連續(xù)離散控制系統(tǒng)課件第7章連續(xù)域現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)

第7章連續(xù)域現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)吉林大學(xué)儀器科學(xué)與電氣工程學(xué)院隨陽(yáng)軼連續(xù)與離散控制系統(tǒng)主要內(nèi)容線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的解控制系統(tǒng)的可控性和可觀性線性定常系統(tǒng)的線性變換控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間設(shè)計(jì)7.1線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的解現(xiàn)代控制理論建立了狀態(tài)的概念，以狀態(tài)方程為基礎(chǔ)，以線性矩陣?yán)碚摓閿?shù)學(xué)工具，以計(jì)算機(jī)技術(shù)為依托，不僅適用于線性定常系統(tǒng)，而且適用于線性時(shí)變和非線性系統(tǒng)的分析、綜合?，F(xiàn)代控制理論用狀態(tài)揭示系統(tǒng)內(nèi)部狀況，研究輸入—狀態(tài)—輸出的因果關(guān)系，這就從內(nèi)部、從本質(zhì)上掌握了系統(tǒng)的關(guān)系，因而可以根據(jù)設(shè)計(jì)要求和性能指標(biāo)求得最優(yōu)控制規(guī)律。齊次狀態(tài)方程的解（續(xù)1）代入解方程得：齊次狀態(tài)方程的解（續(xù)2）初始條件：由矩陣?yán)碚摚簞t齊次狀態(tài)方程的解為該解說(shuō)明由初始狀態(tài)x(0)到達(dá)狀態(tài)x(t)的轉(zhuǎn)移過(guò)程是一個(gè)指數(shù)形式。其中eAt稱(chēng)為矩陣指數(shù)，又稱(chēng)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，記為Φ(t)齊次狀態(tài)方程的解歸結(jié)為求解矩陣指數(shù)eAt，多為計(jì)算機(jī)求解。計(jì)算線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣按矩陣指數(shù)的定義計(jì)算；通過(guò)線性變換計(jì)算；待定系數(shù)法(應(yīng)用凱萊-哈密頓定理)；拉普拉斯變換法。拉氏變換求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣對(duì)齊次狀態(tài)方程進(jìn)行拉氏變換，得例7.1求解齊次狀態(tài)方程解：7.1.2非齊次狀態(tài)方程的解當(dāng)u(t)≠0時(shí)狀態(tài)方程的解稱(chēng)為非齊次狀態(tài)方程的解或受迫系統(tǒng)的解，它是系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的完全響應(yīng)。使用拉氏變換法求解：求非齊次狀態(tài)方程的解舉例例7.2求解狀態(tài)空間方程，u(t)=I(t)，x(0)=0。解：7.2控制系統(tǒng)的可控性和可觀性控制系統(tǒng)的可控性和可觀性是現(xiàn)代控制理論的獨(dú)特概念。狀態(tài)變量的非唯一性，使我們有必要研究狀態(tài)向量的每一個(gè)分量能否可以由控制量所控制，從而達(dá)到所期望的狀態(tài)，這就是系統(tǒng)狀態(tài)的可控性問(wèn)題。還要研究能否通過(guò)對(duì)輸出量的測(cè)量而獲得狀態(tài)的信息，這就是系統(tǒng)狀態(tài)的可觀性問(wèn)題。7.2.1系統(tǒng)可控性容許控制：若在[t0，∞]區(qū)間內(nèi)u為分段連續(xù)函數(shù)向量，則稱(chēng)其為容許控制。可控性定義：若存在一個(gè)無(wú)約束的容許控制向量u(t)，能在有限的時(shí)間間隔[t0，t1]內(nèi)將系統(tǒng)的某一個(gè)狀態(tài)xi由其初態(tài)xi(t0)轉(zhuǎn)移到任意的終態(tài)xi(t1)，那么就稱(chēng)該狀態(tài)xi是可控的；若系統(tǒng)所有的狀態(tài)變量都可控，則稱(chēng)系統(tǒng)是可控的。有一個(gè)及以上的狀態(tài)變量不可控，則稱(chēng)系統(tǒng)是不可控的?？