《命題及其關(guān)系》獲獎

命題及其關(guān)系1.命題的概念一般地,在數(shù)學(xué)中,我們把用語言、符號或式子表達的,可以判斷真假的陳述句叫做命題.其中判斷為真的語句叫做真命題,判斷為假的語句叫做假命題.2.命題的結(jié)構(gòu)（形式）“若p,則q”也可寫成“如果p,那么q”，“只要p,就有q”等形式.其中p叫做命題的條件,q叫做命題的結(jié)論.3.四種命題設(shè)命題（1）“若p,則q”是原命題,那么命題（2）“若q,則p”是原命題的逆命題,命題（3）“若┓p,則┓q”是原命題的否命題,命題（4）“若┓q,則┓p”是原命題的逆否命題.若原命題是真命題,則它的逆命題不一定是真命題;若原命題是真命題,則它的否命題不一定是真命題;若原命題是真命題,則它的逆否命題一定是真命題.四種命題之間的真假的相關(guān)性:原命題若p則q逆命題若q則p否命題若﹁p則﹁q逆否命題若﹁q則﹁p互為逆否同真同假互為逆否同真同假互逆命題真假無關(guān)互逆命題真假無關(guān)互否命題真假無關(guān)互否命題真假無關(guān)二、四種命題間的相互關(guān)系原命題逆命題否命題逆否命題真真假假假假假假假假真真真真真真一般地，互為逆否命題的兩個命題，要么都是真命題，要么都是假命題。一般地,四種命題的真假性,有而且僅有下面四種情況:

原命題：當(dāng)c>0時,若a>b,則ac>bc.“當(dāng)c>0時”是大前提,寫其它命題時應(yīng)保留.逆命題:當(dāng)c>0時,若ac>bc,則a>b.否命題:當(dāng)c>0時,若a≤b,則ac≤bc.逆否命題:當(dāng)c>0時,若ac≤bc,則a≤b.真真真真例1.寫出下列命題的逆命題、否命題與逆否命題,并判斷它們的真假.題型一四種命題的概念及其真假的判定③設(shè)P(x1,y1)為圓O1:x2+y2=9上任一點，圓O2以Q(a,b)為圓心且半徑為1，當(dāng)(a-x1)2+(b-y1)2=1時，圓O1與圓O2相切。其中假命題的個數(shù)為（）高考鏈接：（2005年天津理）給出下列三個命題：①若a≥b>-1,則②若正整數(shù)m和n，滿足m≤n,則A.0B.1C.2D.3B

答案：B.①√②√③×命題的四種形式之間的關(guān)系，提供了一個判斷命題真假的手段，由于互為逆否命題的兩個命題是等價命題，它們同真或同假，所以當(dāng)一個命題不易判斷時，可以通過判斷其逆否命題的真假來判斷原命題的真假例2.證明:若x2+y2=0,則x=y=0.分析：將“若x2+y2=0,則x=y=0”視為原命題。要證明原命題為真命題，可以考慮證明它的逆否命題“若x,y中至少有一個不為0,則x2+y2≠0”為真命題，從而達到證明原命題為真命題的目的。證明：若x,y中至少有一個不為0,不妨設(shè)x≠0則x2>0,所以x2+y2>0.這與已知條件x2+y2=0矛盾，故x=y=0.這表明，原命題的逆否命題為真命題，從而原命題也為真命題。1.反證法的概念：從命題結(jié)論的反面出發(fā)，引出矛盾，從而證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。2.用反證法證題的一般步驟是什么？（1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立；即假設(shè)結(jié)論的反面成立。（2）從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾。（3）由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。假設(shè)結(jié)論反面成立正確推理導(dǎo)出矛盾否定假設(shè)肯定結(jié)論三、間接證法（反證法）3.反證法證題時關(guān)鍵在第二步，如何導(dǎo)出矛盾。4.導(dǎo)出矛盾有三種可能：（1）與原命題的條件矛盾；（2）與定義、公理、定理等矛盾；（3）與結(jié)論的反面成立矛盾。（1）難于直接使用已知條件導(dǎo)出結(jié)論的命題；（2）唯一性命題；（3）“至多”或“至少”性命題；（4）否定性或肯定性命題。5.反證法的使用范圍：注意：反證法引出矛盾沒有固定的模式，需要認(rèn)真觀察、分析，洞察矛盾。例3.證明:若p2+q2=2,則p+q≤2.分析：將“若p2+q2=2,則p+q≤2”視為原命題。要證明原命題為真命題，可以考慮證明它的逆否命題“若p+q＞2,則p2+q2≠2”為真命題，從而達到證明原命題為真命題的目的。證明：若p+q＞2,則p2+q2=1/2[(p-q)2+(p+q)2]≥1/2(p+q)2＞1/2×22=2,所以p2+q2≠2.這表明，原命題的逆否命題為真命題，從而原命題也為真命題。間接證法（反證法）例3.證明:若p2+q2=2,則p+q≤2.證法2（三角換元法）：∵p2+q2=2,∴設(shè)證法3（代數(shù)換元法）：令t=p+q,則q=t-p代入p2+q2=2并整理得2p2-2tp+t2-2=0,∵p∈R,∴⊿=4t2-4×2(t2-2)≥0,∴t2≤4,∴-2≤t≤2,既有p+q≤2.練習(xí)2.求證：是無理數(shù)。思考？

