高中數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練(七)軌跡問題

高中數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練——軌跡問題1.已知平面a//平面卩，直線1ua，點(diǎn)Pel，平面a、卩間的距離為4,則在卩內(nèi)到點(diǎn)P的距離為5且到直線1的距離為9的點(diǎn)的軌跡是（）2A.一個(gè)圓B.兩條平行直線C.四個(gè)點(diǎn)D.兩個(gè)點(diǎn)2在四棱錐P-ABCD中，AD丄面PAB,BC丄面PAB,底面ABCD為梯形，AD=4,BC=8,AB=6，ZAPD=ZCPB，滿足上述條件的四棱錐的頂點(diǎn)P的軌跡是（）A.圓B.不完整的圓C.拋物線D.拋物線的一部分如圖，定點(diǎn)A和B都在平面a內(nèi)，定點(diǎn)Pga,PB丄a,C是a內(nèi)異于A和B的動(dòng)點(diǎn)。且PC丄AC，那么動(dòng)點(diǎn)C在平面a內(nèi)的軌跡是（）一條線段，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)一個(gè)橢圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)半圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)如圖3,在正方體ABCD-ABCD中，P是側(cè)面BC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若P到直11111線BC與直線CD的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是（）11A.直線B.圓C.雙曲線D.拋物線F圖3F圖3已知正方體ABCD-ABCD的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)P是平面AC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P1111到直線AD的距離等于點(diǎn)P到直線CD的距離，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是11()A.拋物線B.雙曲線C.橢圓D.直線已知異面直線a,b成60。角，公垂線段MN的長(zhǎng)等于2,線段AB兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在a,b上移動(dòng)，且線段AB長(zhǎng)等于4,求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程。7.已知圓E的方程為(x-1)2+y2=1,四邊形PABQ為該圓的內(nèi)接梯形，底AB為圓的直徑且在x軸上，以A、B為焦點(diǎn)的橢圓C過P、Q兩點(diǎn).若直線QP與橢圓C的右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡；當(dāng)梯形PABQ周長(zhǎng)最大時(shí)，求橢圓C的方程.8.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F］、F2,其中F1又是拋物線y=4x的一個(gè)焦點(diǎn),且點(diǎn)A(-1,2)，B(3,2)在雙曲線上．(1)求點(diǎn)f2的軌跡；⑵是否存在直線y=x+m與點(diǎn)F2的軌跡有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，若存在，求出實(shí)數(shù)m的值,若不存在,說明理由．9.已知常數(shù)a>0,c=(0,a),i=(1,0),經(jīng)過原點(diǎn)0,以c+入i為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)A(0,a),以i-2入c為方向向量的直線交于點(diǎn)P,其中入GR,試問:是否存在兩個(gè)定點(diǎn)E,F,使得|PE|+|PF|為定值，若存在，求出E,F的坐標(biāo),若不存在,說明理由．10.如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M(2,0),AB邊所在直線的方程為x-3y-6二0點(diǎn)T(-1,1)在AD邊所在直線上．