煽匦詫?shí)例RC橋形電路(a)，C1=C2，R1=R2。選電容電壓為各自狀態(tài)變量，且設(shè)電容上的初始電壓為零，則兩個(gè)狀態(tài)變量恒相等。相平面圖(b)中，相軌跡為一條直線，即不論電源電壓如何變動(dòng)，都不能使?fàn)顟B(tài)變量離開(kāi)這條直線。顯然，它是不完全可控的。線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性判據(jù)1.可控性矩陣判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充要條件：即，完全可控的條件是：可控性矩陣滿(mǎn)秩。例7.3系統(tǒng)狀態(tài)方程如下，試判斷系統(tǒng)的可控性。解：利用可控性矩陣判據(jù)。可控性矩陣判據(jù)舉例（續(xù)）將M進(jìn)行初等變換rankM=3，可控性矩陣M為滿(mǎn)秩，所以系統(tǒng)完全可控?？煽匦耘袚?jù)（續(xù)1）2.PBH秩判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充要條件，對(duì)矩陣A的所有特征值λi(i=1，2，…，n)

例7.4系統(tǒng)狀態(tài)方程如下，試判斷系統(tǒng)的可控性。解：利用PBH秩判據(jù)。PBH秩判據(jù)舉例（續(xù)1）系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A的特征方程為故系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A的特征值為PBH秩判據(jù)舉例（續(xù)2）將各個(gè)特征值代入得到完全可控輸出可控性1.輸出可控性的定義：如果能構(gòu)造一個(gè)無(wú)約束的控制向量u(t)，在有限的時(shí)間間隔t0≤t≤t1內(nèi)，使任一給定的初始輸出y(t0)轉(zhuǎn)移到任一最終輸出y(t1)，那么稱(chēng)系統(tǒng)為輸出完全可控的。2.輸出可控性判據(jù)：輸出完全可控的充分必要條件為：當(dāng)且僅當(dāng)矩陣的秩等于輸出變量的維數(shù)m時(shí)，即rankM0=m

輸出可控性舉例例7.5已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程如下，試判斷系統(tǒng)的狀態(tài)可控性和輸出可控性。解：狀態(tài)可控性矩陣為由于|M|=0，rankM<2，故狀態(tài)不完全可控。輸出可控性矩陣為rankM0=1=m。故輸出可控。7.2.2系統(tǒng)可觀測(cè)性可觀測(cè)性的定義：如果在有限時(shí)間區(qū)間[t0,t1]內(nèi)，根據(jù)測(cè)量到的輸出向量y(t)和輸入向量u(t)，能夠唯一地確定系統(tǒng)在t0時(shí)刻狀態(tài)xi(t0)，則稱(chēng)xi(t0)在[t0,t1]上是可觀測(cè)的；若系統(tǒng)所有狀態(tài)x(t)都在[t0,t1]上可觀測(cè)，則稱(chēng)系統(tǒng)是可觀測(cè)的?？捎^性實(shí)例選擇電感中的電流il以及電容上的電壓uc作為狀態(tài)變量。當(dāng)電橋平衡時(shí)，il作為電路的一個(gè)狀態(tài)是不能由輸出變量uc來(lái)確定的，所以該電路是不可觀測(cè)的?？捎^測(cè)性判據(jù)1.可觀測(cè)性矩陣判據(jù)：完全可觀測(cè)的充要條件是：或是例7.6判斷下列系統(tǒng)的可觀測(cè)性解：可觀測(cè)性判據(jù)（續(xù)1）2.PBH秩判據(jù)：完全可觀測(cè)的充要條件是：對(duì)矩陣A的所有特征值λi(i=1,2,…,n)，下式均成立。零極點(diǎn)對(duì)消時(shí)可觀性和可控性討論：所描述的系統(tǒng)，則傳遞函數(shù)為(1)選則：可控性/可觀性：不可控！可觀！零極點(diǎn)對(duì)消時(shí)可觀性和可控性(二)取中間變量z，則選可控！不可觀！結(jié)論：視狀態(tài)變量的不同，系統(tǒng)或是不可觀或是不可控7.3線性定常系統(tǒng)的線性變換7.3.3化系統(tǒng){A，B}為可控標(biāo)準(zhǔn)型

