Matlab微積分問題計算機求解實驗課件

Matlab微積分問題計算機求解實驗Matlab微積分問題計算機求解實驗Matlab微積分問題計算機求解實驗微積分實驗微積分實驗符號表達式基礎操作1符號微積分2數(shù)值積分3衛(wèi)星軌道的長度4國土面積的計算5sym函數(shù)用來建立單個符號變量，一般調(diào)用格式為：符號對象的建立：sym和syms符號對象的建立例：>>

a=sym('a')符號變量

=

sym(A)參數(shù)A

可以是一個數(shù)或數(shù)值矩陣，也可以是字符串a(chǎn)

是符號變量b

是符號常量>>b=sym(1/3)c

是符號矩陣>>c=sym('[1ab;cd]')符號對象的建立：sym和syms符號對象的建立syms命令用來建立多個符號變量，一般調(diào)用格式為：syms符號變量1符號變量2...符號變量n例：>>

symsabc>>a=sym('a');>>b=sym('b');>>c=sym('c');經(jīng)常用符號表達式的建立：例：建立符號表達式通常有以下2種方法：(1)用sym函數(shù)直接建立符號表達式。

(2)使用已經(jīng)定義的符號變量組成符號表達式。>>y=sym('sin(x)+cos(x)')符號表達式的建立符號表達式的替換subs(f,x,a)用a替換字符函數(shù)f中的字符變量x

a是可以是數(shù)/數(shù)值變量/表達式或字符變量/表達式若x是一個由多個字符變量組成的數(shù)組或矩陣，則a應該具有與x相同的形狀的數(shù)組或矩陣。用給定的數(shù)據(jù)替換符號表達式中的指定的符號變量subs舉例>>f=sym('2*u');>>subs(f,'u',2)>>f2=subs(f,'u','u+2')>>a=3;>>subs(f2,'u',a+2)>>subs(f2,'u','a+2')>>symsxy>>f3=subs(f,'u',x+y)>>subs(f3,[x,y],[1,2])ans=4f2=2*(u+2)ans=14ans=2*((a+2)+2)f3=2*x+2*yans=6例：指出下面各條語句的輸出結(jié)果f=2*u下面的命令運行結(jié)果會是什么？>>

subs(f3,[x,y],[x+y,x+y])計算函數(shù)值練習：符號表達式的數(shù)值化R=vpa(A)或R=vpa(A,d)對符號表達式A求給定精度的值；d：輸出數(shù)值的有效位數(shù)Vpa的默認精度是23位。對符號求值的命令為vpa，即Variableprecisionarithmeticdigits(25);p=vpa(pi)w=vpa('(1+sqrt(5))/2',4)計算極限limit(f,x,a):

計算limit(f,a):

當默認變量趨向于a時的極限limit(f):

計算a=0時的極限limit(f,x,a,'right'):

計算右極限limit(f,x,a,'left'):

計算左極限例：計算，>>symsxhn;>>L=limit((log(x+h)-log(x))/h,h,0)>>M=limit((1-x/n)^n,n,inf)計算導數(shù)g=diff(f,v)：求符號表達式f關于v的導數(shù)g=diff(f)：求符號表達式f關于默認變量的導數(shù)g=diff(f,v,n)：求f關于v的n階導數(shù)diff>>symsx;>>f=sin(x)+3*x^2;>>g=diff(f,x)>>z=y^2*sin(x^2);>>dxd2y=diff(diff(z,x,1),y,2)計算導數(shù)練習：計算積分int(f,v,a,b):計算定積分int(f,a,b):計算關于默認變量的定積分int(f,v):計算不定積分int(f):計算關于默認變量的不定積分>>symsx;f=(x^2+1)/(x^2-2*x+2)^2;>>I=int(f,x)>>K=int(exp(-x^2),x,0,inf)例：計算和計算積分練習：符號求和>>symsn;f=1/n^2;>>S=symsum(f,n,1,inf)>>S100=symsum(f,n,1,100)symsum(u,n,n0,nn):symsum(f,a,b):

關于默認變量求和例：計算級數(shù)及其前100項的部分和例：計算函數(shù)級數(shù)>>symsnx;f=x/n^2;>>S=symsum(f,n,1,inf)Taylor級數(shù)展開taylor(f):求f在默認自變量=0處的5階Taylor級數(shù)展開式定積分taylor(f,n,x):求f在默認自變量x=0處的n-1階Taylor級數(shù)展開式定積分taylor(f,n,x,a):求f在默認自變量x=a處的n-1階Taylor級數(shù)展開式定積分>>symsx;taylor(exp(x),x,7,-1)上機作業(yè)1.