求AD邊所在直線的方程；求矩形ABCD外接圓的方程；若動(dòng)圓P過點(diǎn)N(-2,0)，且與矩形ABCD的外接圓外切，求動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程.11.如圖，設(shè)拋物線C:y二X2的焦點(diǎn)為F,動(dòng)點(diǎn)P在直線l:x-y-2二0上運(yùn)動(dòng),過P作拋物線C的兩條切線PA、PB,且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).（1）求AAPB的重心G的軌跡方程.(2)證明ZPFA=(2)證明ZPFA=ZPFB.l12.已知橢圓蘭+竺=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F.(―c,0)、F2(c,0),a2b2設(shè)X為點(diǎn)P設(shè)X為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，證明\FP\二a+cx；1a求點(diǎn)T的軌跡C的方程；試問：在點(diǎn)T的軌跡C上，是否存在點(diǎn)M,使的面積S=b2.若存在，求ZF]MF2的正切值；若不存在，請(qǐng)說明理由.Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足IFQ\=2a.點(diǎn)P是線段F]Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F2Q上，并且滿足PT-TF=0,\TF\乂0.22213.過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).求△AOB的重心G的軌跡C的方程.14.已知圓C:x2+y2=1和點(diǎn)Q（2,0），動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)與IMQI的比等于常數(shù)九（九〉0），求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線？15.如圖，圓O與圓O的半徑都是1，OO=4，過動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O、圓O121212的切線PM、PN（M、N分別為切點(diǎn)），使得PM=^2PN.試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．已知橢圓C:學(xué)二1和點(diǎn)P(1,2),直線l經(jīng)過點(diǎn)P并與橢圓C交于A、169B兩點(diǎn)，求當(dāng)l傾斜角變化時(shí)，弦中點(diǎn)的軌跡方程。已知棱長(zhǎng)為3的正方體ABCDABCD中，長(zhǎng)為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)1111在DD上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)N在底面ABCD上運(yùn)動(dòng)，求MN中點(diǎn)P的軌跡與正方1體的面所圍成的幾何體的體積。(經(jīng)典問題，值得一做，很能訓(xùn)練學(xué)生的思維能力)三峽工程需修建一個(gè)土石基坑，基坑成矩形ABCD，按規(guī)定,挖出的土方必須沿道路PA或PB送到P點(diǎn)處。已知PA100m,PB150m,BC60m,AB160m，能否在池中確定一條界線，使得位于界線一側(cè)的點(diǎn)沿道路PA送土方較近，而另一側(cè)的點(diǎn)沿道路PB送土方較近？如果能，請(qǐng)說明這條界線是什么曲線，并求出軌跡方程。19.設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線y2=4px(p>0)上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OA丄OB,OM丄AB,求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線20.某檢驗(yàn)員通常用一個(gè)直徑為2cm和一個(gè)直徑為1cm的標(biāo)準(zhǔn)圓柱，檢測(cè)一個(gè)直徑為3cm的圓柱，為保證質(zhì)量，有人建議再插入兩個(gè)合適的同號(hào)標(biāo)準(zhǔn)圓柱，問這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圓柱的直徑為多少？