A、B、C三個人，A說B撒謊，B說C撒謊，C說A、B都撒謊。則C必定是在撒謊，為什么？分析:假設(shè)C沒有撒謊,則C話為真.由A話為假,知B話為真.這與B話為假矛盾.那么假設(shè)C沒有撒謊不成立;則C必定是在撒謊.那么A話為假且B話為假;例4.證明：圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分.

.OPABCD

已知：在⊙O中，弦AB、CD相交于P，且AB、CD不是直徑.求證：弦AB、CD不被P平分證明：假設(shè)弦AB、CD被P平分，則P是AB、CD的中點，連接OP，由垂徑定理的推論，可得：OP⊥AB，OP⊥CD.這與“在平面上過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”相矛盾.∴弦AB、CD不被P平分.例5.如圖在⊙O中,弦AB、CD相交于P，且AB、CD不全是直徑.求證：AB、CD不能互相平分。ABCDPO證明：假設(shè)AB、CD互相平分則四邊形ACBD是平行四邊形∠ACB=∠ADB,∠CAD=∠CBD因為四邊形ACBD是圓內(nèi)接四邊形∠ACB+∠ADB＝180°,∠CAD+∠CBD＝180°,

所以∠ACB=90°,∠CAD=90°所以對角線AB、CD均為直徑，與已知條件矛盾。所以假設(shè)不成立，因此AB、CD不能互相平分原命題若p則q逆命題若q則p否命題若﹁p則﹁q逆否命題若﹁q則﹁p互為逆否同真同假互為逆否同真同假互逆命題真假無關(guān)互逆命題真假無關(guān)互否命題真假無關(guān)互否命題真假無關(guān)

二、反證法：假設(shè)命題結(jié)論不成立（即命題結(jié)論的反面成立），經(jīng)過正確的推理,引出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤,從而證明原命題成立,這樣的證明方法叫反證法。反證法的一般步驟：（1）反設(shè)：假設(shè)命題結(jié)論不成立（即假設(shè)結(jié)論的反面立）；（2）歸繆：從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；（3）下結(jié)論：由矛盾判定假設(shè)不成立，從而肯定命題成立。歸繆矛盾：（1）與已知條件矛盾；（2）與公理、定理、定義矛盾；（3）自相矛盾。注意：反證法引出矛盾沒有固定的模式，需要認(rèn)真觀察、分析，洞察矛盾。由命題真假的意義求參數(shù)的取值范圍1.已知P：方程x2+mx+1=0有兩個不等的負(fù)根，q：方程4x2+4(m-2)x+1=0(m∈R)無實根。若p，q一真一假，求m的取值范圍。由命題真假的意義求參數(shù)的取值范圍2.已知命題P：|x|+|x-1|≥m的解集為R；q：函數(shù)f(x)=-(7-3m)x是減函數(shù)。若這兩個命題中有且只有一個真命題，求