1.單變量系統(tǒng)的可控標(biāo)準(zhǔn)型化系統(tǒng)為可控標(biāo)準(zhǔn)型設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為通過(guò)非奇異線性變換可將上式變?yōu)樵O(shè)a0，a1，…，an-1為矩陣A的特征多項(xiàng)式系數(shù)7.3.4化系統(tǒng){A,C}為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型1.單變量系統(tǒng)的可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型化系統(tǒng)為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型設(shè)a0，a1，…，an-1為矩陣A的特征多項(xiàng)式系數(shù)對(duì)于完全可觀系統(tǒng)，取非奇異線性變換矩陣轉(zhuǎn)成可控和可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型舉例

例7.7將其轉(zhuǎn)換成可控標(biāo)準(zhǔn)型和可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型。解：(1)判斷系統(tǒng)能控性秩為3，所以系統(tǒng)完全可控，故可變換標(biāo)準(zhǔn)型。系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為：即a0=-4，a1=8，a2=-5。轉(zhuǎn)成標(biāo)準(zhǔn)型舉例（續(xù)1）經(jīng)變換，可得可控標(biāo)準(zhǔn)型轉(zhuǎn)成標(biāo)準(zhǔn)型舉例（續(xù)2）(2)判斷系統(tǒng)可觀測(cè)性其秩為3，故系統(tǒng)完全可觀測(cè)，可變換為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型。變換矩陣為經(jīng)變換，可得可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型7.4控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間設(shè)計(jì)由于經(jīng)典控制理論是用傳遞函數(shù)來(lái)描述的，它只能用輸出量作為反饋量。而現(xiàn)代控制理論由于采用系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)變量來(lái)描述系統(tǒng)的物理特性，因而除了輸出反饋外，還經(jīng)常采用狀態(tài)反饋。在進(jìn)行系統(tǒng)的分析綜合時(shí)，狀態(tài)反饋將能提供更多的校正信息，因而在形成最優(yōu)控制規(guī)律、抑制擾動(dòng)影響、實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)解耦控制等諸方面，狀態(tài)反饋均獲得了廣泛應(yīng)用。7.4.1常用反饋結(jié)構(gòu)及其影響1.輸出反饋輸出反饋系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為傳遞函數(shù)矩陣為常用反饋結(jié)構(gòu)及其影響（續(xù)1）2.狀態(tài)反饋當(dāng)將系統(tǒng)的控制量u取為狀態(tài)變量的線性函數(shù)常用反饋結(jié)構(gòu)及其影響（續(xù)2）狀態(tài)能完整地表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為，因而利用狀態(tài)反饋時(shí)，其信息量大而完整，而輸出反饋僅利用狀態(tài)變量的線性組合進(jìn)行反饋，其信息量較小。但輸出變量容易測(cè)量，獲得廣泛應(yīng)用。傳遞函數(shù)矩陣為狀態(tài)反饋對(duì)穩(wěn)定性的影響對(duì)于線性定常系統(tǒng)如果可以找到狀態(tài)反饋控制律使得通過(guò)反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，即(A-BK)的特征值均具有負(fù)實(shí)部，則稱(chēng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定。7.4.2狀態(tài)反饋的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)法1.極點(diǎn)配置定理若線性系統(tǒng)是完全可控的，則一定能夠通過(guò)狀態(tài)反饋方法將閉環(huán)極點(diǎn)設(shè)置于任意期望的位置，這就是極點(diǎn)配置定理。2.