答案：因?yàn)锳D丄面PAB,BC丄面PAB,所以AD//BC，且ZDAP=ZCBP=90。。又ZAPD=ZCPB,AD=4,BC=8,ADCB可得tanZAPD=——=一=tanZCPB,PAPB即得IB==2PAAD在平面PAB內(nèi)，以AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(-3，0)、B(3，0)。設(shè)點(diǎn)P(x,y),則有IPBI\：(x—3)2+y2=|=2，|PA|v.;(x+3)2+y2整理得X2+y2+10x+9=0由于點(diǎn)P不在直線AB上，故此軌跡為一個(gè)不完整的圓，選B。因?yàn)锳C丄PC，且PC在a內(nèi)的射影為BC，所以AC丄BC，即ZACB=90。。所以點(diǎn)C的軌跡是以AB為直徑的圓且去掉A、B兩點(diǎn)，故選B。因?yàn)镻到CD的距離即為P到C的距離，所以在面BC內(nèi)，P到定點(diǎn)C的距11111離與P到定直線BC的距離相等。由圓錐曲線的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡為拋物線，故選D。即vx2+1=1y-11,化簡(jiǎn)得X2—y2+2y=0故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線，選B。6.如圖，易知線段AB的中點(diǎn)P在公垂線段MN的中垂面a上，直線a'、b'為平面a內(nèi)過MN的中點(diǎn)0分別平行于a、b的直線，AA'丄a'于A'，BB'丄b'于B'，則ABnA'B'=P，且P也為A'B'的中點(diǎn)。由已知MN=2,AB=4,易知AA'=1,AP=2,得A'B'=2込。則問題轉(zhuǎn)化為求長(zhǎng)等于2込的線段A'B'的兩個(gè)端點(diǎn)A'、B'分別在a'、b'上移動(dòng)時(shí)其中點(diǎn)P的軌跡。現(xiàn)以ZA'OB'的角平分線為x軸，0為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系。設(shè)P(x,y)，IOA'I=m,IOB'l=n，則A'(3m,1m),B'(3n,--^n)2222v3ix=—4-(m+n),y=4(m-n)(m-(m-n)2+(m+n)244=(2/3)2消去m、n，得線段AB的中點(diǎn)P的軌跡為橢圓’其方程為扌+護(hù)=7.解(1)設(shè)橢圓C：b2(x-1)2+a2y2=a2b2(a>b>0)，由題意知2c=2,故c=1,如圖9-9，從而可得右準(zhǔn)線的方程x=a2+1,……………①設(shè)M(x,y),P(x。,y。)，連PB,則有|PA|2+|PB|2=|AB|2,TOC\o"1-5"\h\z???(|PA|+|PB|)2-2|PA|?|PB|=4，由此可得(2a)2-2?2|yp|=4，即yp=±(a2-1),②于是，由①②得y=±(x-2).又???點(diǎn)P(x0,y0)是圓E上的點(diǎn)，且不與AB重合，?0<|y0|<1，故有0<a2-1<1,即1<a2<2③由①③得2<x<3,???點(diǎn)M的軌跡是兩條線段，其方程為y=±(x-2)(2<x<3).(2)設(shè)ZABQ=0，V點(diǎn)Q在P點(diǎn)左側(cè)，???。$(45。,90。)，又|AB|=2,于是，由圖9-9可得|PA|=|BQ|=2cos0,|PQ|=|AB|-2|BQ|cos0=2-4cos20,=-4(cos0—周長(zhǎng)L=(2-4cos20=-4(cos0—當(dāng)cos0=丄，即0=60°時(shí)，周長(zhǎng)L取最大值5.圖9-92圖9-9此時(shí)|BQ|=1,|AQ|=肓，2a=|BQ|+|AQ|=1+鮎,TOC\o"1-5"\h\z?,1+&2+(3,“<3…a2=()2=,b2=a2一1=故所求橢圓的方程為222故所求橢圓的方程為(x-1)2匹_12+亍3v'322解⑴由題意知FJ1,0)，設(shè)F2(x,y)，貝則||AFJ-|AF2||=||BFj-|BF2||=2a>0.①???A(-1,2)，B(3,2)在已知雙曲線上，且|AFJ=|BFJ=2込.于是(i)當(dāng)|AFJ-|AF2|=|BFJ-|BF21時(shí)，有|AF2|=|BF2|,再代入①得：F2的軌跡為直線x=1除去兩個(gè)點(diǎn)FJ1,0),D(1,4).(ii)???當(dāng)|AFJ-|AF2|=-(|BFJ-|BF2|)時(shí)，有|AF2|+|BF2|=|AFJ+|BFJ=4擊>4=|AB|,???點(diǎn)F2的軌跡是以A、B兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓Q，且除去FJ1,0)，D(1,4)兩點(diǎn),

