第20練 平面向量中的線性問題

第20練平面向量中的線性問題［題型分析?高考展望］平面向量是初等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，兼具代數(shù)和幾何的“雙重特性”，是解決代數(shù)問題和幾何問題的有力工具，與很多知識(shí)聯(lián)系較為密切，是高考命題的熱點(diǎn).多與其他知識(shí)聯(lián)合命題，題型有選擇題、填空題、解答題，掌握好向量的基本概念、基本運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.體驗(yàn)高考（2015?課標(biāo)全國I）設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=3CD，貝％b.ad=|Ab-4acc.aD=4AB+3acd.ad=4Ab-|ac答案A解析VBC=3CD,:.AC-AB=3(AD-AC),—>—A—A—A1—A4—A即4AC-AB=3AD,:.AD=-3AB+§AC.(2016?課標(biāo)全國甲)已知向量a=(1,m)，b=(3，-2)，且(a+b)丄b,則m等于()－8B.－6c.6D.8答案D解析由題知a+b=(4,m-2)，因?yàn)?a+b」b，所以(a+b)b=0,即4X3+(-2)X(m-2)=0，解之得m=8，故選D.(2016?山東)已知非零向量m，n滿足4lml=3lnl,cos〈m,n)=|.若"丄(tm+n)，則實(shí)數(shù)t的值為()99A.4B.—4C.4D.—4答案B解析Tn丄(tm+n),.°.n?(tm+n)=0，即tm?n+lnI2=0,.tlmllnlcos〈m，n〉+lnl2=0，又4lml=3lnl，

31.\tx4in12X3+n12=0，解得t=-4,故選b.(2015?北京)在△ABC中，點(diǎn)M，N滿足AM=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC，貝Vx=,,,x=2，y,,,x=2，y二1-6高考必會(huì)題型題型一平面向量的線性運(yùn)算及應(yīng)用例1⑴在AABC中，點(diǎn)D在線段BC的延長線上，且BC=3CD，點(diǎn)O在線段CD上（與點(diǎn)TOC\o"1-5"\h\zc,d不重合），若AO=xAB+（i—x）AC，則x的取值范圍是（）A.（0,￡）B.（0,3）C.（-2，o）D.（-30）???1??（2）已知在△ABC中，D是AB邊上的一點(diǎn)，若AD=2DB,CD=3CA+ACB，則A=.答案（1）D（2彳解析⑴設(shè)CO二yBC,VAO=AC+cO=AC+yBC=AC+y（AC-AB）=-yAB+（1+y）AC.???BC二3CD,點(diǎn)O在線段CD上（與點(diǎn)C,D不重合）,.??yW(0,I),VAO=xAB+(1-x)AC,?°.x=_y,.°.xW(-3，0).---1------2--2--1-(2)因?yàn)锳D=2DB,CD=3CA+kCB，所以CD=CA+AD=CA+3AB=CA+3(CB-CA)=§CA+#CB，所以a=3.點(diǎn)評(píng)平面向量的線性運(yùn)算應(yīng)注意三點(diǎn)(1)三角形法則和平行四邊形法則的運(yùn)用條件.(2)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線.⑶(OAMOB+〃OCa,卩為實(shí)數(shù))，若a,b,c三點(diǎn)共線，則久+〃=1.變式訓(xùn)練1(1)如圖，兩塊全等的直角邊長為1的等腰直角三角形拼在一起，若AD=XAB+TOC\o"1-5"\h\zkAC,則A+k等于()A.1+<2B.2—邁C.2DA'2+2(2)在AABC中，G^A+GB+(jC=0,CA=a,CB=b.若CP=ma,CQ=nb,CGQPQ=H,CG~*11=2CH，則一+一=.mn答案(1)A(2)6解析(1)根據(jù)向量的基本定理可得，ad=aC+CD=aC+(ed-eC)=ac+^,'2aC-弩BC=AC+.'2aC-￥(AC-AB)1+￥AC+所以A+k=1+邁.故選A.****1*1*(2)由64+63+60=0,知點(diǎn)G為AABC的重心，取AB的中點(diǎn)D(圖略)，則CH=2CG=jCD1**1*1*1111=6(CA+CB)=6mCP+6nCQ，由p，h,q三點(diǎn)共線，得6m+6n=1，則m+n=6?題型二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

