丨導讀程序員應該怎么數(shù)學

劉超程序員是否需要學好數(shù)學？原本學數(shù)學分析、概率論、線性代數(shù)的時候，我也沒想到數(shù)學和寫程序有啥關系，但是隨著研究的開源軟件越來越多，我發(fā)現(xiàn)很多技術深入下去，本質就是數(shù)學。程序員應該怎么學習數(shù)學呢？我不建議你將大學的數(shù)學書拿出來啃一遍，一來耗費大量時間，二來和實際應用結合不起來，往往該看的忽略了，不該看的費了半天勁用不上，過一陣又忘了。我們了解一個新技術有三個階段，第一階段是，怎么使用；第二階段是，如何實現(xiàn)，原理是什么；第三階段是，為什么這樣實現(xiàn)。學數(shù)學和學一門新技術一樣，也有這樣三個階段，先用起來，了解原理，然后了解為什么。|bothub.ai創(chuàng)始人：“先廣度，再深度隨著過去幾年深度學習成為程序員界的顯學，不少程序員開始回頭復習微積分、概率論和線性代數(shù)這樣的基礎數(shù)學課，乃至開始學習最優(yōu)化、博弈論這樣的應用數(shù)學課。則是因為從2010年一頭扎入了計算的大坑之后，重新開始學習數(shù)學?？梢哉f，這次重新學習數(shù)學，為推開了程序世界中另一扇門，使得我在埋頭具體寫代碼之外，有機會重新從另一個角度，去認識和理解“程序”和“問題的解決方案”這兩件事情。譬如說，過去幾年來的深度學習，以及之前沒那么火，但是實際上早早就在搜索、這些領域，應用的機器學習和推薦算法。這里面其實就是結合了微積分、線性代數(shù)、概率論之后的最優(yōu)化問題。事實上，大部分應用領域的解決方案，都是把應用領域的問題，形式化為一個個數(shù)學問題。在找到數(shù)學問題的“解法”之后，用寫程序的方式翻譯成實際應用的“算法”。而能夠應用“數(shù)學”的方式來解決問題，是從一個只能套用現(xiàn)成方案的“碼農(nóng)”，向能夠將新問題很多問題當你知道如何用數(shù)學來解決的時候常常會有醍醐灌頂?shù)母杏X。譬如當我第一次搞明白，中的競價問題，居然能夠變成一個博弈論中“尋找上策均衡”的問題，并且能夠通過簡簡單單的表示出來的時候，我是很有滿足感的。此外，一旦熟悉了機器學習中用到的數(shù)學知識，很多想要解決的系統(tǒng)問題，都能通過定義更好的數(shù)學優(yōu)化目標，變成一個能夠找到最優(yōu)解的程序算法，最后通過寫個程序，翻譯成數(shù)學問題來解決，這個過程帶給我巨大的身心愉悅。從工作相關的領域開始，是讓自己一是能有實際用得上學到的知識的機會，二是日常工作中容易耳濡目染，相當于常常在復習。而先有廣度，是讓自己在心中有一個問題到解決方法的“地圖”，遇到具體的問題能夠對得上，容易獲得正反饋；然后再有深度，具體去對一個特定的學習應用。當開始深入學一個特定問題的時候，最好的方式是，追一門課程，譬如Coursera、這是因為，課程有明確的節(jié)奏，通常還會提供作業(yè)和測驗。通過作業(yè)和測驗，讓自己對自己的學習有一個聯(lián)系和反饋的過程。即使實踐中沒有足夠的應用，過一段時間有些知識沒有那么熟悉了，但是也容易建立自己很快可以“撿”回來的信心，降低“復習”的啟動成本。跟隨課程的節(jié)奏，可以有效避免“三天打漁兩天曬網(wǎng)”的惡習，讓學習有始有終。最后，給你介紹一個有程序員特色的學習方法，針對學習的內(nèi)容寫一點程序。把正在學習的問題的解法，寫一個算法實現(xiàn)出來。這是一個非常有效的練習方式。譬如學習線性代數(shù)，理解仿射，反復讀書的效率對我來說，就不如找來CoingTheMarix，通過寫程序，讓學習、理解變得更深入。|40講》專欄作者：“數(shù)學是工具而在數(shù)學的學習中，首要的問題是明確需求。作為非數(shù)學專業(yè)出身的“外行”，我們使用數(shù)學的目的不是頂天，而是立地；不是上下求索艱深的理論問題，而是將生活中的具體問題抽象化，進而加以解決。因此，對于我們這些票友來說，學習數(shù)學的基礎在于經(jīng)驗而非哲學，比較實際的思路是秉持功利主義的原則，用多少學多少。