故所求的軌跡方程為I：X=1與Q:(x—I)2+(y-2)2=1(yHO,yH4).84(2)設(shè)存在直線L：y=x+m滿足條件.(i)若L過點(diǎn)Fx或點(diǎn)D,JF］、D兩點(diǎn)既在直線I：x=1上，又在橢圓Q上，但不在F2的軌跡上，???L與F2的軌跡只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合題意.(ii))若L不過點(diǎn)F］和D兩點(diǎn)，(mH-1,mH3)，則L與I必有一個(gè)公共點(diǎn)E，且E點(diǎn)不在橢圓Q上,y=x+m,得(X—1)2y=x+m,得(X—1)2丄(y—2)21I寸+=1,843x2-(10-4m)x+2m2-8m+1=0,從而，有△=(10-4m)2-12(2m2-8m+1)=-8(m2-2m-11),當(dāng)厶=0時(shí)，有m=1土2肓.即存在符合條件的直線丫=X+1土2込?解c+入i=(入，a)，i-2入c=(1,-2入a),由向量平行關(guān)系得OP與AP的方程分別為入y=ax，y-a=-2入ax.①由此消去參數(shù)入，得點(diǎn)由此消去參數(shù)入，得點(diǎn)P(x,y)滿足方程為(y-2)2—」=1/2828*?*a>0,從而，有(1)當(dāng)a=2時(shí)，方程②表示的是圓，不存在符合題意的2兩個(gè)定點(diǎn)E，F(xiàn)；當(dāng)0<°厶時(shí)，方程②表示的是橢圓，故存在符合題意的兩個(gè)定點(diǎn)，即2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)：E(丄］丄-a2,a),F(-丄i：丄-a2,勺；222222當(dāng)°時(shí)，方程②表示的是橢圓，故存在合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn)，即為2橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)：E(0,丄(a+{a2--)),F(0,丄(a-】'a2-丄))-2\22V210.解：(I)因?yàn)锳B邊所在直線的方程為x-3y-6=0，且AD與AB垂直,所以直線AD的斜率為-3.又因?yàn)辄c(diǎn)T(-1,1)在直線AD上,所以AD邊所在直線的方程為y-1=-3(x+1)即3x+y+2=0.

由jX—3y—6二°’解得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,-2),[3x+y+2=0因?yàn)榫匦蜛BCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為M(2,0)?所以M為矩形ABCD外接圓的圓心.又|AM|=.^；(2-0)2+(0+2)2二2邁.從而矩形ABCD外接圓的方程為(x-2)2+y2二8.因?yàn)閯?dòng)圓P過點(diǎn)N，所以|pn|是該圓的半徑，又因?yàn)閯?dòng)圓P與圓M外切,所以\PM\二|PN|+2邁,即|PM|-\PN\=2邁.故點(diǎn)P的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2邁的雙曲線的左支.因?yàn)閷?shí)半軸長(zhǎng)a=斗2，半焦距c=2?所以虛半軸長(zhǎng)b=\:c2-a2=\2.從而動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程為乂-蘭=1(xW-邁).^2^211.解：(1)設(shè)切點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為(x,x2)和(x,x2)((x豐x),01110???切線AP的方程為：2xx—y—x2=0;00切線BP的方程為：2xx—y—x2=0;11解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為：x=芻4,y=xxTOC\o"1-5"\h\zP2P01所以MB的重心G的坐標(biāo)為S=中產(chǎn)=S'(x+x)2—xx4x2—y(x+x)2—xx4x2—y01=PP,3從而得到重心G的軌跡方程y=—0+p=1=1g333所以y=—3y+4x2,由點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng),pGG為：x—(—3y+4x2)—2=0,即y=|(4x2—x+2).