模電復變數(shù)電大物近7年試卷函數(shù)第二章

第一節(jié)

解析函數(shù)的概念一、復變函數(shù)的導數(shù)與微分二、解析函數(shù)的概念三、小結(jié)與思考一、復變函數(shù)的導數(shù)與微分1.導數(shù)的定義:設(shè)函數(shù)w

=f

(z)定義于區(qū)域D,z0

為D

中的一點,點z0

+Dz

不出D

的范圍,如果極限

lim

f

(z0

+

Dz)

-

f

(z0

)

存在,那末就稱f

(z)在z0可導.這個極限值稱為f

(z)在z0的導數(shù),=

lim

f

(z0

+

Dz)

-

f

(z0

)

.Dzfi

00dz記作

f

￠(z

)

=

dwz=z0DzDzfi

0Dz在定義中應(yīng)注意:z0

+Dz

fi

z0

(即Dz

fi

0)的方式是任意的.即z0

+Dz在區(qū)域D內(nèi)以任意方式趨于z0時,比值f

(z0

+Dz)-f

(z0

)都趨于同一個數(shù).Dz如果函數(shù)f

(z)在區(qū)域D

內(nèi)處處可導,我們就稱f

(z)在區(qū)域內(nèi)D

可導.例1求f

(z)=z2的導數(shù).f

￠(z)

=

lim

f

(z

+

Dz)

-

f

(z)Dz(z

+

Dz)2

-

z2Dzfi

0解Dz=

limDzfi

0Dzfi

0=

lim(2z

+

Dz)

=

2z.(z2

)

=

2z例2討論f

(z)=Im

z的可導性.Df

=

f

(z

+

Dz)

-

f

(z)

=

Im(

z

+

Dz)

-

Im

zDz

Dz=

Im

z

+

Im

Dz

-

Im

z解DzDzDz=

Im

Dz=

Im(Dx

+

iDy)Dx

+

iDy

Dx

+

iDyDy=

,當點沿平行于實軸的方向(Dy

=0)而使Dz

fi

0時,Dzfi

0

Dzlim

Df

=

lim

f

(z

+

Dz)

-

f

(z)

=

limDzfi

0=

0,Dy=0Dz

Dxfi

0

Dx

+

iDyDy當點沿平行于虛軸的方向(Dx

=0)而使Dz

fi

0時,Dzfi

0

Dzlim

Df

=

lim

f

(z

+

Dz)

-

f

(z)

=

limDzfi

0Dx=0Dz

Dyfi

0

Dx

+

iDyi=

1,Dy當點沿不同的方向使Dz

fi

0時,極限值不同,故f

(z)=Im

z在復平面上處處不可導.例3問f

(z)=x

+2

yi是否可導？Dzlim

Df

=

lim

f

(z

+

Dz)

-

f

(z)Dzfi

0

DzDzfi

0解Dz=

lim

(

x

+

Dx)

+

2(

y

+

Dy)i

-

x

-

2

yiDzfi

0Dx

+

Dyi=

lim

Dx

+

2DyiDzfi

0設(shè)z

+Dz沿著平行于x

軸的直線趨向于z，yoz

Dy

=

0xyoz

Dy

=

0xDx

+

DyiDzfi

0lim

Dx

+

2Dyi

=

lim

Dx

=

1,Dxfi

0

Dx設(shè)z

+Dz沿著平行于y

軸的直線趨向于z，Dx

=

0limDzfi

0Dx

+

Dyi

DyiDx

+

2Dyi

2Dyi=

lim

=

2,Dyfi

0所以f

(z)=x

+2

yi的導數(shù)不存在.2.可導與連續(xù):函數(shù)f(z)在z0

處可導則在z0處一定連續(xù),但函數(shù)f(z)在z0

處連續(xù)不一定在z0

處可導.證根據(jù)在z0

可導的定義,"

e

>

0,

$d

>

0,使得當0

<|

Dz

|<d

時,0-

f

￠(z

)

<

e,00Dzf

(z

)f

(

z

+

Dz)

-有令r(Dz)=0-

f

￠(z

)00Dz-

f

(z

)f

(z

+

Dz)Dzfi

0則

lim

r(Dz)

=

0,f

(

z0

+

Dz)

-

f

(z0

)

=

f

(z0

)Dz

+

r(Dz)Dz,因為Dzfi

0所以

lim

f

(z0

+

Dz)

=

f

(z0),即f

(z)在z0

連續(xù).[證畢]3.求導法則:由于復變函數(shù)中導數(shù)的定義與一元實變函數(shù)中導數(shù)的定義在形式上完全一致,并且復變函數(shù)中的極限運算法則也和實變函數(shù)中一樣,因而實變函數(shù)中的求導法則都可以不加更改地推廣到復變函數(shù)中來,且證明方法也是相同的.求導公式與法則:(c)

=0,

其中c為復常數(shù).(zn

)

=nzn-1

,

其中n為正整數(shù).(3)

[f

(z)

–

g(z)]

=

f

￠(z)

–

g￠(z).(4)

[f

(z)g(z)]

=

f

￠(z)g(z)

+

f

(z)g￠(z).(

g(z)

?

0)

f

(z)

=

f

￠(z)g(z)

-

f

(z)g￠(z)

.

g(z)

g2

(z)(5)(6)

{f

[g(z)]}=f

￠(w)g￠(z).

