湖南省株洲市蓮塘坳中學高二數(shù)學理摸底試卷含解析

湖南省株洲市蓮塘坳中學高二數(shù)學理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構成一個等邊三角形，則橢圓離心率為（

）

A、 B、 C、 D、參考答案：A略2.已知等比數(shù)列滿足，且，，成等差數(shù)列，則=

(

)A.33

B.84

C.72

D.189參考答案：B3.已知、之間的數(shù)據(jù)如下表所示，則與之間的線性回歸方程過點（

）．

．

．

．參考答案：D4.已知P（x,y)是直線上一動點，PA，PB是圓C：的兩條切線，A、B是切點，若四邊形PACB的最小面積是2，則的值為（

）

A.3

B.

C.

D.2參考答案：D5.已知向量，若，則實數(shù)m的值為

（

）A．0

B．2

C．

D．2或

參考答案：C略6.若復數(shù)，則z=(

)A.i B.1+2i C.2+2i D.－1+2i參考答案：B【分析】根據(jù)復數(shù)除法和模長的運算法則整理出.【詳解】本題正確選項：B

7.參考答案：D略8.已知，，，（e為自然對數(shù)的底）則a，b，c的大小關系為（）A. B.C. D.參考答案：A【分析】根據(jù)條件即可得出，a＝log2e，b＝ln2，c＝log23，容易得出log23＞log2e＞1，ln2＜1，從而得出a，b，c大小關系．【詳解】∵；∴；∵log23＞log2e＞log22＝1，ln2＜lne＝1；∴c＞a＞b．故選：A．【點睛】本題考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化，對數(shù)的換底公式，考查了利用對數(shù)函數(shù)的單調性比較大小的問題，屬于基礎題．9.某單位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，為了調查他們的身體狀況，從中抽取樣本容量為36的樣本，最適合的抽取樣本的方法是（）A．簡單隨機抽樣 B．系統(tǒng)抽樣 C．分層抽樣 D．抽簽法參考答案：C【考點】分層抽樣方法．【分析】由題意根據(jù)總體由差異比較明顯的幾部分構成可選擇．【解答】解：總體由差異比較明顯的幾部分構成，故應用分層抽樣．故選C10.由直線，，與曲線所圍成的封閉圖形的面積為（）．A． B．1 C． D．參考答案：A，選．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.拋物線x2=y的焦點坐標為．參考答案：考點：拋物線的標準方程．專題：圓錐曲線的定義、性質與方程．分析：根據(jù)方程得出焦點在y正半軸上，p=即可求出焦點坐標．解答：解：∵拋物線x2=y，∴焦點在y正半軸上，p=∴焦點坐標為（0，），故答案為；（0，），點評：本題考查了拋物線的方程與幾何性質，求解焦點坐標，屬于容易題．12.點在正方體的面對角線上運動，則下列四個命題中正確命題的序號是____________.①三棱錐的體積不變；②∥平面；③⊥；

④平面⊥平面．參考答案：略13.設數(shù)列{an},{bn}都是等差數(shù)列，若a1+b1=7，a3+b3=21，則a5+b5=___________。參考答案：3514.P為橢圓上一點，F(xiàn)1、F2為左右焦點，若∠F1PF2=60°，則△F1PF2的面積為

．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】先利用橢圓定義求出|PF1|+|PF2|和|F1F2|的值，因為知道焦點三角形的頂角，利用余弦定理求出|PF1||PF2|的值，再代入三角形的面積公式即可．【解答】解：由橢圓方程可知，a=5，b=3，∴c=4∵P點在橢圓上，F(xiàn)1、F2為橢圓的左右焦點，∴|PF1|+|PF2|=2a=10，|F1F2|=2c=8在△PF1F2中，cos∠F1PF2=====cos60°=∴72﹣4|PF1||PF2|=2|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|=12又∵在△F1PF2中，=|PF1||PF2|sin∠F1PF2∴=×12sin60°=3故答案為315.圓截直線所得的弦長為

