高中數(shù)學(xué)：第三章 三角恒等變換疑難規(guī)律方法 Word版含答案 -1

技巧點(diǎn)撥qi三角恒等變換中角的變換的技巧三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，因此三角恒等變換離不開角之間的變換．觀察條件及目標(biāo)式中角度間聯(lián)系，立足消除角之間存在的差異，或改變角的表達(dá)形式以便更好地溝通條件與結(jié)論使之統(tǒng)一，或有利于公式的運(yùn)用，化角是三角恒等變換的一種常用技巧一、利用條件中的角表示目標(biāo)中的角例1已知cos（6+j=斗3，求心（普一a）的值.分析將6+a看作一個整體，觀察6+a與活~a的關(guān)系.(6+a)+伴-a)=n??罟一宀一（6+a?cos=-COS?cos=-COS專+?)=-￥，即cos二、利用目標(biāo)中的角表示條件中的角sin3a13例2設(shè)a為第四象限角，若證=扌，則tan仆￥中，首先求出cos2a的值后，再由同角三角函數(shù)之間的關(guān)系求出tan2a.分析要求tan分析要求tan2a的值，注意到sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina,代入到sin3asina=sin(2a+a)sin2acosa+cos2asinasinasina=2cos2a+=2cos2a+cos2a=132cos2a+cos2a=1+2cos2a=13.?.cos2a=4.3nTa為第四象限角，..2kn+^<a<2kn+2n(k￡Z),4kn+3n<2a<4kn+4n(k￡Z),???2a可能在第三、四象限，4又?cos2a=5,?.2a在第四象限，.?33??sin2a=—5,tan2a=—4.3★答案★—4三、注意發(fā)現(xiàn)互余角、互補(bǔ)角，利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化角例3已知sin(f—J=1|，0<x<4，求\的值.cos|^+xJ分析轉(zhuǎn)化為已知角(4一J的三角函數(shù)值，求這個角的其余三角函數(shù)值，這樣可以將所求式子化簡，使其出現(xiàn)許一J這個角的三角函數(shù).sin(2+2』2sin(^+Jcos(4+J解原式=品打cos討他J(nJ=2sin^十x丿=2cos(j—耳，(nJ5日nnAnJTsinlj—xj=13，且0<x<4，.?.4—4丿..cos1213,.cos1213,.?原式=2X12=2413=13.四、觀察式子結(jié)構(gòu)特征，靈活湊出特殊角例4求函數(shù)夬朗=1J’sin(x—20°)—cos(x+40°)的最大值.分析觀察角(x+40°)-(x-20°)=60°,可以把x+40°看成(x-20°)+60。后運(yùn)用公式展開，再合并化簡函數(shù)f(x).

1—邁解fx)=2sin(x—20°)—cos[x—20°+60°]=*sin(x—20。)一￥sin(x—20。)一cos(x—20°)cos60°+sin(x—20°)sin60°=1[sin(x-20°—cos(x—20°]=尋鞘一65°),2當(dāng)x—65°=k?360°+90°,即x=k?360°+155°(kGZ)時，y(x)有最大值專2方法活用4方法活用42三角恒等變換的幾個技巧三角題是高考的熱點(diǎn)，素以“小而活”著稱．除了掌握基礎(chǔ)知識之外，還要注意靈活運(yùn)用幾個常用的技巧．下面通過例題進(jìn)行解析，希望對同學(xué)們有所幫助．一、靈活降冪例1例13—sin70°_2—cos210°解析3—sin70°_3—sin70°_3—cos20°_解析2—cos210°1+cos20°3—cos20°2222★答案★2點(diǎn)評常用的降冪技巧還有：因式分解降冪、用平方關(guān)系sin20+cos20=1進(jìn)行降冪：如COS40+sin40=(cos20+sin20)2—2cos20sin20=1—gsin220，等等.二、化平方式例2化簡求值：12解n,所以cos?>0,sin^12解n,所以cos?>0,sin^>0,1+cos2a22—2cosa=.asmj點(diǎn)評一般地，在化簡求值時，遇到1+cos2a、1—cos2a、1+sin2a、1—sin2a常?；癁槠椒绞剑?cos2a、2sin2a、(sina＋cosa)2、(sina—cosa)2.三、靈活變角例3已知sin(?—a)_3，則cos建+2a)_.解析cos俘+2a)_2cos2(3+a)—1

