuò)分析此類題易將已知條件與三角形的邊角關(guān)系對(duì)應(yīng)錯(cuò)，或運(yùn)用定理致錯(cuò)．考查了直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象的學(xué)科素養(yǎng)．自我糾正在△ABC中，BC＝50米，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°，所以∠BAC＝180°－∠ABC－∠BCA＝180°－105°－45°＝30°.由正弦定理得eq\f(AB,sin∠BCA)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，所以AB＝eq\f(BC×sin∠BCA,sin∠BAC)＝eq\f(50×sin45°,sin30°)＝50eq\r(2).故A，B兩點(diǎn)間的距離為50eq\r(2)米．答案：50eq\r(2)2．不能正確分類討論實(shí)際問題海事救護(hù)船A在基地的北偏東60°，與基地相距100eq\r(3)nmile，漁船B被困海面，已知B距離基地100nmile，而且在救護(hù)船A正西方，則漁船B與救護(hù)船A的距離是________．易錯(cuò)分析此題出錯(cuò)的原因是不能根據(jù)題意，分類討論出具體情況，而丟解．考查了直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科素養(yǎng)．自我糾正如圖，設(shè)基地位于O處，則在△ABO中，OA＝100eq\r(3)，OB＝100，∠BAO＝30°.由正弦定理得：sin∠ABO＝