例2(1)已知點(diǎn)A(—3,0),B(0,羽)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在第二象限，且ZAOC=30°,Oc=aoa+OB，則實(shí)數(shù)久的值為.答案1解析由題意知OA=(-3,0),OB=(0^;'3),貝I」OC=(-3久，誦),由ZAOC=30°，知ZxOC=150°,.?.tan150°=I，即-￥二-￥，.?.%=1.-3久33人(2)平面內(nèi)給定三個(gè)向量a=(3,2)，b=(—1,2)，c=(4,1),請(qǐng)解答下列問題:求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m,n；若(a+kc)〃(2b—a)，求實(shí)數(shù)k；若d滿足(d—c)〃(a+b)，且Id—cl="75，求d.5m=95=9.解①由題意得(3,2)=m(-1,2)+n(45m=95=9.-m+4n=3,?V>?、2m+n=2,②a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),???(a+kc)〃(2b-a),13.A2X(3+4k)-(-5)(2+k)=0,.k=③設(shè)d=(x,y)，則d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4)13.〔4(x-4)-2(y-1)=0,由題意得V[(x-4)2+(y-1)2=5,x=3,x=5,解得]或V、y=-1〔y=3.???d=(3，-1)或d=(5,3).點(diǎn)評(píng)⑴兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：①若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a〃b的充要條件是x1y2-x2y1=0；②若a〃b(aM0)，則b=Aa.

(2)向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù).當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來求解.(3)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行.若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則.變式訓(xùn)練2(1)如圖所示，在A4BC中，D為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在線段CD上，T^AB=a,AC=f12b，AF=xa+yb，貝驛+y的最小值為()xyA.8+2<2B.8C.6D.6+^'2(2)已知向量OA=(3，-4)，OB=(6，-3)，OC=(5—m,—3—m),若點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m滿足的條件是.答案(1)B(2)m^|解析(1)因?yàn)辄c(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，所以AB=2AD，因?yàn)锳F=xa+yb，所以AF=2xAD+yAC.因?yàn)辄c(diǎn)F在線段CD上，所以2x+y=1，又x,y>0,所以1+2二(2x+y)R+二4+；+半三4+2、、l''^4x=8,xy112當(dāng)且僅當(dāng)y=2x=2時(shí)取等號(hào)，所以丄+2的最小值為8.2xy⑵因?yàn)镺>A=(3,-4),O>B=(6,-3),OC=(5-m,-3-m),所以AB二(3,1),BC=(-m3m-113m-1由于點(diǎn)a、b、c能構(gòu)成三角形，所以AB與BC不共線，而當(dāng)AB與BC共線時(shí)，有解得m=|，故當(dāng)點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形時(shí)，實(shí)數(shù)m滿足的條件是m^|.高考題型精練1?設(shè)a是非零向量，久是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是()A.a與加的方向相反Ba與久2a的方向相同C.I—加1三aiD.I—加1三Ula

答案B解析對(duì)于A,當(dāng)久＞0時(shí)，a與的方向相同，當(dāng)久＜0時(shí)，a與加的方向相反，B正確；對(duì)于C,I-AaI二I-AIIaI，由于I-刀的大小不確定，故I-AaI與aI的大小關(guān)系不確定；對(duì)于D,IAIa是向量，而I-AaI表示長度，兩者不能比較大小.f3f3fIMDI2.設(shè)點(diǎn)M是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，且MB+2MA+2MC=0,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，則=22IBfMICC1一-2AB1-3案A.答解析VD是AC的中點(diǎn)，延長MD至E,使得DE=MD,???四邊形MAEC為平行四邊形，.??MD=*ME=2（MA+MC）.f3f3fvmb+2MA+2MC=0,.?.MB=-|（MA+MC）3MD,??M匚氣占故選a.IBfMII－3MfDI3已知點(diǎn)A（—3,0）,B（0,2）,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在ZAOB內(nèi)，IOCI=2詁。，且ZAOCn=4?n=4?設(shè)OC=久OA+OBqwr），則久的值為（）A.1112B.3c.qd.§答案解析過點(diǎn)解析過點(diǎn)C作CE丄x軸于點(diǎn)E（圖略）.由ZAOC=4，知|OEI=ICEI=2,所以O(shè)C=OE+OB=^OA+OB,即OEmOA,2所以（-2,0）=A（-3,0），故A=3.在四邊形ABCD中，AB=a+2b,BC=~4a^b,CD=-5a~3b，則四邊形ABCD的形狀是()A.矩形B.平行四邊形C.梯形D.以上都不對(duì)答案C解析由已知，得Ad=AB+Bc+Cd=-8a-2b二2(-4a-b)二2BC，故AD^BC.又因?yàn)锳B與CD不平行，所以四邊形ABCD是梯形.設(shè)向量a,b滿足lal=A'5,b=(2,1),則“a=(4,2)”是“allb”成立的()充要條件必要不充分條件充分不必要條件既不充分也不必要條件答案C解析若a=(4,2)，則lal=2寸5，且alb都成立；???a〃b，設(shè)a=Ab=(2A，久)，由lai=^,'5，知4久2+久2二20,久2二4,久二±2,?°.a—(4,2)或a—(-4,-2).因此“a—(4,2)”是“a〃b”成立的充分不必要條件.在四邊形ABCD中，ABlCD,AB=3DC,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，貝VAE等于()2C,1CA.zAB+^ADc^AB+^AD答案A1C,2CB.^AB+zADd.|ab+|ad解析BCC—BCA+ACD+DCC—2CC-3AB+AD,CCCC1CCAE—AB+BE—AB+2BC—AB+