=2sin2(6—aj—1=2X匕丿2—1=—9-7★答案★—9點(diǎn)評正確快速求解本題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用已知角"n_a"表示待求角“2n+2a”，善于發(fā)現(xiàn)前者和后者的一半互余．四、構(gòu)造齊次弦式比，由切求弦例4已知tane=——2,則]d爲(wèi)的值是?cos2ecos20—sin20牛1+sin2ecos2e+sin2e+2sinecose1—tan21—tan201+tan20+2tane1-41+!+2X口n=3.★答案★3cos2e點(diǎn)評解本題的關(guān)鍵是先由二倍角公式和平方關(guān)系把“]+sin2e”化為關(guān)于sine和cose的二次齊次弦式比．五、分子、分母同乘以2nsina求cosacos2acos4a?cos8a???cos2n—?a的值n2n3n4n5n4n8n;yjcosjjcos8n5ncosjjcos5n11例5求cosyposyycosypos1ycos5n11牛軍原式=—cos*cos普cosnn2n4n—24sm1jcos1ycosyycos喬24sin11.16n5n—sin11cos11.5n5n1.10nsin]]Cos112，sm1124sin+24sinh24sin+sin112525sinyj32點(diǎn)評這類問題的解決方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍數(shù)即可.技巧點(diǎn)撥q技巧點(diǎn)撥q3聚焦三角函數(shù)最值的求解策略一、化為y=A一、化為y=Asin(ex+y)+B的形式求解2－sin2x2－sin2x解原函數(shù)變形得滄)」m2X+c0T)2；Sin22－sin2x=gsin2x+2?_3=1maxmin=4-例2求函數(shù)y=sinx+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并寫出y取最小值時x的集合.解原函數(shù)化簡得y=sin2x+cos2x+2=\：2sin（2x+4）+2.n35當(dāng)2x+n=2^n+^n,kWZ，即x=kn+§n,k^Z時，尹罰=2—邁.f5〕此時x的集合為<xx=kn+§n,kwZ>.點(diǎn)評形如y=asin2ex+bsinexcosex+ccos2ex+d（a,b,c,d為常數(shù)）的式子，都能轉(zhuǎn)化成y=Asin（2ex+y）+B的形式求最值.二、利用正、余弦函數(shù)的有界性求解例3求函數(shù)y=2sinx_］的值域?解原函數(shù)整理得sinx=和.???|sinx|???|sinx|Wl,???y+1Wl,解出y<3或y±3.?函數(shù)的值域?yàn)?lt;yyW§或y23>.例4解原函數(shù)整理得sin例4解原函數(shù)整理得sinx—ycosx=—4y—3,???|sin(x+0)|Wl,解不等式|*1詈卜1得—12—26一一一12+26—方—X—方—點(diǎn)評對于形如y=a點(diǎn)評對于形如y=asinx+bcsinx+dasinx+b的這類函數(shù)，均可利用三角函數(shù)中弦函數(shù)的有界ccosx+d性去求最值．三、轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)在某確定區(qū)間上求最值例5設(shè)關(guān)于x的函數(shù)y=cos2x~2acosx~2a的最小值為f(a)，寫出f(a)的表達(dá)式.解y=cos2x—2acosx~2a=2cos2x—2acosx—(2a+1)=2(cosx-1)2-岸+2a+l)當(dāng)a<—1,即a<—2時，f(a)=ymin=l,此時cosx=—1.aa2a當(dāng)一lW^Wl,即一2WaW2時，,f(a)=ymin=—2—2a—1,此時cosx=2-當(dāng)2>1，即a>2時，f(a)=ymin=l—4a，此時cosx=1.1，a<—2，、<1綜上所述，f(a)=—^a2—2a—1，—2WaW2，1—4a，a>2.點(diǎn)評形如y=asin2x+bsinx+c的三角函數(shù)可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)y=a/2+bz+c在區(qū)間［—1,1］上的最值問題解決．例6試求函數(shù)y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最值.