2.3.4.5.數(shù)值積分函數(shù)quad()采用遞推自適應Simpson法計算積分，精度較高，較常使用。q=quad(fun,a,b)q=quad(fun,a,b,tol)功能：求一元函數(shù)fun的積分ｑ，積分上限和下限分別為a和b，絕對誤差為tol，默認時取值10^-6，函數(shù)fun是待求解的對象，可以是字符串、內(nèi)聯(lián)函數(shù)、Ｍ函數(shù)文件名的函數(shù)句柄。SimpsonFormula數(shù)值積分【例】求exp(-x2)在[0,1]上的積分。1、f=inline(‘exp(-x.^2)’);％內(nèi)聯(lián)函數(shù)q1=quad(f,0,1)數(shù)值積分【例】求exp(-x2)在[0,1]上的積分。2、編寫被積函數(shù)表達式，函數(shù)名為quad1.mfunctionf=quad1(x)f=exp(-x.^2);>>q2=quad('quad1',0,1)數(shù)值積分【例】求exp(-x2)在[0,1]上的積分。3、編寫被積函數(shù)表達式，函數(shù)名為f=@(x).exp(-x.^2);>>q2=quad(f,0,1)數(shù)值積分(2)梯形法（被積函數(shù)由一個表格定義）trapz函數(shù)采用梯形法求取數(shù)值積分，適用于由表格形式定義的函數(shù)關系的求定積分問題，求值速度快，但精度差。q=trapz(Y)q=trapz(X,Y)其中向量X,Y定義函數(shù)關系Y=f(X)?！纠壳骵xp(-x2)在[0,1]上的積分。X=0:0.01:1;Y=exp(-X.^2);q=trapz(X,Y)上機作業(yè)取一定數(shù)量的點，利用梯形數(shù)值積分公式近似計算圓周率pi數(shù)值積分(3)二重積分的數(shù)值求解dblquad函數(shù)就可以直接求出上述二重定積分的數(shù)值解。該函數(shù)的調(diào)用格式為：I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)功能：該函數(shù)求f(x,y)在[a,b]×[c,d]區(qū)域上的二重定積分。參數(shù)tol，trace的用法與函數(shù)quad完全相同。trace控制是否展現(xiàn)積分過程，若取非0則展現(xiàn)積分過程，取0則不展現(xiàn)，缺省時取trace=0。數(shù)值積分【例】計算二重定積分①(1)建立一個函數(shù)文件fxy.m：functionf=fxy(x,y)f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);(2)調(diào)用dblquad函數(shù)求解。I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1)②>>f=inline('exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y)')>>I=dblquad(f,-2,2,-1,1)Fourier級數(shù)定理設周期為的周期函數(shù)f(x)滿足收斂定理條件，則它的Fourier級數(shù)展開式為：

其中系數(shù)為：

Fourier級數(shù)的Matlab程序[A,B,F]=fseries(f,x,n,a,b)其中f為待展開的函數(shù)，x為自變量，n為展開項數(shù)，[a,b]為展開區(qū)間，省略為[-pi,pi]，[A,B]為記錄Fourier級數(shù)的系數(shù)向量F為返回的Fourier級數(shù)的展開式Fourier級數(shù)的Matlab程序具體程序：function[A,B,F]=fseries(f,x,n,a,b)ifnargin==3a=-pi;b=pi;end%若輸入為3個參數(shù)，表示函數(shù)f(x)在[-pi,pi]內(nèi)進行展開L=(b-a)/2;

Fourier級數(shù)的Matlab程序ifa+bsubs(f,x,x+L+a);endA=int(f,x,-L,L);%f(x)在[-pi,pi]內(nèi)展開B=[];fori=1:nan=int(f*cos(i*pi*x/L),x,-L,L)/L;bn=int(f*sin(i*pi*x/L),x,-L,L)/L;endFourier級數(shù)的Matlab程序A=[A,an];%記錄所有cos前面的系數(shù)B=[B,bn];%記錄所有sin前面的系數(shù)F=F+an*cos(i*pi*x/L)+bn*sin(i*pi*x/L);%記錄得到的Fourier展開式

Fourier級數(shù)的Matlab程序例：考慮方波函數(shù)f(x)=abs(x)/x,定義域為[-pi,pi],并且x不等于0。將f(x)進行Fourier展開，具體命令如下：symsx;f=abs(x)/x;%給出待展開的函數(shù)xx=[-pi:pi/200:pi];xx=xx(xx~=0);xx=sort([xx,-eps,eps]);Fourier級數(shù)的Matlab程序yy=subs(f,x,xx);%計算f(x)的值fori=1:20[A,B,F]=fseries(f,x,n);y=subs(F,x,xx);subplot(4,5,n);plot(xx,yy);%畫出f(x)的圖像holdonplot(xx,y);%畫出Fourier級數(shù)的圖像endFourier級數(shù)的Matlab程序練習：試求出函數(shù)y=sin(x)在[0,pi/2]上的Fourier級數(shù)展開式。衛(wèi)星的軌道長度我國第一顆人造地球衛(wèi)星近地點距地球表面為h=439km，，遠地點距地球表面H=2384km，地球半徑為R=6371km，求該衛(wèi)星的軌道長度。問題衛(wèi)星的軌道長度人造衛(wèi)星軌道可視為平面上的橢圓，由于地球位于衛(wèi)星橢圓軌道的一個焦點上，根據(jù)近地點距離和遠地點距離可分別計算出橢圓長半軸、橢圓半焦距、橢圓短半軸為4.8707e+004國土面積的計算現(xiàn)要根據(jù)瑞士地圖計算其國土面積。于是對地圖作如下的測量：以西向東方向為x軸，由南向北方向為y軸，選擇方便的原點，并將從最西邊界到最東邊界在x軸上的區(qū)間適當?shù)貏澐譃槿舾啥?，取足夠多的分點xi，在每個分點的y方向測出南邊界點和北邊界點的對應坐標y1和坐標y2，數(shù)據(jù)如表(單位mm)：根據(jù)地圖比例知18mm相當于40km，試由上表計算瑞士國土的近似面積(精確值為41822km2)問題國土面積的計算x7.010.513.017.534.040.544.548.056.0y1444547505038303034y24459707293100110110110x61.068.576.580.591.096.0101.0104.0106.5y1363441454643373328y211711811611