一元函數(shù)積分學及其應用ch3 23不定積分

第3章一元函數(shù)積分學及其應用2009年12月6日1南京航空航天大學理學院數(shù)學系第1節(jié)

定積分的概念，存在條件與性質(zhì)第2節(jié)

微積分基本公式與基本定理第3節(jié)

兩種基本積分法第4節(jié)

定積分的應用第5節(jié)

反常積分第6節(jié)

幾類簡單的微分方程第2節(jié)微積分基本公式與基本定理2009年12月6日2南京航空航天大學理學院數(shù)學系微積分基本公式微積分基本定理不定積分2.3不定積分微分法:

F

(

x)

(

?

)積分法:

(

?

)

f

(

x)互逆運算原函數(shù)與不定積分的概念基本積分公式不定積分的性質(zhì)2009年12月6日3南京航空航天大學理學院數(shù)學系1

原函數(shù)與不定積分的概念定義

1

若在區(qū)間

I(有限或無窮)

上定義的兩個函數(shù)F

(x)及f

(x)滿足則稱F

(x)為f

(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)例sin

x

cos

x

(x

R)sin

x是cos

x在R

上的原函數(shù).xln

x

1

(

x

0)x2009年12月6日4南京航空航天大學理學院數(shù)學系ln

x

是1

在區(qū)間(,0)和(0,)內(nèi)的原函數(shù).問題1.在什么條件下,一個函數(shù)的原函數(shù)存在?若原函數(shù)存在,是否唯一?若不唯一有多少個

它們之間有什么聯(lián)系？對于第個問題有原函數(shù)存在定理若f

(

x)

C(

I

)

f

(

x)在I上一定存在原函數(shù).(后面證明)初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù).2009年12月6日5南京航空航天大學理學院數(shù)學系問題在什么條件下,一個函數(shù)的原函數(shù)存在?若原函數(shù)存在,是否唯一?若不唯一有多少個它們之間有什么聯(lián)系？2009年12月6日6南京航空航天大學理學院數(shù)學系例sin

x

cos

xsin

x

C

cos

x（C為任意常數(shù)）對于第個問題

若原函數(shù)存在

原函數(shù)有無窮多問題在什么條件下,一個函數(shù)的原函數(shù)存在?若原函數(shù)存在,是否唯一?若不唯一有多少個它們之間有什么聯(lián)系？f

(x)的任意兩個原函數(shù)之間相差一個常數(shù)由第章第節(jié)的推論4.2如果函數(shù)F

(x),G(x)在區(qū)間I上可微，且F

'(x)

G

'(x)

F

(x)

G(x)

C

,x

I

,其中C為常數(shù).2009年12月6日7南京航空航天大學理學院數(shù)學系積分常數(shù)

{F

(

x)

C

F

'(

x)

f

(

x),

x

I

,C

R}積分號被積函數(shù)f

(

x)dx被積表達式積分變量定義2

若f(

x)在區(qū)間I內(nèi)存在原函數(shù),則f(

x)在I內(nèi)的原函數(shù)全體稱為f

(

x)的不定積分，記作通常簡寫成(C

為任意常數(shù))2009年12月6日8南京航空航天大學理學院數(shù)學系9注意2.

求不定積分的運算與微分運算是互逆的.由不定積分的定義，可知1.積分號“

”是一種運算符號，它表示求已知函數(shù)的所有原函數(shù)；求已知函數(shù)的所有原函數(shù)即不定積分的方法稱為積分法.dx

d

f

(x)dx

d[

f

(x)dx]

f

(x)dx,

dF

(

x)

F

(

x)

C

.先積后導全消掉,先導后積常數(shù)要.f

(

x),

F

(

x)dx

F

(

x)

C例1

求

x5dx.

6

x6

解

x5

,6x6

x5dx

C

.解1例2

求

dx.1

x2,11

x2

arctan

x

12009年12月6日10南京航空航天大學理學院數(shù)學系dx

arctan

x

C

.