解設(shè)sinx+cosx=t，t^［—'2,'2］，則2sinxcosx=t2—1，原函數(shù)變?yōu)閥=t2+t+l,［一邁‘返］,13當(dāng)t=—2時，ymin=4；當(dāng)t=，，2時，ymax=3+\2點(diǎn)評一般地，既含sinx+cosx(或sinx—cosx)又含sinxcosx的三角函數(shù)采用換元法可以轉(zhuǎn)化為t的二次函數(shù)解最值.注意以下結(jié)論的運(yùn)用，設(shè)sinx+cosx=t,則sinxcosx=g(t2—1)；sinx—cosx=t,則sinxcosx=g(1—12).四、利用函數(shù)的單調(diào)性求解例7求函數(shù)尹=巴+￥嚴(yán)的最值.sin2x+4sinx+3(sinx+2)2—1牛ysinx+2sinx+2=sinx+2—sinx＋2令t==sinx+2—sinx＋2令t=sinx+2,則t^［1,3］,;y=t—|.利用函數(shù)單調(diào)性的定義易證函數(shù)y=t—-1在［1,3］上為增函數(shù).故當(dāng)t=1，即sinx=—1時，ymin=0；8當(dāng)t=3，即sinx=1時，ymax=3-例8在Rt^ABC內(nèi)有一內(nèi)接正方形，它的一條邊在斜邊BC上，設(shè)AB=a,ZABC=0,△ABCP的面積為F,正方形面積為Q.求Q的最小值.11a解AC=atan3,P=2AB?AC=2°2tan0.設(shè)正方形的邊長為x,AG=xcos0,BC=cosgBC邊上的髙h=asin0,…AGh—xxcos0asin0—x°AB=h，卩a=asin0'??x=asin01+sin0cos0,a2sin20Qx2(1+sin0cos0)2從而P=sin0(1+sin0cos0)2從而Q=2cos0'sin20(2+sin20)2+4sin20=1(sin20+I4+易知函數(shù)y=7+j在區(qū)間（0,1］上單調(diào)遞減,從而，當(dāng)sin20=1時0min94.點(diǎn)評一些復(fù)雜的三角函數(shù)最值問題，通過適當(dāng)換元轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)函數(shù)后，可利用函數(shù)單調(diào)性巧妙解決．易錯警示單調(diào)性巧妙解決．易錯警示44行百里者半九十《三角恒等變換》一章易錯問題盤點(diǎn)一、求角時選擇三角函數(shù)類型不當(dāng)而致錯例1已知sina=￥,sin〃=+0,a和“都是銳角，求a+0的值.［錯解］因?yàn)閍和B都是銳角，且sina=￥，sin10所以cosa=cos片3f,sin（a+〃）=sinacos〃+cosasinB=逅乂巫豐蟲5乂邁=T2=5x10十5x10=2-因?yàn)閍,”丘（0，2），則a+Be（0，n）.n3n所以a+B=4或才?［剖析］由sina=考,sin〃=晉，a和B都是銳角，可以知道a和B都是定值，因此a+B也是定值，因此上述解法出現(xiàn)兩個★答案★，其中就有一個是錯誤的.這是因?yàn)閟in（a+B）在第一、第二象限沒有區(qū)分度，應(yīng)選擇計算cos（a+B）的值.10［正解］因?yàn)閍和B都是銳角’且sina=-5，sinB=片0，所以cosa=，cos#=兒cos(a+B)=cosacosB_sinasin“二2^5*310nn因?yàn)閍，BW（0,2），所以a+Be（0，n），所以a+B=j.溫馨點(diǎn)評根據(jù)條件求角，主要有兩步：（1）求角的某種三角函數(shù)值；（2）確定角的范圍，從而確定所求角的值?完成第一步一般要選擇相對角的范圍區(qū)分度比較大的三角函數(shù)，且確定范圍要盡量縮小.二、忽視條件中隱含的角的范圍而致錯例2已知tan2a+6tana+7=0,tan2“+6tanB+7=0,a,Be（0，n）,且a上B，求a+B的值．［錯解］由題意知tana，tanB是方程也十6兀十7=0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得

TOC\o"1-5"\h\z「tan?+tan〃=一6,①<tan?tan〃=7,②,tan?+tanB—6???tan（a+〃）=1一tanatan“=口=*.*0<a<n,0<B<n,0<a+B<2n,n、5.°.a+B=4或a+B=4n.［剖析］由①②知tana<0,tanB<0,角a,B都是鈍角.上述解法忽視了這一隱含條件.,「tana+tanB=—6,易知tana<0，tan易知tana<0，tanB<0.tanatanB=7Va,BG（0，n）..n.，.n.，2<a<n,n<B<n,.*.n<a+B<2兀又Vtan(a+B)=1,.a+B=4n.溫馨點(diǎn)評在給值求角或給式求角時，由于三角函數(shù)知識間及與其他知識間都有較為密切的聯(lián)系，一些隱含的制約條件不易被發(fā)現(xiàn)，容易導(dǎo)致角的范圍擴(kuò)大?