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2022-2023學(xué)年江西省贛州市上猶第三中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是A. B. C. D.參考答案:B2.某學(xué)校美術(shù)室收藏有6幅國(guó)畫,分別為人物、山水、花鳥各2幅,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2幅進(jìn)行展覽,則恰好抽到2幅不同種類的概率為()A. B. C. D.參考答案:B【分析】算出基本事件的總數(shù)和隨機(jī)事件中基本事件的個(gè)數(shù),利用古典概型的概率的計(jì)算公式可求概率.【詳解】設(shè)為“恰好抽到2幅不同種類”某學(xué)校美術(shù)室收藏有6幅國(guó)畫,分別為人物、山水、花鳥各2幅,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2幅進(jìn)行展覽,基本事件總數(shù),恰好抽到2幅不同種類包含的基本事件個(gè)數(shù),則恰好抽到2幅不同種類的概率為.故選:B.【點(diǎn)睛】計(jì)算出所有的基本事件的總數(shù)及隨機(jī)事件中含有的基本事件的個(gè)數(shù),利用古典概型的概率計(jì)算即可.計(jì)數(shù)時(shí)應(yīng)該利用排列組合的方法.3.(5分)對(duì)于0<a<1,給出下列四個(gè)不等式:①②③④.其中成立的是() A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④參考答案:D考點(diǎn): 對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn);指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).專題: 常規(guī)題型.分析: 根據(jù)題意,∵0<a<1∴>1∴又∵y=logax此時(shí)在定義域上是減函數(shù),∴①loga(1+a)<loga(1+)錯(cuò)誤;②loga(1+a)>loga(1+)正確;又∵y=ax此時(shí)在定義域上是減函數(shù),∴③a1+a<a1錯(cuò)誤;④a1+a>a正確.解答: 解:∵0<a<1,∴a<,從而1+a<1+.∴l(xiāng)oga(1+a)>loga(1+).又∵0<a<1,∴a1+a>a.故②與④成立.點(diǎn)評(píng): 此題充分考查了不等式的性質(zhì),同時(shí)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性對(duì)不等關(guān)系進(jìn)行了綜合判斷.4.某班有50名學(xué)生,其中正、副班長(zhǎng)各1人,現(xiàn)選派5人參加一項(xiàng)活動(dòng),要求正、副班長(zhǎng)至少有1人參加,問共有多少種選派方法?下面是學(xué)生提供的四種計(jì)算方法:①;②;③;④。其中正確算法的種數(shù)為(
)A.0
B.1
C.2
D.3參考答案:D略5.若函數(shù)的圖象與x軸有公共點(diǎn),則m的取值范圍是_______________.A.m≤-1 B.-1≤m<0 C.m≥1
D.0<m≤1參考答案:B略6.已知函數(shù)是奇函數(shù),當(dāng)時(shí),=,則的值等于
(A)
(B)
(C)
(D)
參考答案:D略7.已知為等差數(shù)列,若,則的值為 A.
B.
C.
D.參考答案:8.f(x)=則f[f()]=()A.﹣2 B.﹣3 C.9 D.參考答案:C【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.【分析】利用分段函數(shù)的意義求出,即可得出.【解答】解:∵f(x)=,∴==﹣2.∴f[f()]=f(﹣2)==9.故選:C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.9.已知函數(shù)的兩個(gè)極值分別為和,若和分別在區(qū)間(0,1)與(1,2)內(nèi),則的取值范圍為(
)(A)
(B) (C) (D)參考答案:A因?yàn)椋深}意可知:畫出,滿足的可行域,如圖1中的陰影部分(不包括邊界)所示,表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)D(1,2)的連線的斜率,記為,觀察圖形可知,,而,,所以。10.已知,則的值為(
)A. B. C. D.參考答案:C【分析】根據(jù)二倍角余弦公式可求得,根據(jù)誘導(dǎo)公式可得結(jié)果.【詳解】由題意得:本題正確選項(xiàng):C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、,且雙曲線上存在異于頂點(diǎn)的一點(diǎn),滿足,則該雙曲線離心率為
.參考答案:212.給出下列命題:①拋物線x=的準(zhǔn)線方程是x=1;
②若x∈R,則的最小值是2
;
③函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)?,;
④圓C1:與圓C2:的位置關(guān)系是外切。其中正確的是(填序號(hào))
參考答案:(1)(4)略13.如圖是某三棱錐的三視圖,則該三棱錐的體積為
;表面積為
.參考答案:;14.已知數(shù)列{an}滿足a1=2,且,則an=.參考答案:【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式.【分析】由,可得:=+,于是﹣1=,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.【解答】解:由,可得:=+,于是﹣1=,又﹣1=﹣,∴數(shù)列{﹣1}是以﹣為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,故﹣1=﹣,∴an=(n∈N*).故答案為:.15.已知i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是
.參考答案:(0,﹣1)【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn),求出z的坐標(biāo)得答案.【解答】解:∵=,∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(0,﹣1).故答案為:(0,﹣1).16.函數(shù)f(x)=ln(x2﹣x)的定義域?yàn)?/p>
.參考答案:(﹣∞,0)∪(1,+∞)考點(diǎn):函數(shù)的定義域及其求法.專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析:根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)成立的條件,即可得到結(jié)論.解答: 解:要使函數(shù)f(x)有意義,則x2﹣x>0,解得x>1或x<0,即函數(shù)的定義域?yàn)椋ī仭蓿?)∪(1,+∞),故答案為:(﹣∞,0)∪(1,+∞)點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)的定義域的求解,要求熟練掌握常見函數(shù)成立的條件.17.已知函數(shù)的定義域?yàn)?,部分?duì)應(yīng)值如下表,的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示.