掌握基本的線性代數(shù)與矩陣論、概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識足以應付日常的使用，盲目地好高騖遠通常有害無益。理論化和公理化這些比較深邃的嘗試固然讓人著迷，但它們可能并沒有肉眼可見的實用性，對于絕大部分計算機從業(yè)者恐怕過于陽春白雪。其次，在學習時還要理解數(shù)學的本質。數(shù)學是工具而非問題，是而非目的。探索世界正因如此，在數(shù)學中存在著各種各樣在現(xiàn)實中不可能出現(xiàn)的理想化模型（比如無窮小和極限的誕生），也存在著對同一個物理過程不同的建模方式（比如矩陣力學和波動力學）。充分出發(fā)點，也就是所謂的數(shù)學思想與數(shù)學邏輯。任何一個工具都不是平白無故地設計出來的，它必然要解決某個特定的問題，比如線性代數(shù)與矩陣論是對具體對象的抽象表示與運算，比如概率論和數(shù)理統(tǒng)計是對不確定性及其定型定量表示的建模。因此，在掌握每一種數(shù)學工具的微觀技巧之前，理解它們的宏觀目標是更加重要的。只有掌握了工具誕生的背景與目的，才有可能有效地使用它們。在這里還要多說一句，數(shù)學絕不僅僅是算術，把主要精力放在計算上未免因小失大。在經(jīng)典科幻《系漫游指南》中，超級計算機告訴人們，世界的終極答案是“42”——這更像是對數(shù)字主義者善意嘲諷的一個梗。但對算術的過度強調并不鮮見，在相當數(shù)量的現(xiàn)行數(shù)學中，講解線性代數(shù)時開篇便給出行列式的計算方法，這種編排著實讓人費解。具體到數(shù)學每個子學科的學習方法上，相關的經(jīng)驗教訓已然汗牛充棟，很多內(nèi)容都無需在此贅言。但在我看來，學習時值得突出強調的一點是舉一反三的能力。同一種工具及其背后的思想可以出現(xiàn)在不同的場景下，解決不同的問題，但是一旦深入到本質層面，就會發(fā)現(xiàn)它們實際上是相通的。如何透過現(xiàn)象看本質，將不同場景融會貫通，才是值得鍛煉的高級能力。特征向量計算的是系統(tǒng)的不動點，在數(shù)據(jù)降維中有舉足輕重的作用，但如果熟悉電子通信的話你就會知道，對線性時不變系統(tǒng)的分析（也就是各種變換）都是基于特征向量展開的；在圖像處理中，類間方差最大化原理給出的就是圖像分割中的Otsu方法?？偨Y起來，我對數(shù)學學習的幾點拙見是：把握數(shù)學的工具屬性，學習具體方法時先溯因再求果，勤于思考解決相同問題的不同方法，與解決不同問題的相同方法之間的聯(lián)系與區(qū)別。希望這幾條建議能夠在數(shù)學的學習中助你。因此，我在這里繪制了一張“程序員的數(shù)學應用地圖”，里面包含四個部分，分別是數(shù)據(jù)結構、編程語句、基礎算法，以及機器學習算法。首先我們來看最常用的數(shù)據(jù)結構和編程語句，你對它們應該非常熟悉。在我眼里，這些基礎的內(nèi)容，同樣富含了數(shù)學思維。例如，數(shù)組和鏈表就體現(xiàn)了迭代和遞歸的思想，判斷語句就是使用了邏輯（布爾）代數(shù)。對于架構在這些數(shù)據(jù)結構和編程語句之上的算法（為了將這些算法和機器學習的算法區(qū)分，我稱其為通用算法），除了迭代和遞歸，也體現(xiàn)了排列、組合和動態(tài)規(guī)劃等思想。整個專欄我基本上都是從數(shù)學的角度出發(fā)，逐步推進到這些知識在計算機中的應用。不過在繪制這張應用地圖的時候，我特意反其道而行之，從計算機編程的角度出發(fā)，為你展示程序員應該如何看待編程中的數(shù)學知識。我覺得在開始學習之前，這個地圖會給你一個大體的認識，告訴你計算機領域常用的數(shù)學思想有哪些。這時，你也許會產(chǎn)生一些疑惑，同時你可以帶著自己的思考和問題去逐篇學習。等你學完整個專欄之后，再回頭來看看這個地圖，應該會有更深的感觸。我希望這種雙向打通，能夠進一步加強你的學習體驗。 不得售賣。頁面已增加防盜