解答此類問題時一定要仔細(xì)挖掘題目中的隱含條件才能有效地避免失誤.三、忽略三角形內(nèi)角間的關(guān)系而致錯35例3在厶ABC中，已知sinA=J,cosB=73，求cosC.［錯解］由sinA=5，得cosA=±5，由cosB=由cosB=513得sinB=1213,4當(dāng)cosA=5時,65.cosC=—cos（A+B）=sinAsinB一cosAcosB65.4當(dāng)cosA=—5時,cosC=—cos(A+B)=sinAsinB—cosAcosB=6^?［剖析］在AABC中，三個內(nèi)角A,B,C的和為n,解題時要充分利用這一定理?本題得到44cosA=±5后，沒有對cosA=—5這一結(jié)果是否合理進(jìn)行檢驗(yàn)，從而導(dǎo)致結(jié)論不正確.［正解］由cosb=］53>0,且sinB=34由sinA=5，得cosA=±5,2n??A>亍lz2n??A>亍當(dāng)cosA=—5時，cosAv—2,TsinB=|3>23,BW(O，2)，4故當(dāng)cosA=—5時，A+B>n,與A,B是AABC的內(nèi)角矛盾.4?：cosA=5,cosC=—cos(A+B)=sinAsinB—cosAcosB=￡.溫馨點(diǎn)評涉及三角形中的內(nèi)角問題時，一定要注意內(nèi)角和A+B+C=180°這一隱含條件.尤其是由內(nèi)角正弦值確定角的大小時，要防止增解出現(xiàn)四、忽略三角函數(shù)的定義域而致錯例4判斷函數(shù)滄尸苒爲(wèi)二耕:的奇偶性?［錯解］f(x)=1十sinx—cosx1十sinx十cosx1+2sin2cos2一(1—2sin22,xXx1+2sin2cos2+(2cos22—12sin2(cos2+sin2)=tan,(.x,x)22cos2(sm2十cos刃由此得f—x)=tan(—2)=—tan2=一fx)因此函數(shù)fx)為奇函數(shù).［剖析］運(yùn)用公式后所得函數(shù)fx)=tan§的定義域?yàn)閧x|xWR,xM2kn+n,kWZ}.兩函數(shù)的定義域不同，變形后的函數(shù)定義域擴(kuò)大致錯［正解］事實(shí)上，由l+sinx+cosxMO可得sinx+cosxM—1,即\；2sin卜+4Jm—1,從而sin’+4)M—n5nn7n所以x+4工2kn+才且x+4工2kn+工'(k^Z),故函數(shù)夬x)的定義域是-3n*xx工2kn+n且x工2kn+?,k^Z>,顯然該定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱．因此，函數(shù)夬x)為非奇非偶函數(shù).溫馨點(diǎn)評判斷函數(shù)的奇偶性，首先要看定義域，若定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù).上述解法正是由于忽視了對函數(shù)定義域這一隱含條件的考慮致錯.五、誤用公式asinx+bcosx=\；a2+b2sin(x+0)而致錯例5若函數(shù)fx)=sin(x+0)+cos(x—0),x^R是偶函數(shù)，求0的值.［錯解］?:fx=sin(x+0)+cos(x—0),.°.f(0)=sin0+cos0=\/2sin(0+4)Tfx)=sin(x+0)+cos(x—0)是偶函數(shù).???|f(0)|=^x)max—2../O)=邁sin(0+4)=士邁，(n\nn?.sin(0+4J=±l,.?.0+4=kn+2,k^Z.n即0=kn+4，k^Z.［剖析］Vx+0與x-0是不同的角.???函數(shù)fx)的最大值不是邁，上述解答把fx)的最大值誤當(dāng)作V2來處理.［正解］*/f(x)=sin(x+0)+cos(x—0)是偶函數(shù).?.fx)=f—x)對一切x^R恒成立.即sin(x＋0)＋cos(x—0)=sin(—x＋0)＋cos(—x—0)恒成立..［sin(x＋0)＋sin(x—0)］＋［cos(x—0)—cos(x＋0)］=O..2sinxcos0＋2sinxsin0=O恒成立.即2sinx(cos0＋sin0)=O恒成立..cos0＋sin0=O.*.*cos0+sin0=p2sin(0+4)=0.nn0+4=kn，即0=kn—4,k^Z.溫馨點(diǎn)評注意公式asinx+bcosx=\r(a2+b2)?sin(x+y)的左端是同角x.當(dāng)三角函數(shù)式不符合這一特征時，不能使用該公式.例如：函數(shù)fx)=sin(x+0)+\r(3)cos(x—0)(xWR)的最大值不是2.