下列關(guān)于的命題:①函數(shù)的極大值點(diǎn)為,;②函數(shù)在上是減函數(shù);③如果當(dāng)時(shí),的最大值是2,那么的最大值為4;④當(dāng)時(shí),函數(shù)有個(gè)零點(diǎn);⑤函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為0、1、2、3、4個(gè).其中正確命題的序號(hào)是
.參考答案:①②⑤三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過程或演算步驟18.求下列函數(shù)的定義域:(1)(2).參考答案:【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法;對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域.【分析】(1)要使平方根有意義,須使根號(hào)下的部分大于等于0,得不等式組,求不等式組的解集得定義域;(2)要使對(duì)數(shù)式有意義,須使真數(shù)部分大于0,要使分式有意義,須使分母不為0,求不等式組的解集得定義域.【解答】解:(1)∵,∴,∴﹣≤x≤∴函數(shù)的定義域?yàn)閇﹣,].(2)∵,∴∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x>﹣5且x≠﹣3}.【點(diǎn)評(píng)】求定義域,就是使解析式有意義,一般有分式分母不為0,對(duì)數(shù)式,真數(shù)部分大于0,底數(shù)大于0且不為1,根式,根號(hào)下的部分要大于等于0.19.(本小題滿分14分)如圖1,在梯形中,,,,四邊形是矩形.將矩形沿折起到四邊形的位置,使平面平面,為的中點(diǎn),如圖2.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)求證://平面;(Ⅲ)判斷直線與的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.
參考答案:(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)見解析.試題分析:(Ⅰ)要證明線線垂直,一般通過線面垂直來(lái)證明,本題中因?yàn)樗倪呅螢檎叫?,所?因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?,平面,所以平面;(Ⅱ)因?yàn)樗倪呅螢榫匦危?,又,,,所以平面平?所以平面;(Ⅲ)可以證得四邊形是以,為底邊的梯形,故直線與相交.試題解析:(Ⅰ)因?yàn)樗倪呅螢榫匦危?/p>
所以.
因?yàn)槠矫嫫矫?,且平面平面,平面?/p>
所以平面.
………………3分
因?yàn)槠矫妫?/p>
所以.
………………5分所以,.
………………12分因?yàn)樗倪呅螢樘菪?,為的中點(diǎn),,所以,.所以四邊形為平行四邊形.所以,且.所以且.所以是平行四邊形.所以,即.因?yàn)?,所以四邊形是以,為底邊的梯?所以直線與相交.
………………14分考點(diǎn):空間立體幾何20.如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,點(diǎn)O是對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn),AB=2,∠BAD=60°,M是PD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:OM∥平面PAB;(Ⅱ)平面PBD⊥平面PAC;(Ⅲ)當(dāng)三棱錐C﹣PBD的體積等于時(shí),求PA的長(zhǎng).參考答案:(Ⅰ)見證明;(Ⅱ)見證明(Ⅲ)【分析】(Ⅰ)先證明OM∥PB,再證明OM∥平面PAB;(Ⅱ)先證明BD⊥平面PAC,再證明平面PBD⊥平面PAC;(Ⅲ)根據(jù)求出PA的長(zhǎng).【詳解】(Ⅰ)證明:在△PBD中,因?yàn)镺,M分別是BD,PD的中點(diǎn),所以O(shè)M∥PB.又OM?平面PAB,PB?平面PAB,所以O(shè)M∥平面PAB.(Ⅱ)因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形,所以BD⊥AC.因?yàn)镻A⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA⊥BD.又AC∩PA=A,所以BD⊥平面PAC.又BD?平面PBD,所以平面PBD⊥平面PAC.(Ⅲ)因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形,且AB=2,∠BAD=60°,所以又,三棱錐的高為PA,所以,解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何元素位置關(guān)系的證明,考查體積的求法,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)。(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若在恒成立,求的取值范圍。參考答案:(1)當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,單調(diào)遞增。當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增。所以,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增區(qū)間為.……………4分(2),得到令函數(shù)
由(1)知所以單調(diào)遞減,單調(diào)遞增。,即,在單調(diào)遞減,在,,若恒成立,則
…………12分22.(本小題14分)已知橢圓()過點(diǎn)(0,2),離心率.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)過定點(diǎn)(2,0)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),且為銳角(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線斜率的取值范圍.參考答
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