其中w

=g(z)且j￠(w)?0兩個互為反函數(shù)的單值函數(shù),,

其中w

=f

(z)與z

=j

(w)是j￠(w)1(7)

f

￠(z)

=4.微分的概念:復變函數(shù)微分的概念在形式上與一元實變函數(shù)的微分概念完全一致.設(shè)函數(shù)w

=

f

(

z)在

z0

可導,

則Dzfi

0Dw

=

f

(z0

+

Dz)

-

f

(z0

)

=

f

￠(z0

)

Dz

+

r(Dz)Dz,式中

lim

r(Dz)

=

0,

r(Dz)Dz

是

Dz

的高階無窮小,

f

￠(

z0

)

Dz

是函數(shù)

w

=

f

(

z)

的改變量Dw

的線性部分.f

(z0

)

Dz

稱為函數(shù)

w=

f

(

z)在點

z0

的微分,記作

dw

=

f

￠(

z0

)

Dz.定義如果函數(shù)在z0

的微分存在,則稱函數(shù)f

(z)在z0

可微.特別地,

當

f

(

z)

=

z

時,dw

=

dz

=

f

(z0

)

Dz

=

Dz,dw

=f

(z0

)

Dz

=f

(z0

)

dz,即z=z00dzf

￠(

z

)

=

dw函數(shù)w

=f

(z)在z0

可導與在z0

可微是等價的.如果函數(shù)f

(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可微,則稱f

(z)在區(qū)域D內(nèi)可微.二、解析函數(shù)的概念1.

解析函數(shù)的定義如果函數(shù)f

(z)在z0

及z0

的鄰域內(nèi)處處可導,那末稱f

(z)在z0

解析.如果函數(shù)

f

(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點解析,

則稱f

(

z)在區(qū)域D內(nèi)解析.

或稱

f

(

z)是區(qū)域D

內(nèi)的一個解析函數(shù)(全純函數(shù)或正則函數(shù)).2.

奇點的定義如果函數(shù)

f

(z)

在

z0

不解析,

那末稱

z0

為f

(z)的奇點.根據(jù)定義可知:函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在區(qū)域內(nèi)可導是等價的.但是,函數(shù)在一點處解析與在一點處可導是不等價的概念.即函數(shù)在一點處可導,不一定在該點處解析.函數(shù)在一點處解析比在該點處可導的要求要高得多.例4h(z)=z

2的解析性.研究函數(shù)f

(z)=z2

,g(z)=x

+2

yi

和解由本節(jié)例1和例3知:f

(z)=z2

在復平面內(nèi)是解析的;g(z)=x

+2

yi

處處不解析;下面討論h(z)=z

2

的解析性,

0

0

DzDz2h(z

+

Dz)

-

h(z

)

z

+

Dz

2

-

z=

0

0

Dz=

(z0

+

Dz)(z0

+

Dz)

-

z0z000

Dz=

z

+

Dz

+

z

Dz

,0(1)

z

=

0,lim

h(z0

+

Dz)

-

h(z0

)

=

0.Dzfi

0Dz(2)

z0

?

0,令z0

+Dz

沿直線y

-y0

=k(x

-x0

)趨于z0

,Dz

Dx

+

iDyDx1

+

i

Dy1

-

i

DyDz

=

Dx

-

iDy

=

Dx

=

1

-

ik1

+

ik由于k

的任意性,Dz

=1

-ki

不趨于一個確定的值.Dz

1

+

kilim

h(z0

+Dz)-h(z0

)不存在.Dzfi

0Dz因此h(z)=z

2

僅在z

=0

處可導,而在其他點都不可導,根據(jù)定義,它在復平面內(nèi)處處不解析.例5z研究函數(shù)w

=1

的解析性.解z因為w

=1

在復平面內(nèi)除z

=0

處處可導,dzz2dw

=

-

1

,且所以w在復平面內(nèi)除z

=0

外處處解析,z

=0

為它的奇點.例6研究函數(shù)f

(z)=z

Re(z)的可導性與解析性.解(1)

z

=

0,lim

f

(0

+

Dz)

-

f

(0)

=

lim

Dz

Re(Dz)

=

0,Dzfi

0Dz

DzDzfi

0故f

(z)=z

Re(z)在z

=0

處可導.(2)

z

?

0,f

(z

+

Dz)

-

f

(z)

=

(z

+

Dz)

Re(z

+

Dz)

-

z

Re(z)Dz

Dz=

z

[Re(z

+

Dz)

-

Re(z)]

+

Re(z

+

Dz)Dz令Dz

=Dx

+iDy

,f

(

z

+

Dz)

-

f

(z)

=

z

DxDz

Dx

+

iDy+

x

+

Dx

,因為

lim

f

(z

+

Dz)

-

f

(z)

=

x,Dx=0Dyfi

0Dzlim

f

(z

+

Dz)

-

f

(z)

=

z

+

x,Dxfi

0Dy=0Dz所以

lim

f

(z

+

Dz)

-

f

(z)

不存在.Dzfi

0Dz即當

z

?

0

時,

f

(

z)

不可導,因此f

(z)僅在z=0

處可導,而在其他點都不可導,根據(jù)定義,它在復平面內(nèi)處處不解析.課堂練習研究函數(shù)w

=1

的解析性.z處處不可導,處處不解析.答案定理在區(qū)域D

內(nèi)解析的兩個函數(shù)f

(z)與