1

x2不定積分的幾何意義:的原函數(shù)的圖形稱為的平行曲線族.

f

(x)dx

的圖形yxox0的積分曲線.的所有積分曲線組成2009年12月6日11南京航空航天大學理學院數(shù)學系求f

(x)的過(x0

,y0)的積分曲線:定義

用于確定常數(shù)C的條件y

y

或

y(

x

)

yx

x0

0

0

0稱為初始條件帶有初始條件的求原函數(shù)問題稱為初值問題02009年12月6日12南京航空航天大學理學院數(shù)學系

y

'(

x)

f

(

x)y

y

x

x0例3

求的初值問題解

y

'

2

x,

y

2

x

1

y

'

2

xC

1,

1.將初始條件

y

2代人得，x

12009年12月6日13南京航空航天大學理學院數(shù)學系故初值問題的解為

y

x2幾何上在所有切線斜率等于橫坐標的兩倍的積分曲線中，通過點（，）的積分曲線為y

x2

1.

y

2

xdx

x2

C

,利用逆向思維x(4)

dxln

ax(5)

axdx

a

C;(6)

exdx

ex

C

1(3)

x

dx

x

C

12

基本積分公式

0dx

C1dx

x

C

ln

x

C2009年12月6日14南京航空航天大學理學院數(shù)學系(

1);(7)

cos

xdx

sin

x

C;(8)

sin

xdx

cos

x

C;(9)dx

cos2

xsec2

xdx

tan

x

C;(10)2009年12月6日15南京航空航天大學理學院數(shù)學系dx

sin2

xcsc2

xdx

cot

x

C;(11)

sec

x

tan

xdx

sec

x

C(12)

csc

x

cot

xdx

csc

x

C1(14)dx

1

x2arctan

x

C;11

x2(13)

dx

arcsin

x

C;

或＝

arccos

x

C

.或＝

arccot

x

C

.例4

求積分

x2

xdx.解

x25xdx

x

2dx

C

152

x

25177x

2

C

.

2根據(jù)積分公式（2）x dx

Cx

1

12009年12月6日16南京航空航天大學理學院數(shù)學系3不定積分的性質(zhì)性質(zhì)

若f

(

x)，g(

x)在區(qū)間I內(nèi)存在原函數(shù),則(1)

[

f

(

x)

g(

x)]dx

f

(

x)dx

g(

x)dx;(2)

kf

(x)dx

k

f

(x)dx.（

k

是常數(shù)，k

0)若

則2009年12月6日17南京航空航天大學理學院數(shù)學系ni

1

f

(

x)dx

ki

fi

(

x)dx解23)dx.例5

求積分

(1

x2)dx1

x22

(31

x2dx2009年12月6日18南京航空航天大學理學院數(shù)學系1

x211

x2dx

211

x2

3

3arctan

x

2arcsin

x

C例6

求積分解

x(1

x2

)dx.1

x

x2

1

x

x2

x

(1

x2

)x(1

x2

)dx

x(1

x2

)

dxx

1

x12

x2009年12月6日19南京航空航天大學理學院數(shù)學系dx

1

dx

1dx1

1

x2

arctan

x

ln

x

C

.例7 求積分

tan2

xdx.解原式=

(sec2

x

1)d

x11

sin2

x

cos2

xdx.

sec2

d

x

dx

tan

x

x

CEX1

求積分x42

dx

.

1

x23

1

x3

x

arctan

x

C

tan

x

cot

x

Cex2009年12月6日20南京航空航天大學理學院數(shù)學系x

5

C2

ln

2

1ln

2

解例8

求積分

dx.11

cos

2

x1

cos

2

x1dx

dx11

2cos2

x

12 cos2

x

1

122009年12月6日21南京航空航天大學理學院數(shù)學系dx

1

tan

x

C

.說明：以上幾例中的被積函數(shù)都需要進行恒等變形，才能使用基本積分表.內(nèi)容小結1.

不定積分的概念常用恒等變形方法2009年12月6日22南京航空航天大學理學院數(shù)學系加項減項利用三角公式,代數(shù)公式,原函數(shù)與不定積分的定義基本積分表(見P

186)不定積分的性質(zhì)2.

直接積分法:利用恒等變形,

積分性質(zhì)

及

基本積分公式進行積分

.分項積分思考與練習提示:f

(ln

x)

e

ln