單變量狀態(tài)反饋向量的設(shè)計(jì)設(shè)單變量系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為且為完全可控。其特征多項(xiàng)式為單變量狀態(tài)反饋向量的設(shè)計(jì)（續(xù)）若A不是能控標(biāo)準(zhǔn)型，則可通過(guò)非奇異線性變換將其變換為可控標(biāo)準(zhǔn)型。定義變換矩陣T為系統(tǒng)變換為可控標(biāo)準(zhǔn)型單變量狀態(tài)反饋向量設(shè)計(jì)（續(xù)1）由于采用狀態(tài)反饋，則有式中反饋的引入并沒(méi)有改變輸入矩陣，只改變了狀態(tài)矩陣，即改變了原有系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。設(shè)改變后的閉環(huán)極點(diǎn)為，則其特征多項(xiàng)式為單變量狀態(tài)反饋向量設(shè)計(jì)（續(xù)2）特征多項(xiàng)式的另一種表達(dá)方式若要使閉環(huán)極點(diǎn)為期望的極點(diǎn)，則令單變量狀態(tài)反饋向量設(shè)計(jì)（續(xù)3）3.極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)步驟(1)檢查系統(tǒng)可控性，若可控則繼續(xù)進(jìn)行；(2)由A求得其特征多項(xiàng)式，確定系數(shù)；(3)若原狀態(tài)不是可控標(biāo)準(zhǔn)型，變換為標(biāo)準(zhǔn)型；(4)由期望閉環(huán)極點(diǎn)，確定；(5)求取k反饋后的特征多項(xiàng)式，并求取k值。極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)舉例一例7.10單變量系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)如下，設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋陣，使閉環(huán)極點(diǎn)為解：由于傳遞函數(shù)沒(méi)有零極點(diǎn)對(duì)消，所以系統(tǒng)的狀態(tài)是完全可控可觀的，其可控規(guī)范型為令狀態(tài)反饋陣為極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)舉例一（續(xù)1）經(jīng)K引入的狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的系數(shù)矩陣為其特征多項(xiàng)式為由給定閉環(huán)極點(diǎn)要求的特征多項(xiàng)式為令兩個(gè)特征多項(xiàng)式相等解出極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)舉例一（續(xù)2）系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)舉例二例7.11通過(guò)狀態(tài)反饋，閉環(huán)極點(diǎn)設(shè)置于解：檢查可控性求原特征多項(xiàng)式為極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)舉例二（續(xù)1）則狀態(tài)方程變?yōu)樵O(shè)并反饋?zhàn)儞Q，則有極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)舉例二（續(xù)2）期望特征多項(xiàng)式為令7.4.3狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)及分離特性由于系統(tǒng)的所有狀態(tài)往往不能都測(cè)量到，導(dǎo)致?tīng)顟B(tài)反饋不能直接實(shí)現(xiàn)，這時(shí)就需要估計(jì)不可測(cè)量的狀態(tài)變量，不可測(cè)量的狀態(tài)變量的估計(jì)通常稱(chēng)為狀態(tài)觀測(cè)。如果狀態(tài)觀測(cè)器能觀測(cè)到系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量，這種狀態(tài)觀測(cè)器均稱(chēng)為全階觀測(cè)器。估計(jì)少于n個(gè)狀態(tài)變量的觀測(cè)器稱(chēng)為降階狀態(tài)觀測(cè)器，或簡(jiǎn)稱(chēng)為降階觀測(cè)器。全階狀態(tài)觀測(cè)器狀態(tài)觀測(cè)器是基于輸出的測(cè)量和控制變量來(lái)估計(jì)狀態(tài)變量。設(shè)被觀測(cè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為若取觀測(cè)器數(shù)學(xué)模型與系統(tǒng)完全相同，且輸入相同，即考慮到狀態(tài)有差異時(shí)，輸出便有差異，可利用輸出偏差信號(hào)通過(guò)反饋矩陣Ke加到，以期對(duì)其進(jìn)行校正。