.參考答案：16.命題“若x＞1，則x＞2”的逆命題為

．參考答案：若x＞2，則x＞1

【考點】四種命題．【分析】根據(jù)已知中的原命題，結合逆命題的定義，可得答案．【解答】解：命題“若x＞1，則x＞2”的逆命題為命題“若x＞2，則x＞1”，故答案為：若x＞2，則x＞1【點評】本題考查的知識點是四種命題，難度不大，屬于基礎題．17.已知直線l：x+3y﹣2b=0過雙曲線的右焦點F，則雙曲線的漸近線方程為．參考答案：y=±x【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】由題意可設F（c，0），代入直線x+3y﹣2b=0，可得c=2b，再由a，b，c的關系，可得a，b的關系，即可得到所求漸近線方程．【解答】解：由題意可設F（c，0），代入直線l：x+3y﹣2b=0，可得：c﹣2b=0，即c=2b，即有a===b，可得雙曲線的漸近線方程為y=±x，即為y=±x．故答案為：y=±x．【點評】本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，注意運用直線經過雙曲線的焦點，考查運算能力，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.直線與圓錐曲線相交時，與相交弦有關的幾何圖形常為研究的對象．直角坐標系，圓錐曲線的方程，為原點．（如圖），且，直線過曲線的上焦點，與橢圓交于點、．（1）下面的三個問題中，直線分別滿足不同的前提條件，選擇其中一個研究．（三個問題賦分不同，若對多個問題解答，只對其中第一個解答過程賦分）①直線斜率為，求線段的長．②，求直線的方程．③當面積最大時，求直線的方程．我選擇問題__________，研究過程如下：（2）梳理總結你的研究過程，你使用主要的知識點、研究方法和工具（公式）有：__________（至少2個關鍵詞）．（3）直線與圓錐曲線相交時，與相交弦有關的幾何圖形常為研究的對象．直角坐標系，圓錐曲線的方程，為原點．（如圖），且，直線過曲線的上焦點，與橢圓交于點、．自構造一個幾何圖形，并自定一個相關的幾何問題（無需解）．（在圖3-4中繪制出該幾何圖形，用正確的符號和文字描述圖形的已知條件，并準確簡潔敘述待研究的幾何問題．無需解答，描述不清晰和不準確的不得分，繪制圖像與描述不匹配的不得分）__________．參考答案：見解析．（1）①解：由題意可知直線的方程為，橢圓的方程為，由得，設，，則由韋達定理得：，，∴線段．②解：易知直線的斜率一定存在，設直線，代入橢圓中得：，設，，則由韋達定理得：，，∴，∵，∴，解得：，∴直線的方程為：．③解：易知直線斜率一定存在，設直線，代入橢圓中得：，設，，則由韋達定理得：，，∴線段，又原點到直線的距離，∴的面積，∵，∵，當且僅當，即時，取等號，∴的面積最大為，此時直線的方程為：．（2）函數(shù)與方程思想，不等式性質，弦長公式，根與系數(shù)關系，設而不求等．（3）設直線的斜率為，若橢圓的下頂點為，求證：對于任意的，直線，的斜率之積為定值．19.如圖：是=的導函數(shù)的簡圖，它與軸的交點是（1,0）和（3,0）（1）求的極小值點和單調減區(qū)間

（2）求實數(shù)的值.參考答案：（1）是極小值點-----3分

是單調減區(qū)間-----6分（2）由圖知，

-------12分

略20.如下圖，某隧道設計為雙向四車道，車道總寬20m，要求通行車輛限高5m，隧道全長2.5km，隧道的兩側是與地面垂直的墻，高度為3米，隧道上部拱線近似地看成半個橢圓．（1）若最大拱高h為6m，則隧道設計的拱寬l是多少？（2）若要使隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小，則應如何設計拱高h和拱寬l？（已知：橢圓+=1的面積公式為S=，柱體體積為底面積乘以高.）（3）為了使隧道內部美觀，要求在拱線上找兩個點M、N，使它們所在位置的高度恰好是限高5m，現(xiàn)以M、N以及橢圓的左、右頂點為支點，用合金鋼板把隧道拱線部分連接封閉，形成一個梯形，若

=30m，梯形兩腰所在側面單位面積的鋼板造價與梯形頂部單位面積鋼板造價相同且為定值，試確定M、N的位置以及的值，使總造價最少.參考答案：解：（1）如下圖建立直角坐標系，則點P（10，2）在橢圓上，令橢圓方程為+=1.將b=h-3=3與點P坐標代入橢圓方程，得a=，此時=2a=,因此隧道的拱寬約為

m.（2）要使隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小，由柱體的體積公式可知：只需半橢圓的面積最小即可．由橢圓方程+=1，得+=1.因為+≥，即ab≥40，所以半橢圓面積S=≥.當S取最小值時，有==，得a=10，b=.此時l=2a=20，

h=b+3=+3故當拱高為(+3)m、拱寬為20m時，隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小

（3）根據(jù)題意設要使總造價最低，只要梯形的兩腰長與上底長之和最短即可，令這個和為，則，的幾何意義是點（x，0）到點（0,0）和點（15,2）的距離和的兩倍，答：，總造價最小。21.（本小題滿分10分）在中，已知角所對的邊分別為、、，直線與直線，互相平行(其中)

⑴求角的值;⑵若

,求的取值范圍.參考答案：22.在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=4，BC=3，E、F分別是所在棱AB、BC的中點，點P是棱A1B1上的動點，聯(lián)結EF，AC1．如圖所示．（1）求異面直線EF、AC1所成角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)值表示）；（2）（理科）求以E、F、A、P為頂點的三棱錐的體積．（文科）求以E、B、F、P為頂點的三棱錐的體積．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；異面直線及其所成的角．【分析】（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線EF、AC1所成角．（2）（理科）由=（0，2，0），=（﹣，4，0），求出S△AEF，由此能求出以E、F、A、P為頂點的三棱錐的體積．（2）（文科）由S△BEF===，能求出以E、B、F、P為頂點的三棱錐的體積．【解答】解：（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，由題意得E（3，2，0），F(xiàn)