從簡諧運動到混沌

從簡諧運動到混沌第1頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月從牛頓創(chuàng)立經(jīng)典力學以來，決定論長期處于主導地位，按牛頓定律列出體系所遵從的運動微分方程，求出的解析函數(shù)表示運動學方程，從給定的初始運動狀態(tài)就能唯一地確定體系在其它任一時刻的運動狀態(tài).利用牛頓定律可以精確預言何時發(fā)生日蝕，慧星何時來臨，太空飛船如何飛行等等.牛頓定律這種決定論的觀點，因海王星的發(fā)現(xiàn)而登峰造極，其中，法國數(shù)學家拉普拉斯的一段名言把這種決定論思想發(fā)揮到了頂峰：

給定宇宙的初始條件我就能預言未來.第2頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月

混沌是指發(fā)生在確定性系統(tǒng)中的貌似隨機的不規(guī)則運動，一個確定性理論描述的系統(tǒng)，其行為卻表現(xiàn)為不確定性－－不可重復、不可預測，這就是混沌現(xiàn)象。進一步研究表明，混沌是非線性動力系統(tǒng)的固有特性，是非線性系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象。牛頓確定性理論能夠充分處理的多為線性系統(tǒng)，而線性系統(tǒng)大多是由非線性系統(tǒng)簡化來的。因此，在現(xiàn)實生活和實際工程技術問題中，混沌是無處不在的。第3頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月以狀態(tài)參量張成的空間就稱為相空間m積分簡諧運動的相圖自由小擺角積分常數(shù)第4頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月自由任意擺角積分第5頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月小阻尼小擺角參看教材阻尼振動第6頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月小阻尼任意擺角第7頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月有阻尼有驅動力參量值:則由小到大取一系列數(shù)值進行數(shù)值計算f＝1.047相圖是閉環(huán)，單擺周期擺動第8頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月f＝1.07單擺的擺動在兩個驅動力周期內才恢復原狀態(tài)，其頻率為驅動頻率的一半，稱為二分頻.f＝1.081

隨著f的增加，單擺運動又出現(xiàn)四分頻、八分頻…第9頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月相圖變得無序，相點隨機地在某一位置出現(xiàn)，此時單擺已進入混沌狀態(tài)

f＝1.15

第10頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月f＝1.35

單擺運動是一倍周期的旋轉.

一個周期內第11頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月單擺做二倍周期旋轉f＝1.45

f＝1.47單擺做四倍周期旋轉第12頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月相圖又變得復雜無序，又出現(xiàn)混沌.f＝1.50第13頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月相圖有序，單擺做周期運動f＝1.60

f＝1.70相圖無序又出現(xiàn)混沌第14頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月混沌的基本特性

一個非線性系統(tǒng)并非在任何條件下都出現(xiàn)混沌運動，只有當某個參量到達某個閾值時系統(tǒng)才進入混沌狀態(tài)，在此之前系統(tǒng)的運動可能出現(xiàn)周期性分岔。1978年費根鮑姆發(fā)現(xiàn)相繼出現(xiàn)分岔的值的間隔趨于常數(shù)。1、非線性系統(tǒng)中的特有現(xiàn)象2、對參量的依賴性第15頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月費根鮑姆第一常數(shù)費根鮑姆第二常數(shù)第16頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月3、對初值的極端敏感性nxnx′n

10.10.10000001

20.360.36000000

30.92160.9216003

40.289013760.28901364

…

…

…520.802094380.98312983530.634955920.06634225

…

…

…第17頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月吸引子：表示動力學系統(tǒng)當時的漸近行為奇怪吸引子

奇怪吸引子雖然復雜但有明確的邊界，這個明確的邊界保證體系在整體上存在穩(wěn)定性，但在吸引子范圍內相點出現(xiàn)的位置卻完全隨機?；煦鐦O限環(huán)吸引子不動點吸引子平庸吸引子小角度擺阻尼擺第18頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月洛侖茲吸引子——奇怪吸引子巴西的一只蝴蝶扇動翅膀，也有可能幾個月之后在美國的德克薩斯州引起一場風暴。第19頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月混沌理論認為在混沌系統(tǒng)中，初始條件的十分微小的變化經(jīng)過不斷放大，對其未來狀態(tài)會造成極其巨大的差別。我們可以用在西方流傳的一首民謠對此作形象的說明。這首民謠說：

丟失一個釘子，壞了一只蹄鐵；

壞了一只蹄鐵，折了一匹戰(zhàn)馬；

折了一匹戰(zhàn)馬，傷了一位騎士；

傷了一位騎士，輸了一場戰(zhàn)斗；

輸了一場戰(zhàn)斗，亡了一個帝國。

馬蹄鐵上一個釘子是否會丟失，本是初始條件的十分微小的變化，但其“長期”效應卻是一個帝國存與亡的根本差別。這就是軍事和政治領域中的所謂“蝴蝶效應”。第20頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月在自然界中，物體的運動并非都是按照確定性進行的，在許多情況下，物體的運動還表現(xiàn)出相當明顯的偶然性、隨機性.也就是說，僅僅承認運動規(guī)律的必然性、確定性是不夠的，絕對的確定性并不能概括運動規(guī)律的全部內容，自然界存在的運動應該是確定性和隨機性兼而有之，而混沌的存在，使得自然界現(xiàn)象的兩種描述—確定論描述和概率論描述之間的鴻溝正在縮小混沌揭示了有序與無序，確定性與隨機性的統(tǒng)一第21頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月心律圖左圖是呈現(xiàn)正常心律的奇怪吸引子行為。右圖是病態(tài)心臟的搏動模式，顯示出心律更加機械而更少混沌。做完這次檢查8天后，該病人死于心臟病。第22頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月作業(yè)：取用MatLab計算下面的非線性方程，畫出相圖第23頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月2.試由一維諧振子描述極限環(huán)吸引子和不動點吸