給出下列命題：若ai=lbl，則a=b；若A,B,C,D是不共線的四點(diǎn)，貝是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若a=b,b=c，貝9a=c；a=b的充要條件是lal=lbl且a〃b；若a〃b,b〃c,則allc.其中正確命題的序號(hào)是()A.②③B.①②C.③④D.④⑤答案A解析①方向不一定相同；④方向可能相反；⑤若b=0,則不對(duì).在矩形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，若BC=5e1,DC=3e,則OC=.(用e”e2表示)答案2(5e1+3e2)解析在矩形ABCD中，因?yàn)辄c(diǎn)O是對(duì)角線的交點(diǎn)，所以O(shè)C二|Ac二2(Ab+AD)=|(Dc+BC)=1(5e1+3e2).在梯形ABCD中，ABlCD,AB=2CD,M,N分別為CD,BC的中點(diǎn)，若AB=AAM+〃AN,貝y久+〃=.答案4解析依題意得，Am=Ab+Bc+CM=AB+Bc-1Ab=|Ab+Bc又Ab=aam+^An,于是有Ab=a(|ab+Bc)+』AB+二￡久+^i^AB+(+2)BC.——<又——<又AB與BC不共線，因此有話+〃二1

<2+^=0,4由此解得A=-5,^=-2A,4所以A+^--A—5>已知點(diǎn)G是△ABC的外心，GA,GB,GC是三個(gè)單位向量，且2GA+Ab+AC=0,如圖所示，AABC的頂點(diǎn)B,C分別在x軸的非負(fù)半軸和y軸的非負(fù)半軸上移動(dòng)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則lOAl的最大值為.08X答案2解析因?yàn)辄c(diǎn)G是AABC的外心，且2GA+AB+AC—0，所以點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，△ABC是直角三角形，且ZBAC是直角.又GA,GB,GC是三個(gè)單位向量，所以BC—2，又△ABC的頂點(diǎn)B,C分別在x軸的非負(fù)半軸和y軸的非負(fù)半軸上移動(dòng)，所以點(diǎn)G的軌跡是以原點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓弧.又IGAl—1，所以當(dāng)OA經(jīng)過BC的中點(diǎn)G時(shí)，lOAl取得最大值，且最大值為2lGAl—2.設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，已知AB=2e1—8e2，CB=e1+3e2，CD=2e1—e2.(1)求證：A，B，D三點(diǎn)共線；⑵若BF=3e1—ke2，且B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求k的值.(1)證明由已知得BD—CD-CB—(2e1-e2)-(e1+3e2)—e1-4e2,TAB—2e1-8e2,AAB—2BBD.又TAB與BD有公共點(diǎn)B,AA，B，D三點(diǎn)共線.⑵解由⑴可知BD—e1-4e2,tBF—3e1-ke2，且B,D,F三點(diǎn)共線，aBF-aBD(awr),即3e1-ke2—Ae1-4Ae2，解得k=12.、■k二.4A.已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(0,2),B(4,6),OM=t1<OA+t2AB.求點(diǎn)M在第二或第三象限的充要條件；求證：當(dāng)“=1時(shí)，不論t2為何實(shí)數(shù)，A,B,M三點(diǎn)都共線;⑶若t1=a2，求當(dāng)OM丄AB且AABM的面積為12時(shí)，a的值.(1)解oM=tOA+t2AB=t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2).當(dāng)點(diǎn)M在第二或第三象限時(shí)，4t2<0，有<、2t]+4t2H0,故所求的充要條件為t2<0且t1+2t2H0.⑵證明當(dāng)t1=1時(shí)，由⑴