全階狀態(tài)觀測(cè)器（續(xù)1）觀測(cè)器的閉環(huán)方程為注意到狀態(tài)觀測(cè)器的輸入為y和u，輸出為全階狀態(tài)觀測(cè)器（續(xù)2）觀測(cè)器的誤差方程定義誤差向量方程式改寫(xiě)為誤差向量的動(dòng)態(tài)特性由矩陣A-KeC的特征值決定。如果矩陣是穩(wěn)定矩陣，則對(duì)任意初始誤差向量e(0)，誤差向量都將趨近于零。

全階狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)設(shè)系統(tǒng)可觀，按可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型進(jìn)行討論（詳細(xì)推導(dǎo)見(jiàn)書(shū)），下面為非標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)的設(shè)計(jì)過(guò)程：設(shè)觀測(cè)器狀態(tài)反饋向量特征方程為設(shè)誤差動(dòng)態(tài)方程所期望的特征方程為系數(shù)對(duì)應(yīng)相等則可求出反饋向量。全階狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)舉例例7.12設(shè)被觀測(cè)的系統(tǒng)如下，完全可觀測(cè)，設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器，使其特征值為：解：設(shè)狀態(tài)反饋向量為特征多項(xiàng)式為全階狀態(tài)觀測(cè)器的舉例（續(xù)1）狀態(tài)觀測(cè)器所期望的特征多項(xiàng)式為所期望的狀態(tài)觀測(cè)器方程為全階狀態(tài)觀測(cè)器的舉例（續(xù)2）估計(jì)誤差由齊次狀態(tài)方程的解法，可得分離特性在極點(diǎn)配置的設(shè)計(jì)過(guò)程中，第一階段是確定反饋增益矩陣K，以產(chǎn)生所期望的特征方程；第二個(gè)階段是確定觀測(cè)器的增益矩陣Ke，以產(chǎn)生所期望的觀測(cè)器特征方程。

狀態(tài)估計(jì)值進(jìn)行反饋與用真實(shí)狀態(tài)x(t)進(jìn)行反饋有何異同？狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)與觀測(cè)器設(shè)計(jì)之間有無(wú)相互影響呢？定義狀態(tài)完全可控和完全可觀測(cè)的系統(tǒng)：分離特性（續(xù)1）對(duì)基于觀測(cè)狀態(tài)的狀態(tài)反饋控制為分離特性（續(xù)2）系統(tǒng)的特征方程為極點(diǎn)配置和觀測(cè)器設(shè)計(jì)是相互獨(dú)立的，互不影響，它們可以分別進(jìn)行設(shè)計(jì)，并合并為由觀測(cè)器和狀態(tài)反饋構(gòu)成的復(fù)合系統(tǒng)，這就是分離特性。分離特性（續(xù)3）對(duì)于n階系統(tǒng)，經(jīng)典設(shè)計(jì)方法（根軌跡、頻率響應(yīng)…）會(huì)產(chǎn)生低階校正裝置（1或2階），但采用觀測(cè)器和狀態(tài)反饋構(gòu)成的復(fù)合系統(tǒng)，若是全階觀測(cè)器，則設(shè)計(jì)出來(lái)為2n階，故應(yīng)首選經(jīng)典法，若不能設(shè)計(jì)出滿(mǎn)意的校正裝置，再用極觀法。極點(diǎn)配置應(yīng)使系統(tǒng)滿(mǎn)足性能要求。觀測(cè)器極點(diǎn)的選取通常使得觀測(cè)器的響應(yīng)比系統(tǒng)的響應(yīng)快很多，至少2~5倍。本章小結(jié)本章首先介紹了連續(xù)域中現(xiàn)代控制理論的基礎(chǔ)，討論了如何求解狀態(tài)方程。然后對(duì)現(xiàn)代控制理論中獨(dú)特的可控性和可觀性進(jìn)行定義和判