-uuur-—4),FB=-uuur-—4),FB=(x,x2—-).(2)方法1：因?yàn)镕A=(x,x2—-),FP=(txx004201由于P點(diǎn)在拋物線外，則IFP圧0.11uuruurFP-FAcosZAFP=uruur=IFPIIFAIX+X/1、/1、0—-X+(XX一一)(X2-)2ooi4o4

uuiirXX+—

=0dur4,IFPI同理有cosZBFP=uuuruuurFP-FB

uuruur|FP||FB|4、0IFPIJ’X2+(X2—1)2004-X+(XX—1)(X2—1)XX+11014丄4=0Ur4,1、IFPIX+X—912uurI1~IFPI：X2+(X2-)2.\ZAFP=ZPFB.方法2：①當(dāng)xx10=0時(shí),由于X1豐x,不妨設(shè)x00=0,則y=0,所以P點(diǎn)坐標(biāo)為0,0)，則點(diǎn)到直線AF的距離d1=￥而直線bf的方程:y一-1X2—14-X,X111艮卩(x2一―)x一xy+—X=0.14141所以P點(diǎn)到直線BF的距離為：1XXI(x2—)+—I(X2—1)2+(X)21411IXI(X2+)—=—42=1X2+14所以d1=d2，即得ZAFP=ZPFB.②當(dāng)xx豐0時(shí)，直線AF的方程:101X2—直線BF的方程：y—1=亠44X-0所以P點(diǎn)到直線AF的距離為I(X2—1)()—X2X+1XId=04]20丄401J(X2—4)2+X20401X2—:104?y=4x—00(X—0),即(X2—)x—xy+04=0,(X-0),即(X2-)x-xy+X=0,14I寧)(X2+―)2o4IX—XI同理可得到P點(diǎn)到直線BF的距離d2=-y亠，ZPFB.因此由d1=d2，可得到ZAFP=12.(I)證法一：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y).由P(X,y)在橢圓上，得b2■cIFPI=(X+c)2+y2=(X+c)2+b2—X2=|'(a+x)2.1a2ac由x>-a,知a+—x>-c+a>0，所以丨FPI=a+X.a1a證法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y).記IFPI=r,IFPI=r,1122則(x+c)2+y2,[J：(x+c)2+y-cTOC\o"1-5"\h\z由r+r=2a,r2一r2=4cx,得IFP1=r=a+x.121211證法三：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y）.橢圓的左準(zhǔn)線方程為a+二x二0.由橢圓第二定義得〔?P〔=—，即IFPI=￡Ix+竺I=Ia+cxI.a2a1acaIx+Ic—■-c由x>-a,知a+x>-c+a>0，所以IFPI=a+x.a1（II）解法一：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為（x,y）.當(dāng)IPTI=0時(shí)，點(diǎn)（a,0）和點(diǎn)（一a,0）在軌跡上.當(dāng)|PTIh0且ITFIh0時(shí)，由PT-TF=0，得PT丄TF.222又IPQI=IPFI，所以T為線段F2Q的中點(diǎn).221■在△QF1F2中，IOTI=-IFQI=a，所以有x2+y2=a2.1221綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是x2+y2=a2.解法二：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為（x,y）.當(dāng)IptI=0時(shí)，點(diǎn)（a，0）和點(diǎn)（一a，0）在軌跡上.當(dāng)|PTIh0且ITFIh0時(shí)，由PT-TF=0，得PT丄TF.222又IPQI=IPFI，所以T為線段F2Q的中點(diǎn).22設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x:y'），則x=y=x'+c2工2°x=2x一c,y'=2y.由IFQI=2a得(x'+c)2+y'2=4a2.②1將①代入②，可得x2+y2=a2.

綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是x2+y2二a2.（Ill）解法一：C上存在點(diǎn)M（x,y）使S=b2的充要條件是00x2+y2=a2,0051—?2cIy1=b2.〔20由③得Iy由③得Iyol＜a，由④得yol=y.所以，當(dāng)0＞竺時(shí)，存在點(diǎn)M，使S=b2；c當(dāng)a<竺時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)c當(dāng)a>—時(shí)，MF=(—c—x，―y),MF=(c—x，―y)，c100200由MF?MF=x2—c2+y2=a2—c2=b2，1200MF?MF=lMFI?IMFIcosZFMF，1212121S=IMFI?IMFIsinZFMF=b2，得tanZFMF=2.2121212解法二：C上存在點(diǎn)M(x,y)使S=b2的充要條件是00x2+y2=a2,0051-?2cIyI=b2.〔20由④得IyI=竺.上式代入③得x2=a2—匕=（a-竺）（a+竺）＞0.0c0c2cc于是，當(dāng)a＞竺時(shí)，存在點(diǎn)M，使S=b2；c當(dāng)a＜竺時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)Mc記k=k1F記k=k1F1M0—,k=k=0—/x+c2F2Mx—c00由IFFk2a,由IFFk2a,知ZFxMF2<90。，所以tanzfmf=I121212—k1+kk1213.解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0），當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)方程為y=k（x—1），代入y2=4x，得k2x2－x（2k2+4）+k2=0.設(shè)l方程與拋物線相交于兩點(diǎn)，???kH0.設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（x”y1）＞（x2，y2），

根據(jù)韋達(dá)定理，有x1+x2=+2）k2從而y1+y2=k(x1+x2－2)設(shè)AAOB的重心為根據(jù)韋達(dá)定理，有x1+x2=+2）k2從而y1+y2=k(x1+x2－2)設(shè)AAOB的重心為G（x,y），0+x+x24x=12=+333k2424消去k得x=3+3(4y)20+y+yy=123.*.y2=_x—8.當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，A、B的坐標(biāo)分別為(1,2)39?3k和（1，－2），339因此所求軌跡C的方程為y2=4x-8.3914.解：設(shè)點(diǎn)M(x,y)，點(diǎn)M到圓C的切線的切點(diǎn)為P，貝VIMPI二九IMQIQIMPI=JMOI2-1OPI2=、:'x2+y2—1IMQ\=Q(x—2)2+y2??x2+y2—1=y'(x—2)2+y2整理，得：(九2一1)x2+(九2一1)y2一4九2x+(1+4九2)二0?動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為（九2—1）x2+（九2—1）y2—4九2x+（1+4九2）二0當(dāng)九=1時(shí)，它表示直線4x—5=0心，若為半徑的圓。2尢2，表示以G一,0）為圓人2—1P當(dāng)當(dāng)豐心，若為半徑的圓。2尢2，表示以G一,0）為圓人2—1P00215.解：以O(shè)O的中點(diǎn)0為原點(diǎn)，OO所在的1212直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則O(—2,0),O(2,0)12由已知PM=j2pN可得：PM2二2PN2因?yàn)閮蓤A的半徑均為1，所以PO2—1二2（PO2—1）12設(shè)P(x,y)，則(x+2)2—1二2[(x—2)2+y2—1]，即(x—6)2+y2二33

所以所求軌跡方程為：(x-6)2+y2=33(或x2+y2-12x+3=0)解：設(shè)弦中點(diǎn)為M(x,y),交點(diǎn)為A(x,y)、B(x,y)。當(dāng)M與P不重1122合時(shí),A、B、M、P四點(diǎn)共線。?:(y-y)(x-1)二(x-x)(y-2)①2121由紅+紅=1，169話+專=1，兩式相減得2116("l-兀2)(A+兀2)+(人-歹2)(人+歹2)二21169又x+又x+x=2x,1212=2y2x(x-x)2y(y-y)12=—12169由①②可得：9x2+16y2-9x-32y=0③當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P重合時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為(1,2),適合方程③。???弦中點(diǎn)的軌跡方程為：9x2+16y2-9x-32y=0由于M、N都是運(yùn)動(dòng)的，所以求的軌跡必須化“動(dòng)”為“靜”，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)P的幾何性質(zhì)，連結(jié)DP，因?yàn)镸N=2,所以PD=1，因此點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)以D為球心，1為半徑的球面在正方體內(nèi)的部分，所以點(diǎn)P的軌跡與正方體的表面所圍成的幾何體的體積為球的體積的1，即1x4兀x13=。8836解:如圖所示，以AB所在直線為x軸，以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系。若這樣界線存在，如圖設(shè)點(diǎn)M為此曲線上任一點(diǎn)，則由題義得：|PA|+|AM|=|PB|+|BM|，艮卩|MA|-|MB|=|PB|—|PA|=150-100=50

???點(diǎn)M的軌跡為以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支(在矩形ABCD內(nèi)部的一段)。方程