思賂點(diǎn)撥q思賂點(diǎn)撥q5平面向量與三角函數(shù)的交匯題型大全平面向量與三角函數(shù)的交匯是當(dāng)今高考命題的一個熱點(diǎn)，這是因?yàn)榇祟愒囶}既新穎而精巧，又符合在知識的“交匯處”構(gòu)題的命題思想．這類試題解答的關(guān)鍵是利用向量的平行、垂直、夾角、模、數(shù)量積公式將問題轉(zhuǎn)化為三角問題，然后聯(lián)想相關(guān)的三角函數(shù)知識求解．一、平面向量平行與三角函數(shù)交匯例1已知a=(2cosx+2"../3sinx,1),b=(y,cosx),且a〃b.若夬兀)是y關(guān)于x的函數(shù)，則f(x)的最小正周期為．解析由a〃b得2cos2x+2p3sinxcosx—y=0,即y=2cos2x+2\3sinxcosx=cos2x+\；3sin2x+1=2sin(2x+6)+1，所以fx)=2sin(2x+6)+1,2n所以函數(shù)fx)的最小正周期為T=e=n.★答案★n點(diǎn)評解答平面向量平行與三角函數(shù)的交匯試題一般先用平面向量平行的條件求涉及到三角函數(shù)的解析式或某角的函數(shù)值，然后再利用三角知識求解．二、平面向量垂直與三角函數(shù)交匯例2已知向量a=(4,5cosa),b=(3,—4tana),aW(0,申)若a丄b,則cos(2a+4)=.解析因?yàn)閍丄b,所以4X3+5cosaX(—4tana)=0,3解得sin3解得sina=g.又因?yàn)閍W2)所以cosa=5.c12417邁50cos2a=1—2sin2a=25,sin2a=2sinacosa=17邁50于是cosn于是cos=cos2acos4—sin2asinj=★答案★點(diǎn)評解答平面向量垂直與三角函數(shù)的交匯試題通常先利用平面向量垂直的條件將向量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，再利用三角函數(shù)的知識進(jìn)行處理．三、平面向量夾角與三角函數(shù)交匯n例3已知向量加=(sin0,1—cos0)(0＜衣n)與向量n=(2,0)的夾角為3，則0=,解析由條件得m=\''sin20+(1—cos0)2=72—2cos0,

|n|=|n|=2,mn=2sin3,于是由平面向量的夾角公式得cos2sin3mn3—|m||n|—2冷2—2cos3—2'整理得2cos23—cos3—1=0,解得cos3=—2■或cos3=1（舍去）.因?yàn)?<因?yàn)?<3<n，所以3=2n亍★答案★23n點(diǎn)評解答平面向量的夾角與三角函數(shù)的交匯試題主要利用平面向量的夾角公式建立某角的三角函數(shù)的方程或不等式,然后由三角函數(shù)的知識求解．四、平面向量的模與三角函數(shù)交匯例4若向量a=（cos3,sin3）,b=（寸3,—1）,則|2a—b|的最大值為.解析由條件可得|a|=1,|b|=2,ab=i；3cos3—sin3,則12a—b|=l：|2a—b|2=\；4a2+b2—4ab=\''8—4（\/3cos3—sin3）=8—8cos（3+6）W4,所以|2a—b|的最大值為4.★答案★4點(diǎn)評解答平面向量的模與三角函數(shù)交匯一般要用到向量的模的性質(zhì)|a|2=a2.如果是求模的大小，則一般可直接求解；如果是求模的最值，則常常先建立模關(guān)于某角的三角函數(shù)，然后利用三角函數(shù)的有界性求解．五、平面向量數(shù)量積與三角函數(shù)交匯（nn6%+寸（一2<%<10）的圖象與x軸交于點(diǎn)力，過點(diǎn)A的直線l與函數(shù)fx）的圖象交于B，c兩點(diǎn)，則（5B+5C）等于（）A．—32B．—16C．16D．32解析由fx）=0,解得x=4,即A（4,0）,過點(diǎn)A的直線l與函數(shù)fx）的圖象交于B,C兩點(diǎn)，根據(jù)對稱性可知，a是bc的中點(diǎn)，所以O(shè)B+OC—2OA,所以（OB+OC）?OA=2OA?OA=2|OA〔2=2X42=32.★答案★D點(diǎn)評平面向量數(shù)量積與三角函數(shù)的綜合主要體現(xiàn)為兩類：(1)利用三角函數(shù)給出向量的坐標(biāo)形式，然后求數(shù)量積，解答時利用數(shù)量積公式可直接解決；(2)給出